材料力学第五版附录I截面的几何性质+习题答案306.pdf

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1、.附录 I 截面的几何性质 习题解 习题 I-1 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。（a）解：)(24000)1020()2040(3mmyAScx（b）解：)(42250265)6520(3mmyAScx（c）解：)(280000)10150()20100(3mmyAScx（d）解：)(520000)20150()40100(3mmyAScx 习题 I-2 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。dxxddA)(；微分面积的纵坐标：sinxy；微分面积对x轴的静矩为：dxdxxdxxdydxxdydAdSxsins

2、in)(2.半圆对x轴的静矩为：32)0cos(cos3cos3sin33003002rrxddxxSrrx 因为cxyAS，所以cyrr232132 34ryc 习题 I-3 试确定图示各图形的形心位置。（a）解：习题 I-3(a):求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 4 左 225000 右 225000 14000 123.6 46.4 Ai=Li*Bi Yc=AiYci/Ai(b)解：习题 I-3(b):求 L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 16 0 80 128000

3、左 9 00 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai=Li*Bi Yc=AiYci/Ai Xc=AiXci/Ai(c).解：习题 I-3(c):求槽形与 L 形组合截面的形心位置 型钢号 Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢 20 32.837 10 328.37 -1.95-64.03 等边角钢80*10 15.126 2.35 35.546 2.35 35.546 47.963 363.92 7.6 -28.49-0.6 Yc=AiYci/Ai Xc=AiXci/Ai 习题 I-4 试求图

4、示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩xI、yI和惯性积xyI。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。dxxddA)(；微分面积的纵坐标：sinxy；微分面积对x轴的惯性矩为：dxdxdxxdxdxxdydAydIx232222sinsin)(四分之一圆对x轴的惯性矩为：2/0042/020322cos14sindxddxxIrrx )2(2cos212142/02/04ddr 2sin21282/04r 164r 由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：.164rIIxy 微分面积对x轴、y轴的惯性积为：xydAdIxy 8)42(214221)(21444042222

5、00022rrrxxrdxxrxydxxdxIrrxrrxy 习题 I-5 图示直径为mmd200的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm20的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。解：圆的方程为：222ryx 如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dyyrdA222 切去2之后，剩下部分对x轴的惯性矩为：dyyryIrrx22sinsin22 sinsin42222arcsin8)2(82rrryryrryy)4sin41(24r)4sin4(84r 2221100)20100(x 360021x.)(601mmx 346020100tan

6、)(927.013.5334arctan0rad)(10963.3)52.212sin927.04(81004704mmIx 习题 I-6 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。dyydzdyydzdAyIaazazazazaAz22022222222220222 222022022202022dyydzdyydzaazaza 3222022030222203aazaazdzydzy )22()22()22()22(3222030223aaazdazazdaz aaazaz220402244)22(324)22(32=16163

7、244aa 124a.故正方形对其的对角线的惯性矩为：124aIz。习题 I-7 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。(a)解：)(21177368)175150(1 17514.3641)1(64144424mmDIx(b)(9044999915090121210150121433mmIx 习题 I-8 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得.习题 I-9 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距 1 m。解

8、：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩 再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩 习题 I-10 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是.上面一个圆的圆心到 轴的距离是d632。利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：习题 I-11 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。解：（a）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是。利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 )(657600002)1012011510120

9、121(104.34237mmIz（b）等边角钢 的截面积是，其形心距外边缘的距离是 28.4 mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题 I-11（b）图 图形 b h Ixc a A Ix 中间矩形 1 0000 上矩形 250 10 20833 3 3333 下矩形 250 10 20833 3 3333 左上 L 形 271.6 1926 143869495 右上 L 形 271.6 1926 143869495 左下 L 形 271.6 1926 143869495 右下 L 形 271.6 1926 143869495 AaIIxcx2 1220644645 .习题 I-12 试求

10、习题 I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利 用该题的结果。解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下：习题 I-12 试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。习题 I-13(a)图形 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上矩形 1 0 650 225 83333333 5145833333 下矩形 3 300 125 00 全图 280000 119000000 425 习题 I-13(b)图形 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上图(3)25 150 3750 275 148 7031

11、250 89601489 中图(2)20 2 56250 下图(1)1 25000 102 1041667 52667577 全图 38750 127 198597110 .习题 I-13(c)图形 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4)ai Ix(mm4)矩形 2140 1150 2461 75000 271222708333 159 333213698275 半圆 790-980333 7 42750202791 399 198820222116 全图 1480667 1086382333 734 9 半圆：3/4ryc 半圆：9/88/44rrIxc 习题 I-

12、13(d)图形 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm4)从下往上 22 60 374 75 3 57960 359 41160 324821280 16 674 1 728 0 408242699 408242699 22 189880 329 50307 333432587 445 9 4005 722.5 2893613 341 27 5 23909 9127341 382 2023302914 习题 I-14 在直径aD8圆截面中，开了一个aa42 的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩xI和yI。解：先求形心主轴 的位置 截面图

13、形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y 轴向下为正）（组合图形对过圆心轴 x1 的惯性矩）.（组合图形对形心轴 x 的惯性矩）习题 I-14 b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYci Yc(a)Ixc ai Ix(a4)矩形 4 2 -8.00 1-8 2.667 1.1893 14.0 圆 4 50.27 0 0 201.062 -0.1893 202.9 42.27 -8-0.1893 188.9 习题 I-15 正方形截面中开了一个直径为mmd100的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：习题 I-15 图形 bi hi

14、r Ai Yci AiYci Yc Ixci ai Ix 正方形 200 200 40000 100 4000000 133333333 2 133546801 半圆 50-3927 79 -309365 685977 24 2860346 全图 36073 3690635 102 130686455 34100ryc 98844rrIxc AaIIxcx2 形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4130686455 mmIx。对竖直形心轴的惯性矩：.)(13087896685014159.31220081244444mmraIy 习题 I-15 图形 a r Iy（mm4）正方形

15、 200 133333333.3 半圆 50 2454367 全图 130878966 81244raIy 习题 I-16 图示由两个a20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩xI和yI相等，则两槽钢的间距a应为多少？解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴 的距离是。根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是 ；若 即 等式两边同除以 2，然后代入数据，得.于是 所以，两槽钢相距 习题 I-17 试求图示截面的惯性积xyI 解：设矩形的宽为 b 高为 h，形心主惯性轴为ccyx 0，则 由平行移轴公式得：2241)2()

16、2(0hbbhbhabAIICCyxxy 故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为：2241hbIxy 习题 I-18 图示截面由两个mmmmmm10125125的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩maxI和最小惯性矩maxI。解：从图中可知，该截面的形心 C 位于两缀板共同的形心上。过 C 点作水平线，向右为cx轴正向；过 C 点，垂直于cx轴的习题 I-17 图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形:100 10 250000 重复加的矩形 10 10 2500 全图 上图+下图-重复图=497500.直线为cy轴向上为正。把ccc

17、yx坐标绕 C 点逆时针转045 后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,yx。主惯性矩max0IIx，min0IIy 查型钢表得：12.5 号等边角钢的参数如下：2373.24cmA ，446.14900cmIIxy，489.57300cmIIyx，cmz45.30 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：cmza295.3)5.045.3(212220)(1820373.24)295.3(46.149242max0cmIIx)(114889.57324min0cmIIy（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）习题 I-19 试求图示正方形截面的惯性积

18、11yxI和惯性矩1xI，1yI并作出比较。解：124aIx 124aIy 0 xyI（yx,为形心主惯性轴）1200212122sin2cos224441aaaIIIIIIxyyxyxx.1200212122sin2cos224441aaaIIIIIIxyyxyxy 0002cos2sin211xyyxyxIIII 结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。习题 I-20 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。（a）解：截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

19、)(5.575146666)402400(20121240200)2402400(402001214323mmIx)(6.18314666620320121240200)2202200(200401214323mmIy)(259200000240200)2202200()2402400(4mmIxy 3164.16.1813466665.575146666)259200000()2(22tan0yxxyIII 47523164.1arctan200 242600 Ix Iy Ixy 575146666.5 183146666.6-259200000 Ix0=704109187 57514666

20、6.5 183146666.6-259200000 Iy0=54184146 .224)(21200 xyyxyxyxIIIIIII (b)解：以 20 号槽钢（图 I）的下边缘为 x 轴，左边缘为 y 轴，建立坐标系。8 号槽钢编号为图 II。则组合截面的形心计算如下：习题 I-20(b)长度单位:cm 图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 32.8 1.95 10 64 328.3 II 10.2-1.4 16-15 163.8 全图 43.1 49.4 492.1 1.15 11.4 习题 I-20（b）图形 Ai ia bi Ixci Iyci Ixci

21、Iyci Ixciyci Ixciyci tan2a0 a0 Ix0 Iy0 I 32.8-1.43 0.804 1913.7 143.6 1981 165 0-37.635 II 10.2 4.573-2.58 101.3 16.6 315.5 84.6 0-120.66 全图 43.1 2296 249 0-158.29 0.1547 4.4 2308.2 237.2 习题 21 试用近似法求习题 I-4 所示截面的xI，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径mmr100。解：圆的方程为：.222100 yx 把 y 轴的半径 10 等分，即mm10。过等分点，作 x 轴的平行线。从

22、下往上，每个分块 的中点的 y 坐标与 x 坐标如下表所示。习题 I-21 iy ix ia iixa2 5 99.87 5 10 24969 15 98.87 15 10 222454 25 96.82 25 10 605154 35 93.67 35 10 45 89.30 45 10 55 83.52 55 10 65 75.99 65 10 75 66.14 75 10 85 52.68 85 10 95 31.22 95 10 近似解iiixxaI1012 精确解1610014159.31644rIx 误差(%)1.30 习题 I-22 试证明：直角边长度为a的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为724aIxy（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）.解:bybhz)(24)(222202200hbydyybbhydyzdzdAyzIbbzAyz 7223324)3)(3(2222hbbhhbhbAhbIIyzzyCC 令ahb得:72|4aICCzy.