北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案2199.pdf

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1、.北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。1 在直角坐标系中，求直线1202:zyxzyxl到平面03:zByx的正交投影轨迹的方程。其中 B 是常数 解：可以验证点1212,0,0,5555l，从而l 把l写成参数方程：1 325xkykzk ，任取其上一点:P(1 3,25,)kk k，设该点到上的投影为点:P(,)x y z 1 331031xkzkPPxz 30PxByz 整理即知，l到上的正交投影轨迹满足方程31030 xzxByz 由于1131，上述方程表示一条直线，而2*310B 和320B不同时成立，因此l到上的正交投影轨迹是一条直线 从而l到上的正交投影轨迹的

2、方程就是31030 xzxByz 2 在直角坐标系中对于参数的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222xyyx.对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。解：记11,2211,22T，容易验证TTE，因此直角坐标变换*xxTyy 是一个正交变换 在这个变换下，曲线方程变为22*(1)(1)xy .1)1 时，10,10,0，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为2*12y，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y，即yx 3)10 时，10,10,0，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)4)0时，曲线方程为22*0

3、 xy，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5)01时，10,10,0，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)6)1 时，曲线方程为2*12x，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0 x，即yx 7)1时，10,10,0，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3 设数域K上的n级矩阵A的),(ji元为jiba （1）.求A;(2).当2n时，2121,bbaa.求齐次线性方程组0AX的解空间的维数和一个基。解：(1)若1n，11|Aab 若2n，111221212122|()()ab abAaabbab ab 若2n，1112131212223211121123|

4、nnnnnnnnnnnababababababababAababababababab 1121112131212223212121211110nnnnnRRnRRnnnnnnnnnnnnnnababababababababaaaaaaaaaaaaaa (2).若2n，则111221212122|()()0ab abAaabbab ab，方程组0AX只有零解，其解空间维数为 0 若3n，则由(1)知道A的任意一个 3 级子式的行列式为 0，而A的一个 2 级子式11122122abababab的行列式为2121()()0aabb，从而2rankA 于是方程组0AX解空间的维数是2n，取向量组12

5、2,.,n，其中12iiiinccc，212121,1,21,0,n in iijbbjbbbbjcbbjni其他，1,2,.,2in 可知1222,.,nnCE，其中2nE是2n阶单位矩阵，C是一个2*(2)n的矩阵，从而122(,.,)2nrankn 并且对任意的1,2,.,2in，有212112112211221()(1)()0nn in in in iikikin ikbbbbbbbbab cabbbbbbbbbbb 因此122,.,n 都属于方程组0AX解空间，从而是方程组0AX解空间的一组基 4（1）设数域K上n级矩阵，对任意正整数m，求mC C 是什么？（2）用)(KMn表示数域

6、K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间。数域K上n级矩阵1432121321aaaaaaaaaaaaAnnn称为循环矩阵。用U表示K上所有n级循环.矩阵组成的集合。证明：U是)(KMn的一个子空间，并求U的一个基和维数。证：对任意的1231212341nnnaaaaaaaaAUaaaa，以及kK，有,(1,2,.,)iiaKkaKin 因此12312312112123412341nnnnnnaaaakakakakaaaaakakakakakAkUaaaakakakaka 对 任 意 的1231212341nnnaaaaaaaaAUaaaa，和123121234

7、1nnnbbbbbbbbBUbbbb，有,iiiiaK bKabK 因此 1231231122331211211122112341234122334411nnnnnnnnnnnnaaaabbbbababababaaaabbbbababababABUaaaabbbbabababab 可知U是)(KMn的一个子空间。记12312(1)2341iiiininiii niiiiiccccccccCcccc，其中0,1,ijjicji，1,2,.,in，对 任 意 的1231212341nnnaaaaaaaaAUaaaa，有1nkkkAa C，即U所 有 向 量 都 能 用 向 量 组12(,.,)nC

8、 CC线性表出.设一组数,1,2,.,ikK in，满足1niinik CO，亦即1231212341nnnnkkkkkkkkOkkkk 可得0,1,2,.,ikin，向量组12(,.,)nC CC线性无关 综上向量组12(,.,)nC CC是U的一组基 5（1）设实数域R上n级矩阵H的),(ji元为11 ji（1n）。在实数域上n维线性空间nR中，对于nR,，令Hf),(。试问：f是不是nR上的一个内积，写出理由。（2）设A是n级正定矩阵（1n）nR，且是非零列向量。令 AB，求B的最大特征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解：(1)f是nR上的一个内积，证明如下：容易验证

9、f是nR上的一个双线性函数 对nR中任意的非零向量12naaa，11(,)1nnijija afHij 令11()niiig xa x，是R上的一个多项式函数，有22110()nnijijijgxa a x 可得11221111000()(,)1nnnnijijijijija agx dxa axdxfij 若120()0gx dx，由于2()gx在01，上连续，则必有2()0gx，()0g x 则0,1,2,.,iain，即0，与是nR中非零向量矛盾。所以120()0gx dx，(,)0f 所以f是nR上的一个内积 (2)由于A正定，0，可得0A，0A，1rankBrank，.由1rankB

10、 知方程组0BX 解空间0W的维数为1n，0W同时也是B的属于 0 特征值的特征子空间 由0，0A和()BAAAAAA ，知是B的特征值，A是 B 的属于特征值的特征向量 设B的 属 于 这 个 特 征 值 的 特 征 子 空 间 为W，由0，00WW，所 以00dimdimdim()WWWWn 即dim1W，而0,AAW，dim1W，W的一组基为A 0dim1dimdimWWWn，因此B没有其他特征值，0是B的唯一非零特征值，也是B最大的特征向量 6设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换，用I表示V上的恒等变换，证明：nrankrank)()(23AAIAIIA 证明：记32()1,()1,()1f xxg xx h xxx 其中(),()1g x h x，()()()f xg x h x 因此()()()KerfKergKerhAAA，()()0KergKerhAA 于是 2()0()()()dimdim()dim()()()()()fKerfVVKergKerhVKergKerhnnrankgnrankhnrankrank3AIAAAAAAAAIAIAA