2021-2022学年度高中数学月考试卷试题答案444.pdf

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1、答案第 1 页，共 13 页 2021-2022 学年度高中数学月考试卷 一、单选题 1命题“1x，220 x”的否定是（）A1x，220 x B1x，220 x C1x，220 x D1x，220 x 2定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)am n，(,)bp q，令abmqnp.下面说法错误的是 A若ab与共线，则0ab Babba C对任意的,()Rabab有（）D2222()()aba bab 3在ABC中，1,2,60acB，则b（）A1 B2 C2 D3 4在四边形 ABCD 中，3ABAD，ABDC，且ABADABAD，则AB与CA的夹角为（）A6 B3 C23 D

2、56 5在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A，B，C 满足2BA C，则acb的取值范围是（）A1,2 B1,3 C3,2 D2,2 6.在RtABC中，3ABAC，20BPCP，则AP CB（）A-3 B0 C3 D6 5 7已知单位向量abc，满足abc.若常数123的取值集合为11M ，则123abc的最大值为（）A3 B2 C2 2 D2 3 8已知ABC 中，23ABAC，若BMCN恒成立（其中,M N分别是AC,AB的中点），则的最小值为（）A 43 B 1 C 78 D 45 二、多选题 答案第 2 页，共 13 页 9ABC 内角 A B C 对边分别是

3、 a，b，c已知 a=2，b=2，A=30，则B可以是（）A45 B60 C120 D135 10在ABC 中，D 为 BC边上的中点，P0是边 AB上的一个定点，014P BAB，且对于 AB 上任一点 P，恒有PBPC0PB0PC，则下列结论中正确的是（）APBPC2PD2DB；B存在点 P，使|PD|0PD|；C0PCAB0；DACBC.11函数=sin()y Ax（其中0A，0，2）的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A2A B12 C6 D6 12已知点P在ABC所在平面内，则（）A满足PA PBPB PCPC PA时，P是ABC的外心 B满足0PAPBPC时，P是ABC的重

4、心 C满足sinsinsin0A PAB PBC PC时，P是ABC的内心 D满足sin2sin2sin20A PAB PBC PC时，P是ABC的垂心 三、填空题 13下列命题中，正确命题的序号为_ 单位向量都相等；若向量a，b满足ab，则ab；向量就是有向线段；模为0的向量叫零向量；向量AB，CD共线与向量ABCD意义是相同的 14已知ABC 中，B45，6BC，2 3AC，则 A_ 15已知在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且5c，点 O为其外接圆的圆心，已知12BO AC，则当角 C 取到最大值时ABC 的面积为_.16在等腰直角三角形ABC中，2C，点P在三角形

5、内，满足2(2 22)0PAPBPC，则APB_.四、解答题 17已知a，b，c是两两垂直的单位向量，求：(1)ab；(2)ababc；答案第 3 页，共 13 页(3)a bc 在ab方向上的投影数量；(4)cos,ab abc 18在ABC中，角 ABC 的对边分别为 abc，已知22332acbac(1)求cosB的值；(2)若53ab，求sin A的值.19在直角坐标系中，已知向量1,3a，cos,sinbxx，0,2x，(1)若ab，求tan x的值；(2)若a与b夹角为23，求 x 的值.20杭州亚运会主场馆坐落于杭州奥体中心，外形酷似一只巨大的“莲花碗”，在大气磅礴的“莲花碗”旁

6、有一座高楼“杭州之门”，“杭州之门”呈“H”型，分东、西两塔，为了测量“莲花碗”楼顶中心 C与“杭州之门”东塔最高点 D这两点间的距离，无人机在 A 点测得前方 C、D 两点的俯角分别为 75，30后，沿水平飞行 1000 米到 B点，此时发现 C、D两点在无人机后方，于是调整无人机方向，测得 C、D两点的俯角分别为 45，60（如图 A、B、C、D在同一个铅垂平面内），求CD的值.21.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c （1）已知cossinbcAA，且 （在13CA CB，6B，31a，这三个条件中任选两个补充到横线上），求c；（2）若14CDCA，12CECB，AE与B

7、D交于点F，过F的直线分别交线段AD BE,于,M N两点，设CMpCA，CNqCB，求pq的最小值 22.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cossin2ACabA，BD平分ABC交AC于点D，且2BD，23ADCD.（1）求B；（2）求ABC的面积.答案第 4 页，共 13 页 2021-2022 学年度高中数学月考试卷解析 一、单选题 1命题“1x，220 x”的否定是（）A1x，220 x B1x，220 x C1x，220 x D1x，220 x 解：命题“1x，220 x”的否定是：1x，220 x，故选：D.2定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)am

8、 n，(,)bp q，令abmqnp.下面说法错误的是 A若ab与共线，则0ab Babba C对任意的,()Rabab有（）D2222()()aba bab 若a与b共线，则有=mq-np=0ab，故 A 正确；因为，而=mq-npab，所以有abba，故选项B 错误；因为(,)(,)abmnp qmqnq（），()()abmqnpmqnp，所以选项 C 正确；2222222222222222()()()()()()aba bmqnpmpnqm qn pm pn qmnqp，222222=()()mnapqb，所以选项 D 正确.故选 B 3在ABC中，1,2,60acB，则b（）A1 B2

9、 C2 D3 解：由余弦定理，得2222212cos122 1 232bacacB ，3b.故选：D.4在四边形 ABCD 中，3ABAD，ABDC，且ABADABAD，则AB与CA的夹角为（）A6 B3 C23 D56 解：因为ABDC，所以四边形 ABCD 为平行四边形.因为ABADABAD，所以四边形 ABCD的对角线相等，综上，四边形 ABCD为矩形.因为3ABAD，所以3tan3BAC，得6BAC，故AB与CA的夹角为56BAC.答案第 5 页，共 13 页 故选：D 5在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A，B，C 满足2BA C，则acb的取值范围是（）A1

10、,2 B1,3 C3,2 D2,2 解：因为角 A，B，C 成等差数列，所以 AC2B因为ABC，所以3B 因为sinsin22sinsinsin33acACAAbB222sinsincoscossin333AAA 233sincos223AA2sin6A，因为203A，所以5666A 所以1sin126A，所以12sin26A，故12acb 故选：A 6.在RtABC中，3ABAC，20BPCP，则AP CB（）A-3 B0 C3 D6 5 解：由题意知，0AB AC，3ABAC，20BPCP，得23BPBC 22213333ABABBPABBCPABCAAABCA，CBABAC，故2221

11、2133333AP CBACABABACACAB 故选：A 7已知单位向量abc，满足abc.若常数123的取值集合为11M ，则123abc的最大值为（）A3 B2 C2 2 D2 3 解：由条件abc得1231323abcab，13和23的取值只有三种可能，分别为022，但二者不可能同时一个取2，另一个取2，1323()()ab的化简结果只有四种形式：02|a2 b2 ab，而1abc，故所有可能取值只有0或2两种结果，123abc的最大值为2.答案第 6 页，共 13 页 故选：B 8已知ABC 中，23ABAC，若BMCN恒成立（其中,M N分别是AC,AB的中点），则的最小值为（A

12、）A 78 B.1 C.43 D.45 二、多选题 9ABC 内角 A B C 对边分别是 a，b，c已知 a=2，b=2，A=30，则B可以是（）A45 B60 C120 D135 解：由正弦定理知：sinsinabAB,所以12sin22sin22bABa，因为ab，所以AB，且0180B所以45B 或135B,故选：AD 10在ABC 中，D 为 BC边上的中点，P0是边 AB上的一个定点，014P BAB，且对于 AB 上任一点 P，恒有PBPC0PB0PC，则下列结论中正确的是（）APBPC2PD2DB；B存在点 P，使|PD|0PD|；C0PCAB0；DACBC.解：A,因为22(

13、)()PB PCPDDBPDDCPDDB，故 A 正确.B：由 A 知，22000P B PCP DDB，又PBPC0PB0PC恒成立，20PDPD，即0|PDP D恒成立，B 不正确.C：由0|PDP D恒成立，0|P D是点 D 与直线 AB 上各点距离的最小值，0P DAB，0=0PD AB，故 C 错误.D：取 AB的中点为O，014PBAB，0P为 OB 中点,0/CO P D，COAB，ABC 等三形，ACBC,故 D 正确.故选：AD.11函数=sin()y Ax（其中0A，0，2）的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A2A B12 C6 D6 答案第 7 页，共 13

14、页 解：由图象可知2A，2362T，所以20T，2，所以2sin(2)yx，将,23代入2sin(2)yx，得2222sin,sin133，由于2，所以232，解得6.故选：AC 12已知点P在ABC所在平面内，则（）A满足PA PBPB PCPC PA时，P是ABC的外心 B满足0PAPBPC时，P是ABC的重心 C满足sinsinsin0A PAB PBC PC时，P是ABC的内心 D满足sin2sin2sin20A PAB PBC PC时，P是ABC的垂心 解：A.PA PBPB PC，得0PAPCPB，即CAPB，同理ABPC，CBPA，所以点P是ABC三条垂线的交点，所以P是ABC的

15、垂心，故 A 错误；B.若0PAPBPC时，PAPBPC，设点O是BC的中点，所以2PAPO，同理设12,O O是AB和AC的中点，所以12PCPO，22PBPO，所以P是ABC的三条中线的交点，即点P是ABC的重心，故 B 正确；C.sinsinsin0A PAB PBC PC，由正弦定理可知 0a PAb PBc PCa PAbPAABcPAAC ，所以ABACABACabcPAbcbcbcABACABAC ,故bcABACPAabcABAC，所以点P在A的角平分线上，同理可证明点P在B和C的角平分线上，故点P为ABC的内心，故 C 正确；D.当ABC是直角三角形，且90C，60A，30B

16、时，满足sin2sin2sin20A PAB PBC PC时，即0PAPB，即点P是斜边AB的中点，点P是ABC的外心，不是垂心，故 D 错误.故选：BC 三、填空题 13下列命题中，正确命题的序号为_ 单位向量都相等；若向量a，b满足ab，则ab；向量就是有向线段；模为0的向量叫零向量；向量AB，CD共线与向量ABCD意义是相同的 解：对于.单位向量方向不同时，不相等，故不正确.答案第 8 页，共 13 页 对于.向量a，b满足ab时，若方向不同时，不相等，故不正确.对于.有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量.向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确,对于.根据零向量的

17、定义，正确.对于.根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确.故答案为：14已知ABC 中，B45，6BC，2 3AC，则 A_ 解：ABC 中由正弦定理得：sinsinBCACAB,即62 3sinsin45A，则1sin,302AA 或150，又BCAC，故A为锐角，所以 30A，故答案为：30 15已知在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且5c，点 O为其外接圆的圆心，已知12BO AC，则当角 C 取到最大值时ABC 的面积为_.解：设 AC的中点为 D，因为点 O 为其外接圆的圆心，所以 OA=OB=OC，连接 OD，由三线合一得：ODAC，则221

18、1121222BO ACBDDOACBD ACBCBABCBABCBA即22111222ac，所以7a，由ca知，角 C 为锐角，故22224925124cos21414abcbCbabbb，因为0b，所以由基本不等式得：1241242 6cos1477Cbbbb，当且仅当24bb，即2 6b 时等号成立，此时角 C 取到最大值，25sin1 cos7CC，115sin72 65 6227ABCSabC，ABC 的面积为5 6.故答案为：5 6 16在等腰直角三角形ABC中，2C，点P在三角形内，满足2(2 22)0PAPBPC，则APB_.解：如图，延长AP、BP、CP，与对边分别交于点D、

19、E、F.,PAPFFA PBPFFB，(2)(12)(22 2)0FAFBPFPC 20FAFB，即:2:1AF FB ，212AFAB，答案第 9 页，共 13 页 同理:(22):1,:(22 2):1BD DCAE EC，212AEAC，又在等腰直角三角形ABC中，2C，3.28CABAEAFAEF 延长CF至点G，使得/BGAC.则12BGBFACAF.记EBC，GCB.则1tan32 2CECECBAEEC，1tan2tan()14BPFAEPF 、四点共圆，38APEAFE，58APB.故答案为：58 四、解答题 17已知a，b，c是两两垂直的单位向量，求：(1)ab；(2)aba

20、bc；(3)a bc 在ab方向上的投影数量；(4)cos,ab abc 解：(1)由题设，222210 12abaa bb ，则2ab.(2)由题设，221000100ababcaa ba cb abb c .(3)由（2）知：()()aabcb，所以a bc 在 ab方向上的投影数量为 0.(4)由（2）知：cos,0ab abc.18在ABC中，角 ABC 的对边分别为 abc，已知22332acbac(1)求cosB的值；(2)若53ab，求sin A的值.解：(1)在ABC中，由22332acbac，整理得222223acbac，又由余弦定理，可得2cos3B；(2)0,B由（1）可

21、得5sin3B，又由正弦定理sinsinabAB，及已知53ab，可得sin355sin535aBAb；故5sin5A.答案第 10 页，共 13 页 19在直角坐标系中，已知向量1,3a，cos,sinbxx，0,2x，(1)若ab，求tan x的值；(2)若a与b夹角为23，求 x 的值.解：(1)ab，cos3sin0a bxx，即cos3sinxx 0,2x，13 tan x，3tan3x(2)由题意得：cos3sin1cos,22a bxxa bab，cos3sin1xx，1sin62x，0,2x，,66 3x ，66x，解得：3x.20杭州亚运会主场馆坐落于杭州奥体中心，外形酷似一

22、只巨大的“莲花碗”，在大气磅礴的“莲花碗”旁有一座高楼“杭州之门”，“杭州之门”呈“H”型，分东、西两塔，为了测量“莲花碗”楼顶中心 C与“杭州之门”东塔最高点 D这两点间的距离，无人机在 A 点测得前方 C、D 两点的俯角分别为 75，30后，沿水平飞行 1000 米到 B点，此时发现 C、D两点在无人机后方，于是调整无人机方向，测得 C、D两点的俯角分别为 45，60（如图 A、B、C、D在同一个铅垂平面内），求CD的值.解：在ABC中，因为75CAB，45CBA，所以180754560ACB，又因为1000AB，所以由正弦定理，得1000sin45sin60AC，即1000sin 451

23、000 6sin603AC；在ABD中，因为30DAB，60DBA，所以180306090ADB，又因为1000AB，所以由正弦定理，得1000sin60sin90AD，即1000sin60500 3sin90AD；在ACD中，因为500 3AD，1000 63AC，且753045CAD，由余弦定理，得222cos45CDADACAD AC 221000 61000 62(500 3)()2 500 3332 500 153，即500 15|3CD 米.答案第 11 页，共 13 页 21.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c （1）已知cossinbcAA，且 （在13CA C

24、B，6B，31a，这三个条件中任选两个补充到横线上），求c；（2）若14CDCA，12CECB，AE与BD交于点F，过F的直线分别交线段AD BE,于,M N两点，设CMpCA，CNqCB，求pq的最小值 解：（1）由已知得sinsincossinBCAA所以sinsincossinsinA CCACA，即sincoscossinsincossinsinACACCACA所以，cossinCC，所以34C 若选 由13CA CB，得cos13baC ，所以62ab 由6B，得12ABC，所以由2sinsinabRAB，得216224abR 所以622aR，bR，所以262622abR，得2R 所

25、以，32 sin2 2sin24cRC 若选 由30B，得12ABC，又因为31a，所以由正弦定理sinsinsincbaCBA，得3 12 21262224cb 所以2c，若选 由13CA CB，得cos13baC ，所以62ab 又31a，所以2b 答案第 12 页，共 13 页 所以2222coscababC2223122622 4所以2c （2）设CFCACB，则42CFCDCBCACE 因为A F E,三点共线，B F D,三点共线所以4121，解得17，37 所以13137777CFCACBCMCNpq由M N F,三点共线，得13177pq 所以134342 3777777qpp

26、qpqpqpq当且仅当317p，337q时，pq有最小值42 37 22.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cossin2ACabA，BD平分ABC交AC于点D，且2BD，23ADCD.（1）求B；（2）求ABC的面积.解：（1）因为cossin2ACabA，所以sincossinsin2ACABA，因为sin0A，180ABC，所以cossin22BB，sinsin2BB，故2BB，解得23B（2）如图，绘出ABC，因为BD平分ABC，所以3ABDDBC，因为23ADCD，所以可设3ADx，2CDx，故在ABD中，有sinsinADBDABDA，即32sinsin3xA；在B

27、DC中，有sinsinDCBDCBDC，即22sinsin3xC，两式联立，可得3sin2sinAC，因为3ACB，所以3sin2sin3AA，即3sin2 sincoscossin33AAA，化简得4sin3cosAA，联立224sin3cossincos1AAAA，解得57sin19A，将57sin19A代入32sinsin3xA中，可得193x，故319ADx，2 1923CDx，在ABD中，222cos2ABBDADABDAB BD，答案第 13 页，共 13 页 化简得2116AB，解得5AB 或3（舍去）；在BDC中，222cos2CBBDCDCBDCB BD，化简得24919BC，解得103BC或43（舍去），故1110325 3sin522326ABCSAB BCABC.