动量矩定理解析.pptx

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1、质系中各质点对点质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和（矩心）的动量矩的矢量和称为称为质系对点质系对点O的的动量矩动量矩，也称，也称角动量角动量（Angular Momentum）动量矩是一个向量，它与矩心动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。的选择有关。质系的动量矩第1页/共64页质量均为质量均为m的两小球的两小球C和和D用长为用长为2l的无质量刚性杆连的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与上，杆与AB轴之间的轴之间的夹角为夹角为 ，轴，轴AB转动角速度为转动角速度为 ，角加速度为，角加速度为 ，A、B轴承间的距离为轴承间的距离为h，求系统对求

2、系统对O点的动量矩。点的动量矩。例1ACoDB 第2页/共64页解CD杆的角速度向量杆的角速度向量两小球对两小球对O点的向径点的向径小球的速度小球的速度由质系的动量矩的定义可得由质系的动量矩的定义可得以两个小球为研究对象，建立固连坐标系以两个小球为研究对象，建立固连坐标系Oxyz第3页/共64页定轴转动圆盘对圆心的动量矩r rOri 问题问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？第4页/共64页质系对质心的动量矩等于质系相对质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系质心平动系质心平动系质心平动系的动量矩，质心速度没有贡献。的动量矩，质心速度没有贡献。质点的绝对速度

3、质点的绝对速度质系对质心的动量矩 相对质心平动系速度相对质心平动系速度第5页/共64页平面运动圆盘对质心的动量矩平面运动圆盘对质心的动量矩v vo oOOr r v vo oO ri可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？第6页/共64页mivirixyzAOrA 对两点动量矩之间的关系第7页/共64页例2一半径为一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为已知圆盘对质心的

4、转动惯量为JO，角速度为，角速度为，试求，试求圆盘对水平面上圆盘对水平面上O1点的动量矩。点的动量矩。解：解：第8页/共64页对任意点的动量矩定理质系动量矩的变化仅取决于外力主矩，内力不能改变质系的动量矩。下面介绍两种常用的特殊情况：下面介绍两种常用的特殊情况：mivirixyzAOrA第9页/共64页对固定点的动量矩定理质系对固定点A的动量矩的变化率等于作用在质系上的外力系对A点的主矩。第10页/共64页刚体对定轴刚体对定轴z的动量矩：的动量矩：质系对定轴质系对定轴z的动量矩定理：的动量矩定理：刚体定轴转动运动微分方程刚体定轴转动运动微分方程给定给定MOz用此方程求解刚体转动规律。用此方程求

5、解刚体转动规律。给定刚体转动规律不能用此方程求给定刚体转动规律不能用此方程求解约束反力。可用刚体一般运动的解约束反力。可用刚体一般运动的动力学方程动力学方程(6个个)求解。求解。第11页/共64页质质量量均均为为m的的A和和B两两人人同同时时从从静静止止开开始始爬爬绳绳。已已知知A的的体体质质比比B的的体体质质好好，因因此此A相相对对于于绳绳的的速速率率u1大大于于B相相对对于于绳绳的的速速率率u2。试试问问谁谁先先到到达达顶顶端端并并求求绳绳子子的的移移动速率动速率u。例3第12页/共64页解取滑轮与取滑轮与A和和B两人为研究对象，两人为研究对象，系统对系统对O点动量矩守恒：点动量矩守恒：设

6、绳子移动的速率为设绳子移动的速率为u第13页/共64页解第14页/共64页动量矩守恒当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变。当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。第15页/共64页实例分析实例分析通过改变转动惯量来控制角速度。卫星展开太阳能帆板有一定消旋作用。第16页/共64页实例分析芭蕾舞演员花样滑冰运动员起旋、加速、减速、停止的分析起旋、加速、减速、停止的分析第17页/共64页质系对质系对质心平动系各轴质心平动系各轴质心平动系各轴质心平动系各轴的动量矩的变化率等于外力对相同坐标轴的合力矩。的动量矩的变化率等于外力对相同坐标轴的合力矩。Cx

7、yz为质心平动系。为质心平动系。质系对质心C的动量矩的变化率等于作用在质系上的外力对同点的主矩。对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理第18页/共64页质量均为质量均为m的两小球的两小球C和和D用长为用长为2l的无质量刚性杆连的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与上，杆与AB轴之间轴之间的夹角为的夹角为 ，轴，轴AB转动的角速度为转动的角速度为，角加速度为零角加速度为零，A、B轴承间距离为轴承间距离为h，求作用轴上的力矩及，求作用轴上的力矩及 A、B轴轴承的约束反力。承的约束反力。例4ACoDB第19页/共64页由质系的质心运动定理得由质系的质心运动定理

8、得外力对外力对O点的主矩为点的主矩为质系对定点的动量矩定理：质系对定点的动量矩定理：解利用例利用例1的结果的结果讨论：设作用轴AB上主动力矩为M(t)，求约束反力。第20页/共64页对质心的动量矩守恒对质心的动量矩守恒当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变。当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变。第22页/共64页实例分析花样滑冰：起旋、加速第23页/共64页实例分析卫星姿态控制：动量矩交换第24页/共64页讨论问题：动量轮的安装必须通过卫星质心吗？第25页/共64页实例分析猫下落翻身：1/8秒，翻身180度第28页/共64页跳水运动空翻空翻

9、转体“旋”实例分析第29页/共64页体育健身器材体育健身器材问题：绕竖方向动量矩守恒吗？问题：绕竖方向动量矩守恒吗？第30页/共64页刚体平面运动微分方程刚体相对质心的动量矩刚体相对质心的动量矩应用质心运动定理和应用质心运动定理和对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第33页/共64页ABO例6长长为为l质质量量为为m的的均均质质细细杆杆AB位位于于铅铅垂垂平平面面内内。开开始始时时杆杆AB直直立立于于墙墙面面，受受微微小小干干扰扰后后B端端由由静静止止状状态态开开始始沿沿水水平平面面滑滑动动。求求杆杆在在任任意意位位置置受受到到墙墙的的约约束束反反力力（

10、表示为（表示为 的函数形式，不计摩擦）。的函数形式，不计摩擦）。第34页/共64页刚体平面运动微分方程：刚体平面运动微分方程：(a)(b)(c)CPABO解取取 为广义坐标为广义坐标第35页/共64页解杆脱离墙的条件：杆脱离墙的条件：XA=0将式将式(a)和和(b)代入代入(c)：(a)(b)(c)第36页/共64页习题4-30 抽屉宽d，长b，与侧面导轨之摩擦系数均为f。因抽屉较大，在距两侧面为l处装置了两个拉手，如图所示。为了在使用一个拉手时抽屉也能顺利抽出，各尺寸应如何选择？从动力学角度研究一下？第37页/共64页例7半径为半径为r、质量为质量为 m的均质圆柱体，在半径为的均质圆柱体，在

11、半径为 R 的刚的刚性圆槽内作纯滚动性圆槽内作纯滚动。在初始位置。在初始位置 ，由静止，由静止向下滚动。向下滚动。求：求：1.圆柱体的运动微分方程；圆柱体的运动微分方程；2.圆槽对圆柱体的约束力；圆槽对圆柱体的约束力；3.微振动周期。微振动周期。RC O第40页/共64页 1.圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体作平面运动，由刚圆柱体作平面运动，由刚体平面运动微分方程得：体平面运动微分方程得：RC Ommg gF FN NC*圆柱体在圆槽上作大幅摆圆柱体在圆槽上作大幅摆动的非线性运动微分方程动的非线性运动微分方程解第41页/共64页2.圆槽对圆柱体的约束力圆槽对圆柱体的约束力3.微振

12、动的周期微振动的周期第42页/共64页均均质质杆杆AB长长为为l，质质量量为为m，用用两两根根细细绳绳悬悬挂挂。当当把把B绳突然剪断时，求杆绳突然剪断时，求杆AB角加速度和角加速度和A绳中张力。绳中张力。例8第43页/共64页解AB杆的动力学方程：杆的动力学方程：需补充方程后求解需补充方程后求解ABoyxC联立求解联立求解ABoyxC第44页/共64页讨论当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？OABl第45页/共64页例9质量为质量为m、半径为、半径为R的均质圆盘沿倾角为的均质圆盘沿倾角为 的斜面上的斜面上只滚不滑，如图所示。试求圆盘的质心加速度和斜只滚不滑，如图所示。试求圆盘的质心加速度

13、和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。第46页/共64页解取取x为广义坐标为广义坐标第47页/共64页讨论圆盘在自身平面内沿水平地面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度(角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零。在水平方向没有主动力作用情况下，保持这种纯滚动无需摩擦力，完全光滑的接触也可以。圆盘在自身平面内沿斜面作纯滚动，如果初始时刻轮心速度(角速度)为常数，则接触点速度为零，加速度的水平分量也为零，因此接触点与地面既无相对滑动又无相对滑动趋势，滑动摩擦力为零。如果此后仍然没有摩擦力，这种纯滚

14、动则无法保持，因为重力会使质心加速，但没有力矩使转动加快。如果有摩擦力，它既可以加速转动又可以减缓质心加速，从而保持纯滚动。第48页/共64页讨论圆盘在斜面上不打滑的条件圆盘在斜面上不打滑的条件若圆盘将又滚又滑，则补充方程为若圆盘将又滚又滑，则补充方程为第49页/共64页讨论对瞬心A点的动量矩定理由对由对A点的动量矩定理：点的动量矩定理：第50页/共64页CPABO在例6中，对瞬心D的动量矩为：D由对由对D点的动量矩定理：点的动量矩定理：第51页/共64页讨论对瞬心A点的动量矩定理CAFNxyxOmg如果瞬心A到质心C的距离保持不变：第52页/共64页杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前

15、抛出，杂技演员使杂耍圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运不久杂耍圆盘可自动返回到演员跟前。求完成这种运动所需的条件动所需的条件?(设开始时盘心速度为设开始时盘心速度为 ，盘角速度为，盘角速度为 ，求，求 与与 应该满足的关系应该满足的关系)例11第53页/共64页长为长为 的均匀杆的均匀杆AB，以铰固连于，以铰固连于A点，如果初始时点，如果初始时杆自水平位置无初速度的开始运动，杆自水平位置无初速度的开始运动，当杆通过铅直当杆通过铅直位置时去掉铰使杆成为自由体。试分析杆的运动，位置时去掉铰使杆成为自由体。试分析杆的运动，并求去掉铰以后，杆质心下降并求去掉铰以后，杆质心下降h时，杆转了多少圈时，杆转了多少圈?例12第57页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页