二阶电路分析.pptx

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1、91 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应一、一、RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程图图91RLC串联二阶电路串联二阶电路为了得到图为了得到图91所示所示RLC串联电路的串联电路的微分方程，先列出微分方程，先列出KVL方程方程第1页/共115页根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。其特征方程为其特征方程为 其特征根为其特征根为 零输入响应方程为零输入响应方程为 第2页/共115页电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不

2、同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况1.时，时，为不相等的实根。过阻尼情况。为不相等的实根。过阻尼情况。2.时，时，为两个相等的实根。临界阻尼为两个相等的实根。临界阻尼情况。情况。3.时，时，为共轭复数根。欠阻尼情况。为共轭复数根。欠阻尼情况。第3页/共115页二、过阻尼情况二、过阻尼情况 当当时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的实为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式数，齐次微分方程的解答具有下面的形式式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0)确定。确定。对式对式(95)求导，再

3、令求导，再令t=0得到得到第4页/共115页求解以上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和方程和电容的电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。第5页/共115页例例9-1电路如图电路如图9-1所示，已知所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0)=2V,iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输入响应。入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率）计算出固有频率图图91RLC串联二阶电路串联二阶电

4、路第6页/共115页将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（95）得到）得到利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程：K1=6K2=-4最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为第7页/共115页利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响方程得到电感电流的零输入响应应从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。路各元件的能量交换过程。第8页/共115页电容电压的零输

5、入响应波形第9页/共115页 DNAP程序可以画出响应的波形。电感电流的零输入响应波形第10页/共115页三、临界情况三、临界情况 当当时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1,s2为两个相同的实数为两个相同的实数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面的形式式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定。确定。令式令式(9-5)中的中的t=0得到得到第11页/共115页联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到将将 K1,K2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（98）得到电容电压）得到电容电压的

6、零输入响应，再利用的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电可以得到电感电流的零输入响应。感电流的零输入响应。对式对式(95)求导，再令得到求导，再令得到第12页/共115页例例9-2电路如图电路如图9-1所示。已知已知所示。已知已知R=1，L=0.25H，C=1F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电流的零输入响应。流的零输入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图91RLC串联二阶电路串联二阶电路第13页/共115页利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0

7、)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（代入式（98）得到）得到第14页/共115页得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容，得到电容电压的零输入响应电压的零输入响应第15页/共115页根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形画出的波形曲线，如图曲线，如图93所示。所示。(a)电容电压的波形电容电压的波形(b)电感电流的波形电感电流的波形图图93临界阻

8、尼情况临界阻尼情况 第16页/共115页电容电压的零输入响应波形第17页/共115页电感电流的零输入响应波形第18页/共115页四、欠阻尼情况四、欠阻尼情况 当当时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数为为两个共轭复数根，它们可以表示为根，它们可以表示为 其中其中 第19页/共115页齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式式中式中由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容后，得到电容电压的零输入响应，再利用电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流方程得到电感电流的零输入响应。的零输入响应。第

9、20页/共115页例例9-3电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的零输入响应。零输入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图91RLC串联二阶电路串联二阶电路第21页/共115页利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程得到以下两个方程求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=4，得到电容电，得

10、到电容电压和电感电流的零输入响应压和电感电流的零输入响应:将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=-3+j4和和s2=-3-j4代入式代入式（911）得到）得到第22页/共115页用计算机程序用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，如图94(a)和和(b)所示所示(a)衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形(b)衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c)衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形(d)衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形图图94欠阻尼情况欠阻尼情况第23页/共115页从式从式(9-

11、11)和图和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例当例93中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变变为为0.5时，用计算机程序时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图的波形曲线，如图94(c)和和(d)所示，由此可以看出曲线衰所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容减明显

12、变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。第24页/共115页电容电压的零输入响应波形u3(t)=(t)*(5.00 )*exp(-3.00 t)cos(4.00 t-53.13)第25页/共115页i2(t)=(t)*(1.00 )*exp(-3.00 t)cos(4.00 t+73.74)电感电流的零输入响应波形第26页/共115页u3(t)=(t)*(3.45 )*exp(-.500 t)cos(4.97 t-29.66)电容电压的零输入响应波形第27页/共115页i2(t)=(t)*(.690 )*exp(-

13、.500 t)cos(4.97 t+66.08)电感电流的零输入响应波形第28页/共115页例例9-4电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电感电流的零输入响应。输入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率的）计算出固有频率的数值数值图图91RLC串联二阶电路串联二阶电路第29页/共115页将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（9-11）得到得到利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)

14、=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程得到以下两个方程求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容，得到电容电压和电感电流的零输入响应电压和电感电流的零输入响应:第30页/共115页用计算机程序用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图形曲线，如图95所示。所示。图图95无阻尼情况无阻尼情况 第31页/共115页u3(t)=(t)*(3.31 )*exp(.000 t)cos(5.00 t-25.02)电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。第32页/共115页i2(t)

15、=(t)*(.662 )*exp(.000 t)cos(5.00 t+64.98)电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。第33页/共115页从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，达到最大值，全部能量

16、储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电场中。从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图种情况画在图96上。上。第34页/共115页图图9-6第35页/共115页由图由图96可见：可见：1.在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率出现在是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负平面上负实轴上，响应按指数规律衰减

17、。实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻尼情况，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。轴上，响应按指数规律衰减。3.在欠阻尼情况，在欠阻尼情况，s1和和s2是共轭复数，固有频率出现在是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率越大，衰减越快。衰减振荡的角频率 d越大，振荡周期越小，振荡越大，振荡周期越小，振

18、荡越快。越快。第36页/共115页图中按图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，固有频率出现在是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均

19、处于s平面上的左半平面上平面上的左半平面上时，电路是稳定的。时，电路是稳定的。第37页/共115页第38页/共115页在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。第39页/共115页根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。名 称时间1 1RLCRLC串联电路响应1:492 2RLCRLC串联电路的阶跃响应2:223 3回转器电感应用2:594 4电阻器和电感器串联电路响应3:08第40页/共115页郁金香第41页/共115页92 直流激励下直流激励下RLC串联电路的响应串联电路的响应 对于图示直流激励的对于图示直流激励的RLC串联电路，当串

20、联电路，当uS(t)=US时，可时，可以得到以下非齐次微分方程以得到以下非齐次微分方程第42页/共115页电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成的特解之和组成电路的固有频率为电路的固有频率为当电路的固有频率当电路的固有频率s1 s2时，对应齐次微分方程的通解时，对应齐次微分方程的通解为为第43页/共115页微分方程的特解为微分方程的特解为全响应为全响应为利用以下两个初始条件利用以下两个初始条件可以得到可以得到第44页/共115页对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0得到得到求解这两个代数方程，得到常数求解这两个代数方程，得到

21、常数K1和和K2后就可得到后就可得到uC(t)。第45页/共115页例例9-5电路如图所示。已知电路如图所示。已知R=4，L=1H，C=1/3F，uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求。求t0时，电容电时，电容电压和电感电流的响应。压和电感电流的响应。解：先计算固有频率解：先计算固有频率第46页/共115页这是两个不相等的负实根，其通解为这是两个不相等的负实根，其通解为特解为特解为全响应为全响应为利用初始条件得到利用初始条件得到第47页/共115页联立求解以上两个方程得到联立求解以上两个方程得到最后得到电容电压和电感电流的全响应最后得到电容电压和电感电流的全响应第48页/共1

22、15页 电容电压的波形第49页/共115页DNAP程序可画出响应波形曲线，便于读者掌握电路特性。电感电流的波形第50页/共115页例例9-6电路如图所示。已知电路如图所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,uS(t)=(t)V。求。求t0时电容电压的零状态响应。时电容电压的零状态响应。解：解：t0时，时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算，可以作为直流激励处理。首先计算电路的固有频率电路的固有频率第51页/共115页根据这两个固有频率根据这两个固有频率s1=-3+j4和和s2=-3-j4，可以得到全，可以得到全响应的表达式为响应的表达式为利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值u

23、C(0)=0和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程第52页/共115页求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1-1和和K2-0.75，得到，得到电容电压的零状态响应电容电压的零状态响应可以用计算机程序可以用计算机程序DNAP画出电容电压和电感电流零画出电容电压和电感电流零状态响应的波形。状态响应的波形。第53页/共115页注：图注：图(c)和和(d)表示当电阻由表示当电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变为变为0.5时的电时的电容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。注：图注：图(a

24、)和和(b)表示用表示用DNAP程序画出的电容电压和电感电流的波形。程序画出的电容电压和电感电流的波形。图图9-79-7第54页/共115页u4(t)=(t)*(1.25 )*exp(-3.00 t)cos(4.00 t+143.1 )+(t)*(1.00 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t 电容电压的波形第55页/共115页i3(t)=(t)*(.250 )*exp(-3.00 t)cos(4.00 t-90.00 )电感电流的波形第56页/共115页u4(t)=(t)*(1.01 )*exp(-.500 t)cos(4.97 t+174.3)+(t)*(1.00 +

25、j .000 )*exp(.000 +j .000 )t 电容电压的波形第57页/共115页i3(t)=(t)*(.201 )*exp(-.500 t)cos(4.97 t-90.00)电感电流的波形第58页/共115页在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。第59页/共115页根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。名 称时间1 1RLCRLC串联电路响应1:492 2RLCRLC串联电路的阶跃响应2:223 3回转器电感应用2:594 4电阻器和电感器串联电路响应3:08第60页/共115页郁金香第61页/共115页93 RLC并联

26、电路的响应并联电路的响应 RLC并联电路如图9-8所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程 图9-8第62页/共115页 代入电容，电阻和电感的VCR方程 得到微分方程 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。其特征方程为 由此求解得到特征根 第63页/共115页 当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：1.时，s1,s2为两个不相等的实根。2.时，s1,s2为两个相等的实根。3.时，s1,s2为共轭复数根。当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。第64页/

27、共115页例9-7 电路如图所示，已知G=3S,L=0.25H,C=0.5F,iS(t)=(t)A。求t0时电感电流和电容电压的零状态响应。解：根据G,L,C 的量值，计算出固有频率 第65页/共115页 利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程 求得常数K1=-2,K2=1。最后得到电感电流和电容电压 这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 第66页/共115页第67页/共115页第68页/共115页例98 图示 RLC并联电路中，已知G=0.1S,L=1H,C=1F,iS(t)=(t)A。求t0时，电感电流的零状态响应。解：首先计算固有频率 其响

28、应为 第69页/共115页 利用零初始条件，得到 由此可得 最后得到电感电流为 第70页/共115页 用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示。衰减系数为0.05的电感电流的波形 第71页/共115页u4(t)=(t)*(1.00 )*exp(-.500E-01t)cos(.999 t-90.00)第72页/共115页i3(t)=(t)*(1.00 )*exp(-.500E-01t)cos(.999 t+177.1)+(t)*(1.00 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t第73页/共115页根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。名 称时间1RLC串联电路

29、响应1:492RLC串联电路的阶跃响应2:223回转器电感应用2:594电阻器和电感器串联电路响应3:08第74页/共115页郁金香第75页/共115页94 一般二阶电路分析一般二阶电路分析除除了了RLC串串联联和和并并联联二二阶阶电电路路以以外外，还还有有很很多多由由两两个个储储能能元元件件以以及及一一些些电电阻阻构构成成的的二二阶阶电电路路。本本节节讨讨论论这这些些电电路路的的分分析析方方法法，关关键键的的问问题题是是如如何何建建立立电电路路的的二二阶阶微微分分方方程程以以及及确确定定相相应应的的初初始始条件。现在举例加以说明。条件。现在举例加以说明。第76页/共115页例例9-9图图9-

30、10(a)所所示示电电路路在在开开关关转转换换前前已已经经达达到到稳稳态态，已已知知uS(t)=6e-3tV，t=0闭闭合合开开关关。试试求求t 0时时电电容容电电压压uC(t)的全响应。的全响应。解：先求出电容电压和电感电流的初始值为解：先求出电容电压和电感电流的初始值为由此得到由此得到t0的电路如图的电路如图(b)所示。所示。图图9-10第77页/共115页以电容电压以电容电压uC(t)和电感电流和电感电流iL(t)为变量，列出两个网为变量，列出两个网孔的孔的KVL方程方程从这两个微分方程中消去电感电流从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以，可以得到以电容电压电容电压uC(t

31、)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是引用微分算子引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程将以上微分方程变换成代数方程第78页/共115页用克莱姆法则求得用克莱姆法则求得将上式改写为将上式改写为最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微分方程微分方程第79页/共115页从特征方程从特征方程求得特征根，即固有频率为求得特征根，即固有频率为 uC(t)的固有响应为的固有响应为 uC(t)的强制响应为的强制响应为第80页/共115页代入微分方程中得到代入微分方程中得到求得求得B=-9，即强制响应为，即强制响应

32、为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应的全响应为为现在利用初始条件确定常数现在利用初始条件确定常数K1 和和K2。将。将uC(0+)=6V代代入上式得到入上式得到第81页/共115页另外一个初始条件另外一个初始条件可以从代数方程中求得可以从代数方程中求得得到得到反变换得到反变换得到与与uC(0+),iL(0+),uS(0+)的关系式的关系式第82页/共115页联立求解以上两个代数方程可以得到联立求解以上两个代数方程可以得到最后得到电容电压最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式的全响应表达式从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变

33、换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程和求解微分方程所需的初始条件。和求解微分方程所需的初始条件。第83页/共115页建立二阶微分方程的主要步骤如下：建立二阶微分方程的主要步骤如下：1.以以uC(t)和和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。为变量列出两个电路微分方程。2.利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。3.联立求解两个代数方程得到解答联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中其中x表示电容电压表示电容电压uC(t)或电感电流或电感电流iL(t)，P(s),Q(s)

34、是是s的多项式。的多项式。4.将将x=P(s)/Q(s)改写为改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出形式，再反变换列出二阶微分方程。二阶微分方程。第84页/共115页例例9-10电路如图电路如图9-11所示，以所示，以uC(t)为变量的列出电路微分为变量的列出电路微分方程。方程。解：以解：以iL(t)和和uC(t)为变量列出两个网孔的为变量列出两个网孔的KVL方程方程图图9-11第85页/共115页引用微分算子引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程将以上微分方程变换成代数方程用克莱姆法则求得用克莱姆法则求得反变换可以得到以电容电压反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方为变

35、量的二阶微分方程程第86页/共115页由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当r=R时，变时，变为齐次微分方程，响应与电源电压为齐次微分方程，响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输无关，且具有零输入响应的性质。入响应的性质。假设改变电路参数，令假设改变电路参数，令r=2R时，二阶项的系数为零，时，二阶项的系数为零，以上方程变为以上方程变为此式是一阶微分方程，说明图此式是一阶微分方程，说明图911电路此时是一个一阶电路。电路此时是一个一阶电路。第87页/共115页由此分析可见，假如能够写出电路参数由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、r)用符号表示的电

36、路微分方程，就容易看出电路参数对用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。假设人们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足假设人们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足条件条件L+R2C=0，则一阶项系数也变为零，此时微分方程，则一阶项系数也变为零，此时微分方程将变为一个代数方程了。将变为一个代数方程了。第88页/共115页用笔算方法列出高阶动态电路的用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困阶微分方程比较困难，我们可以利用计算机程序难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将来列

37、出微分方程，将图图911各结点编号，如图各结点编号，如图912(a)所示。所示。运行符号网络分析程序运行符号网络分析程序SNAP，读入图，读入图912(b)所示电所示电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。图图912第89页/共115页-结 点 电 压,支 路 电 压 和 支 路 电 流-RUs-rUs U5(S)=-SCSLr+2RSCSL+SL+3RRSC-RSCr+2R -SCrUs+2RSCUs+Us I3(S)=-SCSLr+2RSCSL+SL+3RRSC-RSCr+2R 以以上上各各式式中中的的S表表示示微微分分算算子子，即即 ，用

38、用代代数数运运算算方方法法可得到以电容电压和电感电流为变量的微分方程。可得到以电容电压和电感电流为变量的微分方程。第90页/共115页根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。名 称时间1 1RLCRLC串联电路响应1:492 2RLCRLC串联电路的阶跃响应2:223 3回转器电感应用2:594 4电阻器和电感器串联电路响应3:08第91页/共115页郁金香第92页/共115页95 电路实验和计算机分析电路实例电路实验和计算机分析电路实例 首首先先介介绍绍用用计计算算机机程程序序DNAP来来建建立立动动态态电电路路的的微微分分方方程程和和

39、计计算算电电压压电电流流的的全全响响应应。再再介介绍绍一一种种观观测测RLCRLC串串联联二二阶阶电电路路阶阶跃跃响响应应的的实验方法。实验方法。第93页/共115页一、计算机辅助电路分析一、计算机辅助电路分析 对于二阶以及三阶以上的动态电路，建立微分方程和对于二阶以及三阶以上的动态电路，建立微分方程和确定相应的初始条件都十分困难。建立和求解确定相应的初始条件都十分困难。建立和求解n阶微分方程阶微分方程工作可以用计算机来完成这些工作。我们用动态电路分析工作可以用计算机来完成这些工作。我们用动态电路分析程序程序DNAP，只需要将电路元件的连接关系，元件类型和，只需要将电路元件的连接关系，元件类型

40、和参数，动态元件的初始值以及支路关联参考方向告诉计算参数，动态元件的初始值以及支路关联参考方向告诉计算机，就可以得到电路的微分方程，固有频率，电压电流的机，就可以得到电路的微分方程，固有频率，电压电流的频域和时域解答，并可以画出波形曲线。现在举例加以说频域和时域解答，并可以画出波形曲线。现在举例加以说明。明。第94页/共115页例例911电电路路如如图图913(a)所所示示，已已知知us(t)=6(t)V，电电容容电电压压uC1(0)=2V,uC2(0)=3V,试试以以电电容容电电压压uC1(t)为为变变量量建建立立微微分分方方程程和和计计算算电电路路的的固固有有频频率率，并并求求电电容容电电

41、压压uC1(t)的零输入响应，零状态响应和全响应。的零输入响应，零状态响应和全响应。图图913第95页/共115页解解：用用DNAP程程序序分分析析图图913(a)电电路路的的数数据据文文件件如如图图913(b)所所示示，其其中中V1表表示示阶阶跃跃电电压压源源，电电容容元元件件的的初初始始电电压压由由该该行行的的最最后后一一个个数数据据表表示示。运运行行DNAP程程序序，正正确确读读入入图图913(b)所所示示数数据据后后，选选择择建建立立微微分分方方程程的的菜菜单单和和结结点电压点电压V1作为方程的变量，可以得到以下计算结果。作为方程的变量，可以得到以下计算结果。图图913第96页/共11

42、5页 D=(dx/dt)-微 分 算 子 1.00 D*2(v1)+.350 D (v1)+.112 (v1)=.100 D (v1)+2.000E-02 (v1)式中式中D D表示微分算子，所得到的微分方程如下所示表示微分算子，所得到的微分方程如下所示 计算机得到的固有频率如下所示计算机得到的固有频率如下所示 S 1=-.1750 +j -.2847 rad/sS 2=-.1750 +j .2847 rad/s固有频率为固有频率为 第97页/共115页计算机得到的电容电压计算机得到的电容电压uC1(t)如下所示如下所示 v1(t)=(t)*(-.537 +j .724 )*exp(-.175

43、 +j-.285 )t +(t)*(-.537 +j-.724 )*exp(-.175 +j .285 )t +(t)*(1.07 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t +(t)*(1.00 +j .878E-01)*exp(-.175 +j-.285 )t +(t)*(1.00 +j-.878E-01)*exp(-.175 +j .285 )t +(t)*(.000 +j .263 )*exp(-.175 +j-.285 )t +(t)*(.000 +j-.263 )*exp(-.175 +j .285 )t *完 全 响 应 *v1(t)=(t)*(.463 +j 1

44、.07 )*exp(-.175 +j-.285 )t +(t)*(.463 +j-1.07 )*exp(-.175 +j .285 )t +(t)*(1.07 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t v1(t)=(t)*(2.34 )*exp(-.175 t)cos(.285 t-66.71 )+(t)*(1.07 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t第98页/共115页这表示阶跃电压源这表示阶跃电压源6(t)V单独作用引起的零输入响应为单独作用引起的零输入响应为 电容电压电容电压uC1(0)=2V单独作用引起的零状态响应为单独作用引起的零状态响应为

45、电容电压电容电压uC2(0)=3V单独作用引起的零状态响应为单独作用引起的零状态响应为 电容电压电容电压uC1(t)的完全响应为的完全响应为 第99页/共115页*画 v1(t)的 波 形*Time(s)v1(t)Min=.8829 Max=2.440 0.000E+00 2.000E+00 *2.000E+00 2.440E+00 *4.000E+00 2.236E+00 *6.000E+00 1.775E+00 *8.000E+00 1.330E+00 *1.000E+01 1.029E+00 *1.200E+01 8.942E-01*1.400E+01 8.829E-01*1.600E+

46、01 9.367E-01 *1.800E+01 1.006E+00 *2.000E+01 1.062E+00 *2.200E+01 1.093E+00 *2.400E+01 1.103E+00 *2.600E+01 1.099E+00 *2.800E+01 1.090E+00 *3.000E+01 1.080E+00 *3.200E+01 1.074E+00 *3.400E+01 1.071E+00 *3.600E+01 1.071E+00 *3.800E+01 1.072E+00 *4.000E+01 1.073E+00 *电容电压电容电压uC1(t)的波形曲线为的波形曲线为 第100页/共

47、115页电容电压电容电压uC1(t)的波形曲线为的波形曲线为 第101页/共115页v1(t)=(t)*(2.34 )*exp(-.175 t)cos(.285 t-66.71 )v1(t)=(t)*(2.34 )*exp(-.175 t)cos(.285 t-66.71 )+(t)*(1.07 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t +(t)*(1.07 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t电容电压的波形曲线第102页/共115页二、电路实验设计二、电路实验设计 用实验方法观察RLC串联电路阶跃响应的时候，由于信号发生器的输出电阻和电感线圈电阻的影响

48、，观察不到回路电阻很小时的振荡波形。下面举例说明如何减小RLC串联电路回路总电阻的实验方法，可以观察到等幅振荡的正弦波形。第103页/共115页例例912试用电压跟随器和回转器构成一个试用电压跟随器和回转器构成一个RLC串联电路，串联电路，观察电阻变化时电感电压阶跃响应波形的变化。观察电阻变化时电感电压阶跃响应波形的变化。图图9 915 15 观察观察RLCRLC串联电路阶跃响应的试用电路串联电路阶跃响应的试用电路 解解:实验方法观察实验方法观察RLCRLC串联电路阶跃响应的方法是将方波信串联电路阶跃响应的方法是将方波信号加在电路的输入端，用示波器观察电感或电容的电压。号加在电路的输入端，用示

49、波器观察电感或电容的电压。第104页/共115页由于信号发生器的输出电阻和电感线圈的电阻的影响，由于信号发生器的输出电阻和电感线圈的电阻的影响，观察不到回路电阻很小时的振荡情况。此时我们可以采用观察不到回路电阻很小时的振荡情况。此时我们可以采用两种方法来减小回路的总电阻，一个方法是在信号发生器两种方法来减小回路的总电阻，一个方法是在信号发生器的输出端接一个运放电压跟随器，它可以使输出电阻接近的输出端接一个运放电压跟随器，它可以使输出电阻接近于零。第二个方法是不采用电感线圈，而采用回转器变换于零。第二个方法是不采用电感线圈，而采用回转器变换电容的电感，它可以将电感电阻减小为零。采用这两种方电容的

50、电感，它可以将电感电阻减小为零。采用这两种方法就可以观察到等幅振荡的波形。具体的实验电路模型如法就可以观察到等幅振荡的波形。具体的实验电路模型如图图915所示，其中电压跟随器部分，请参考第五章第三节所示，其中电压跟随器部分，请参考第五章第三节的有关内容，其中回转器将的有关内容，其中回转器将0.2F电容变换为电容变换为0.2H的电感，的电感，请参考第七章例请参考第七章例713的内容。具体的实验过程和示波器所的内容。具体的实验过程和示波器所观察到的波形录像请参看教材光盘中提供的观察到的波形录像请参看教材光盘中提供的“RLC串联电路串联电路的响应的响应”。第105页/共115页在幻灯片放映时，请用鼠