大学文科数学第二章课件.pptx

《大学文科数学第二章课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学文科数学第二章课件.pptx（104页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一节第一节 数列极限数列极限主要内容：数列、数列极限的概念第1页/共104页 早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想，公元前了朴素的极限思想，公元前4世纪，我国的世纪，我国的庄子庄子就有就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言的名言.17世纪世纪上半叶法国数学家上半叶法国数学家笛卡儿笛卡儿（Descartes）创建解析几）创建解析几何之后，变量就进入了数学何之后，变量就进入了数学.随之随之牛顿牛顿（Newton、英、英国）和国）和莱布尼兹莱布尼兹（Leibniz、德国）集众多数学家之、德国）集众多数学

2、家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑划时代的里程碑.微积分诞生不久，便在许多学科中微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步和社会进步.在经过长达两个世纪的自身理论不断完在经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论善的过程，才建立了极限理论.可见可见“极限极限”是微积是微积分的基础分的基础.第2页/共104页阿基里斯追龟 一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前496前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题.大家知道，乌龟素以

3、动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！第3页/共104页ABBB1 假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！B1B2第4页/共104页 让我们再看一看乌龟所走过的路程让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米米.当阿基里斯跑当阿基里斯

4、跑了了10米时，龟已前进了米时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追米；当阿基里斯再追1米时，米时，龟又前进了龟又前进了0.1米，阿再追米，阿再追0.1米，龟又进了米，龟又进了0.01米米.把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：数：10，1，0.1，0.01，102n，这称为这称为数列数列，an 102n 为为通项通项，数列常简记为，数列常简记为 an.所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！第5页/共104页然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠

5、缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战.一列数：10，1，0.1，0.01，102n，称为数列.102n为通项.第6页/共104页一尺之棰，日取其半，万世不竭.初始长度为：1一、数列的极限（问题的引入）：一、数列的极限（问题的引入）：在庄子天下篇中有截丈问题的精彩论述：第7页/共104页第一天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第8页/共104页第二天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第9页/共104页第三天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.

6、第10页/共104页第四天剩的长度为：截丈问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.第11页/共104页这样可以看出第n天剩的长度为：一尺之棰，日取其半，万世不竭.于是得到了数列:当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.再看一下整个过程.第12页/共104页举例:这个数列的通项是:011xxnx2x1x0 x3 这个数列的通项是:第13页/共104页数列极限的定义数列极限的定义(定性描述定性描述):):若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列发散发散.也称该数列收敛.这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言作出的定性描述.第14页/共10

7、4页因为当n 时，趋近于常数 0.因为当n 时，反复的取 1和1，没有明显 的变化趋势,是发散的.011xana2a1x0a3 第15页/共104页注：中各项均为相同的数（常数)1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值，每项都是1，因此该数列的极限是 1.2,4,6,2n,1,1,1,1,这个数列的通项是:这个数列的通项是:第16页/共104页数列有以下几种变化趋势数列有以下几种变化趋势:数列的变化趋势第17页/共104页下面我们直观的看一下极限的定义下面我们直观的看一下极限的定义第18页/共104页 在数学中一定要力避几何直观可能带来的错误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概

8、念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语言表达的，超越现实原型的理想化的定量描述.第19页/共104页播放播放 当 n 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?第20页/共104页 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.第34页/共104页如果数列没有极限,就说数列是发散的.定义 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着相应正整数N，使得满足nN的一切n，不等式第35页/共104页第36页/共104页第37页/共104页注：该数列有一定的发展趋势趋向于无穷大，并不收敛，所以 2n 无极限.为叙述方便，可以说 2n 的极限是+.因为n 时，2n 逐

9、渐变得无穷大，并不趋近于 某个常数.但由于2n 的变化趋势是逐渐增大的，所以又可认为该数列趋于无穷大.即第38页/共104页第二节第二节 函数的极限函数的极限主要内容：一、函数极限的概念二、无穷大量与无穷小量三、极限的四则运算及两个 重要极限第39页/共104页一一、时时（自变量趋于有限数自变量趋于有限数）x0.90.980.990.99911.0011.011.021.1f(x)=x+11.91.981.991.99922.0012.012.022.1第40页/共104页x0.90.980.990.99911.0011.011.021.1f(x)=x+11.91.981.991.99922.

10、0012.012.022.1第41页/共104页第42页/共104页第43页/共104页有关函数极限的说明：有关函数极限的说明：函数在某点的极限与函数在这点的函数值是否存在，以及取值是多少并没有关系.函数在该点的极限只与函数在该点附近的变化趋势有关系.第44页/共104页对于任意的存在第45页/共104页几何解释:注意：第46页/共104页例1证明例2证明即常数的极限就是该常数.第47页/共104页二二、时时（自变量的绝对值无限自变量的绝对值无限增大时的情形）增大时的情形）第48页/共104页第49页/共104页第50页/共104页第51页/共104页 在x 时，sinx并不向某个点逼近，所以

11、无极限.第52页/共104页四、函数极限的性质四、函数极限的性质第53页/共104页第54页/共104页五、无穷大量与无穷小量五、无穷大量与无穷小量1)无穷大量注:无穷大是变量,并不是非常大的有限数.第55页/共104页第56页/共104页注意:（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.第57页/共104页（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆.（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.注：2)2)无穷小量无穷小量第58页/共104页例第59页/共104页变量、极限与无穷小量的关系定理变量、极限与无穷小量的关系定理:第60页/共104页1、

12、有限个无穷小量的代数和是无穷小量.无穷小量的性质：无穷小量的性质：例例 第61页/共104页 2、无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量.第62页/共104页3、无穷小量与无穷小量的乘积是无穷小量.例第63页/共104页 4、常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.例 当 x 2时,sin(x2)是无穷小量，所以 3 sin(x2)是当x 2时的无穷小量.第64页/共104页 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 在 x 变化同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第65页/共104页无穷小量无穷大量如第66页/共104

13、页 定理定理推论推论1 1 这意味着,常数因子可以提到极限符号的外面.六、极限的四则运算六、极限的四则运算第67页/共104页推论2 这意味着,求一个函数 n 次幂的极限等于该函数极限值的n 次幂.第68页/共104页例代数和的极限等于极限的代数和.第69页/共104页 在对商求极限时,若分母不为0，商的极限等于先求极限后,再做除法.例第70页/共104页要看分子,分母能否因式分解，并约分.当分母的极限为 0 的情形，例第71页/共104页1.要看能否因式分解；对于分母求极限为0的情形，2.考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质.例第72页/共104页例解无穷小量无穷小量分出法分出法第73页/共

14、104页比如：第74页/共104页解解例例有理化法有理化法第75页/共104页 1)七、两个重要的极限七、两个重要的极限第76页/共104页其中，第77页/共104页 2)第78页/共104页第79页/共104页第三节第三节 极限应用的一个例子极限应用的一个例子-连续函数连续函数主要内容：主要内容：一、连续函数概念一、连续函数概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第80页/共104页 一、连续函数一、连续函数 连续函数是微积分研究的主要对象连续函数是微积分研究的主要对象.增量的定义 设函数设函数 y y=f f(x x)的定义域是的定义

15、域是X,X,当当自变量从定点自变量从定点 x x0 0 变化到新的点变化到新的点x x 时时,它们的差它们的差称为自变量的增量称为自变量的增量(或叫做改变量或叫做改变量).).记做记做第81页/共104页 注意注意:x可能是正的可能是正的,也可能也可能 是负的是负的.比如：比如：第82页/共104页下面的问题帮助我们理解连续的定义：下面的问题帮助我们理解连续的定义：第83页/共104页连续函数的定义第84页/共104页 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小.第85页/共104页 在考虑函数的连续性时，我们一般分三

16、步考虑：第86页/共104页例例1 证明证明 y=sinx 在定义域内连续在定义域内连续.由于于是证第87页/共104页 因此 y=sinx 在定义域内连续.于是于是第88页/共104页f(x)第89页/共104页第90页/共104页第91页/共104页函数的间断点函数的间断点第92页/共104页从图形中可以看出 x=1是分段点,第93页/共104页第94页/共104页二、连续函数求极限的法则二、连续函数求极限的法则第95页/共104页三三、初等函数的连续性、初等函数的连续性例如,四则运算的连续性第96页/共104页反函数和复合函数的连续性反函数和复合函数的连续性定理1 严格单调的连续函数必有

17、严格单调的连续 反函数.推论 反三角函数在其定义域内皆连续.第97页/共104页该定理表明极限符号可以与函数符号互换.第98页/共104页 初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指定义域内的子区间.第99页/共104页 例例6解解第100页/共104页1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理四、闭区间上连续函数的性质第101页/共104页注意:定理中的两个条件缺一不可.若区间是开区间，定理不一定成立;若区间内有间断点，定理不一定成立.例如:f（x）无最大值和最小值.第102页/共104页第103页/共104页感谢您的观看！第104页/共104页