D三重积分 柱坐标与极坐标.pptx

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1、利用球坐标计算三重积分的步骤利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下三重积分积分次序：定限方法：化为累次积分计算累次积分注意 对一个变量积分时，将其余变量对一个变量积分时，将其余变量视为常数视为常数的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有三三变变、一一勿勿忘忘积分区域积分区域 球坐标表示球坐标表示被积函数被积函数体积元素体积元素一个勿忘一个勿忘一般先一般先r后后再再观察、想象观察、想象第1页/共50页三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）小结小结方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”第2页/共50页2.确定上下曲

2、面函数，得 z的积分限;1.把往xoy平面上投影,得积分区域D;3.先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;4.再求关于x,y的二重积分.先一后二”积分法的基本步骤:2.对za,b用过点(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截，得截面Dz;1.把向z轴投影,得z的积分限a,b;3.先求关于x,y的二重积分,得“先二后一”积分法的基本步骤:4.最后计算单积分第3页/共50页第三节第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算三重积分 第十章 第4页/共50页回忆用投影法（先一后二）计算三重积分如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算.这就等于用柱面坐标计算三重积

3、分.2.利用柱坐标计算三重积分 第5页/共50页2.利用柱坐标计算三重积利用柱坐标计算三重积分分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第6页/共50页在柱面坐标系中体积元素为因此元素区域由六个坐标面围成第7页/共50页如图所示如图所示,在柱面坐标系中体积元素在柱面坐标系中体积元素为为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第8页/共50页常见曲面的柱面坐标方程曲面直角坐标方程柱面坐标方程半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面第9页/共50页常见曲面的柱面坐标方程第10页/共50页2、利用公式用

4、柱面坐标计算三重积分的一般步骤：1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域D3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域确定z的上下限；4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）次序为：zr将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；柱面坐标常用于：圆柱体和圆锥体上的三重积分。第11页/共50页例1.计算三重积分所围成.与平面其中 由抛物面在柱面坐标系下原式=解:在xOy面上的投影区域D:上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .第12页/共50页例2.计算 解：故在xOy平面得交线 上投影区域为所围成.与平面其中 由圆锥面上边界曲面为z 4

5、下边界曲面为z .第13页/共50页解解:例3.计算三重积分所围成.与抛物面其中 由球面知交线为由原式=上边界:下边界:第14页/共50页其中 为例例4.计算三重积计算三重积分分所解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第15页/共50页3.利用球坐标计算三重积利用球坐标计算三重积分分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第16页/共50页半平面 及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素第

6、17页/共50页元素区域由六个坐标面围成：球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d r drd xz y0 d rd rsin d.dv第18页/共50页如图所示如图所示,在球面坐标系中体积元素在球面坐标系中体积元素为为因此有其中第19页/共50页球面坐标直角坐标球体下面介绍一些区域的球面坐标的描述第20页/共50页球面坐标直角坐标球体第21页/共50页球面坐标直角坐标球顶锥体第22页/共50页常见的曲面在球坐标下的方程第23页/共50页次序为:r 2.将区域往xoy面上投影，确定平面区域D，4.过原点做射线，穿区域确定

7、r 的上下限.1.关系式3.对任一，过z轴做半平面，找出角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤：将的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；由D找出的上下限；大的与的截面，确定的上下限注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。第24页/共50页例例5.计算三重积分计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面第25页/共50页例例6.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第26页/共50页 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成于是所求立体的体积为 此

8、球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例6.的立体的体积 由圆锥面和球面围成,解:采用球面坐标，锥面方程为 在球面坐标下球面方程为r2acos,第27页/共50页例7.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中 面是由两个球第28页/共50页第29页/共50页解:例7.计算三重积分所围立体.其中 面是由两个球原式 第30页/共50页z Oxya.M.r 解:在球面坐标系下10(2).计算其中 由不等式 所确定.第31页/共50页.解:在球面坐标系下10(2).计算其中 由不等式 所确定.第32页/共50页所围成的闭区域.11(2).计算其中 是由球面解:在球面坐标系下第3

9、3页/共50页所围成的闭区域.10(1).计算其中 是由球面解:在球面坐标系下第34页/共50页所围成的在第一卦限内的闭区域.11(1).计算其中 为柱面解:在柱面坐标系下及平面第35页/共50页11(2).求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz 第36页/共50页3.设设 由锥由锥面面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标 第37页/共50页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有

10、类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;第38页/共50页作业作业P164 9，10，11（1，2）。第四节 第39页/共50页例例7.求曲求曲面面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz 第40页/共50页3.计算计算其中解:利用对称性第41页/共50页1.将用三次积分表示,其中 由所提示:思考与练习六个平面围成,第42页/共50页43例例8解解1解解2第43页/共50页例例9解第44页/共50页例10解第45页/共50页备用题备用题 1.计计算算所围成.其中 由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.第46页/共50页所围,故可 思考:若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?表为 解解:第47页/共50页如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.第48页/共50页例例5.计算三重积计算三重积分分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中 由抛物面原式=第49页/共50页感谢您的观看。第50页/共50页