(完整版)线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第七单元.pdf

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1、12117.11.(,)?(1),|,;:.,.(2),|1,nniiV PVa b a ba b a bRPRVVa aaaarPR 习题下列系统是不构成线性空间实数域与为中的加法与数乘答代构成一个线性空间因为对与都封闭并且与满足线性运算的八条公理有理数域与为;:.,.(3)3,;:.,.(4),;:nVVVVVPVVVnPV中的加法与数乘答不构成一个线性空间因为在中没有零元当然对与都不可能封闭故不构成线性空间阶实对称矩阵的全体有实域与为矩阵的加法与数乘答构成一个线性空间因为对与都封闭并且与满足线性运算的八条公理阶可逆矩阵的全体实数域与为矩阵的加法与数乘答不构成一个线性空12121212.,

2、.2.?(1)(,)|0,;:.,.(2)(,)|0,;:.,nninnnninVVVWRWa aaaaaRWRWRWWRWa aaaaaRWRWW间因为在中没有零元当然对与都不可能封闭故不构成线性空间下列集合是否构成的子空间答构成的一个子空间因为对中的加法和数乘都封闭不空所以构成的一个子空间答不构成的子空间因为在中没有零元当然对1122121212112212,.(3)|,0;:.,.nnnnRVWkkRk kRk kkkWRWR 中的加法与数乘都不可能封闭故不构成线性空间当不全为零时答构成的一个子空间因为其实就是中两个线性无关向量所生成的线性子空间 127.21.7.1 1.(1),|,;

3、:2.1,0,1,0,1,00,1,0,1,0,1.(3)3,;:nVa b a ba b a bRPRVVVPV 习题确定习题第 题中各线性空间的维数与一组基实数域与为中的加法与数乘答的维数为与构成的一组基阶实对称矩阵的全体有实域与为矩阵的加法与数乘答的维1122331213231122331213236.100000000010000,010,000,100,000000001000001000000,001,1000102.7.12EEEEEEEEEEEEV数为如果则构成的一组基确定习题第题中各子空间121212111234111221212121.(1)(,)|0,;:1.(1,1,0

4、,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,1),.(3)|,ninnnWa aaaaaRVnWWkkRk kRk kk 的维数与组基答的维数如果则构成子空间的一组基当不全为零时12212121212-10;:2.,.3.0.:0:(1,1,1,1),:(1,1,0,0),(1,0,1,0),(nnTTnkVWxxxxxxA 答的维数为构成子空间的一组基确定的解空间的维数与一组基解方程齐次线性组的系数矩阵为它已经是一个简化行阶梯形矩阵由初等变换解方程组的方法可知,其解空间的基即齐次线性方程组基础解系为1,0,0,1):1Tn其解空间的维数为 1212121211111

5、125.:(1),.:1,1,:0,nnnnnnnVVVnVnxxV 证明是线性空间的一组基的充要条件是线性无关且 中任一向量都可由线性表出证明 充分条件由线性空间基的定义和题中条件我们只需证明中任意向量线相关设是 中任意个向量 现在证明它们线性相关令由 中任意一个向量都可以由线性表出可知12111121212121222211,(1)12,(2 1)2,(1)1111111 121212121222211,(1)12,(,:0:()()(nnnnnnnn nnnnnnnnnnkkkkkkkkkxxx kkkx kkkxkk可分别表示成代入得2 1)2,(1)1111221,(1)112112

6、222,(1)121 122,(1)11111221,(1)12112222,(1)112)0:()()()000,:n nnnnnnnnn nnnnnnnnkk xk xkxk xk xkxk xk xkxk xk xkxk xk xkxk 整理得由线性无关知1 122,(1)11111121121120,0,1,.:,.,nnn nnnnnnnxk xkxxxx xxVnVV 该线性齐次方程组显然有非零解 即中不全为零也就是 中任意个向量必然线性相关必要条件我们只需证明 中任意一个向量都可由线性表出设 为中任意一个向量 120101 122012001 122121200012,:0,0,

7、0,0:,nnnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkV 由题中条件知向量组是线性相关的 因此存在不全为零的数满足如果上式中的则上式会导致线性相关与题中条件矛盾因此上式中由知即 中任意一个向量都可由线性表出121212120101122.(2).:,1,:0,nnnnnnnnnVnVnVnnkkkkkk 维线性空间中任意 个线性无关的向量都是的一组基证明 设为 维线性空间 中任意 个线性无关的向量 由上题的结论我们只需证明 中任意一个向量都可表示为的线性组合由是 维线性空间中的个向量可知线性相关因此存在不全为零的数满足01200112212120001212310,0,0:,.7

8、.(1,2,1)(1,1,1),nnnnnnnkkkkkkkkkkkVnVnVR 如果上式中的则上式会导致线性相关与题中条件矛盾因此上式中由可知即 中任意一个向量都可由线性表出 所以 维线性空间中任意 个线性无关的向量一定是 的一组基在中示向量在基23123123112233123123123123(1,1,1),(1,1,1).:(1,2,1)(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)(,),(1,1,1)(1,1,1),(1,1,1)(1,2,1)1:21Tx xxxxxxxxxxxxxxxxx 下的坐标解 设向量 在基下的坐标下的坐标为则即由此各得12311:1,.22xxx 解此方

9、程组得 12312121212(1,2,1)(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)11(1,-).228.(,)(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0).:(,)(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)nnnnnRa aa 因此向量在基下的坐标为在中求向量在基在基下的坐标解 设在基下的坐标12112212121211212112112121(,),(1,1,1)(1,1,0)(1,0,0)(,):,(,)(1,1,Tnnnnnnnnnnnnnx xxxxxxxxa aaxxxaxxxaxaxaxaaxaaa aa为则即由此得由此各得解此方程组得即在基2-1124123412

10、341234,1),(1,1,0),(1,0,0)(,-,-).11.,(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),(1,1,1,1);211 11211:(,)303 11101nTnnnTTTTa aaaaP 下的坐标为在中求由向量生成的子空间的基与维数 设解 由12341241234124:10100110,.00010000,;3.13.,.nnPR 作初等行变换转换成阶梯形矩阵因此向量组的一个最大线性无关组为因此 在中求由向量生成的子空间的一组基为基维数是在中求一非零使 在下面两组基下面有相同的坐标 112233441122334(1,0,0,0)(2,1,1,1)(

11、0,1,0,0)(0,3,1,0)(0,0,1,0)(5,3,2,1)(0,0,0,1)(6,6,1,3):(1,0,0,0)(2,1,1,1)(0,1,0,0)(0,3,1,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)解从基到基41122334420561336(5,3,2,1)11211013(6,6,1,3)(1,0,0,0)(2,1,1,1)(0,1,0,0)(0,3,1,0),(0,0,1,0)(5,3,2,1)(0,0,0,1)(6,6,1,3)Ax的过渡矩阵为设向量 在基和基下的坐标都为则由坐标变换1234(-)0-10-5-60-1-2-3-601-1-1-10-10-1-20-1

12、0-5-6-1-2-3-6:1-1-1-1-10-1-210010101,00110000 xAxIA xxxxxx 的公式知即再通过初等行变换将变为简化行阶梯形矩阵因此(1,1,1,1)2342342323123423123423434412342314.1,.1)1,1,(1),(1).:1,1,(1),(1):(1)(1)(1)0,:()(23)(3)0:023x xxP xxxxP xxxxkkxkxkxkkkkkkkxkkxk xkkkkkkk已知是线性空间的一组基证明也是的一组基证明我们只需证明线性无关令得得43442312342342323232320300:0,1,1,(1),

13、(1),1,1,(1),(1).2)1,1,1,(1),(1).:1,1,(1),(1):1(1,)(1,0,0,0)1(1,TkkkkkkkxxxxxxP xx xxxxxxxxx xxxx x解之得即线性无关因而也是的一组基求从基到基的过渡矩阵解 把展开可得322332323232323,)(1,1,0,0)(1)(1,)(1,2,1,0)(1)(1,)(1,3,3,1)1,1,1,(1),(1):11110123001300013)1,1,(1),(1)1,.:TTTxxx xxxx xxx xxxxxAxxxx xx因此求从基到基的过渡矩阵为求从基到基的过渡矩阵解 从基变换的定义和过渡

14、矩阵的232323232323:1,1,(1),(1)1,1,1,1,(1),(1).1,1,(1),(1)1,:xxxx xxx xxxxxxxxx xx定义和性质知从基到基的过渡矩阵为求从基到基的过渡矩阵的逆矩阵从基到基的过渡矩阵为 1-123230123232301230123111111110123012300130013000100014)1,1,(1),(1).:1,1,(1),(1):(,),TAaa xa xa xxxxaa xa xa xxxxa a a a求在基下的坐标解在基下的坐标为由基变换23230123012301231-1012322333:1,1,(1),(1):1111230123(,)001330001Taa xa xa xxxxaaaaaaaaaAa a a aaaaaa坐标变换的定义及过渡矩阵的定义和性质知在基下的坐标为