小学数学知识点例题精讲《牛吃草问题（二）》教师版.docx

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1、6-1-10.牛吃草问题（二）教学目标1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路.2. 初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的普通算术一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定“牛吃草”问题是小学应用题中的难点解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变; 每头牛每天的食草量不变; 草的总量草场原有的草量新生

2、的草量,其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为：设定1头牛1天吃草量为“1”;草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数);原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数;吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度);牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题例题精讲模块一、 “牛”吃草问题的变例【例 1】 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯

3、时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为：“在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20秒后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过15秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶?”采用牛吃草问题的方法,电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶,电梯的速度为阶/秒,扶梯长度为（阶）.【答案】级【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶

4、的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒.问：该扶梯共有多少级梯级?【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量;而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度.并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度.自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间）（女孩走的时间男孩走的时间）,自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间（级）所以自动扶梯共有150

5、级的梯级.【答案】级【巩固】 自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级.结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上.该楼梯共有多少级?【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 该题属于草匀速减少的情况,扶梯的运行速度：.自动扶梯的梯级总数：(级)【答案】级【例 2】 小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行15千米,3小时可以追上;若骑摩托车,每小时行35千米,1小时可以追上;若开汽车,每小时行45千米, 分钟能追上.【考点】牛吃草问题

6、【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在小时内走了千米,那么小明的速度为(千米/时),追及距离为(千米)汽车去追的话需要：(小时)(分钟)【答案】分钟【例 3】 有固定速度行驶的甲车和乙车,如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车,5小时后甲车追上乙车;如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车,3小时后甲车追上乙车,那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车,问：几个小时后甲车追上乙车?【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 分析知道甲车相当于“牛”,甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”,乙车相当于“新生长的草”

7、设甲车的速度为“1”,那么乙车小时走的路程为,所以乙的速度为,追及路程为：如果甲以现在的速度追赶乙,追上的时间为：(小时)【答案】小时【例 4】 快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往地,途中有骑车人也在同方向行进,这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人已知快车每分钟行800米,慢车每分钟行600米,中速车的速度是多少?【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量,骑车人的速度看成草生长的速度,所以骑车人速度是：(米/分),开始相差的路程为：（米）,所以中速车速度为：(米分)【答案】米/分【例 5】 甲

8、、乙、丙三车同时从地出发到地去甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米有一辆卡车同时从地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度.所以卡车速度为：（千米/时）,全程：（千米）,丙车速度为：（千米/时）【答案】千米/小时【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米在他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分

9、钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 当小新和风间相遇时,正南落后小新(米),依题意知正南和风间走这24 米需要(分钟),正南和风间的速度和为：(米分),风间的速度为：(米分),学校到公园的距离为：(米)所以妮妮的速度为：(米分)【答案】米/分钟【例 6】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水.第一个桶距水缸有1米,小方用3次恰好把桶装满;第二个桶距水缸有2米,小方用4次恰好把桶装满.第三个桶距水缸有3米,那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度

10、也不变）【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水,同时多走了米路,所以从杯中流出的速度是（杯/米）,于是1桶水原有水量等于杯水,所以小方要次才能把第三个桶装满.【答案】次【例 7】 有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出.为了将水池里的水抽干,原计划调来台抽水机同时工作.但出于节省时间的考虑,实际调来了台抽水机,这样比原计划节省了小时.工程师们测算出,如果最初调来台抽水机,将会比原计划节省小时.这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下 台抽水机.【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】填

11、空【关键词】对比思想方法,陈省身杯,五年级【解析】 设每台抽水机每小时抽个单位的水,原计划需要小时抽完,则原计划个小时抽的水量为,台抽水机时抽水量为,台抽水机时抽水量为所以,个小时的出水量为,个小时的出水量为,而泉水的出水速度是一定的,所以,解得,所以每小时出水量为,所以需要留下台抽水机.【答案】台抽水机模块二、“牛”的数量发生变化【例 8】 有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可以吃完现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的

12、吃草量为“1”,那么每天生长的草量为,原有草量为：现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这4头牛,那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天,所以这些牛的头数为(头)【答案】头【例 9】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派15个工人砌砖墙,14天可以把砖用完,如果派20个工人,9天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,问原来有多少工人来砌墙?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长

13、的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为,原有砖的数量为：现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,如果不调走6名工人,那么这些工人共砌10天可砌完,所以原有工人名【答案】名【例 10】 一片草地,可供5头牛吃30天,也可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,还可以再吃几天?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为,原有草量为：如果4头牛吃30天,那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量,此时原有草量还剩,

14、而牛的头数变为6,现在就相当于：“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完?”易得答案为：(天)【答案】天【例 11】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工人砌砖墙,6天可以把砖用完,如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为,原有

15、砖的数量为：如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩的原有的砖未用,变成人来砌砖,还需要：(天)【答案】天【巩固】 食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完,如果派4个工人,40天可以把面粉用完,现在派4名工人加工了30天后,又增加了2名工人一起干,还需要几天加工完?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”,工人加工食品相当于“牛在吃草”设1名工人1天用掉面粉的量为“1”,那么每天运来的

16、面粉量为,原有面粉量为：如果4名工人干30天,那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量,原有还剩未加工,而后变成6名工人,还需要(天)可以加工完【答案】天模块三、多块地的“牛吃草问题”【例 12】 东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,可供多少头牛吃6天?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么2000平方米的牧场上天生长的草量为,即每天生长的草量为那么2000平方米的牧场上原有草量为

17、：则6000平方米的牧场每天生长的草量为;原有草量为：6天里,该牧场共提供牧草,可以让(头)牛吃6天【答案】头牛【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地,甲草地的面积是乙草地面积的3倍30头牛12天能吃完甲草地上的草,20头牛4天能吃完乙草地上的草问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍,把甲草地分成面积相等的3块,那么每块都与乙草地的面积相等由于30头牛12天能吃完甲草地上的草,相当于每块上的草由10头牛12天吃完那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地

18、上的草,20头牛4天也能吃完乙草地上的草”,可知每天乙草地长草量为,乙草地原有草量为：;则甲、乙两块草地每天的新生长草量为,原有草量为：要10天同时吃完两块草地上的草,需要(头)牛【答案】头牛【例 13】 有一块1200平方米的牧场,每天都有一些草在匀速生长,这块牧场可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,另有一块3600平方米的牧场,每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同,问这片牧场可供75头牛吃多少天?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设头牛天的吃草量为“”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析10头牛 20天 1020200 ：原有草

19、量20天生长的草量15头牛 10天 1510150 ：原有草量10天生长的草量从上易发现：1200平方米牧场上201010天生长草量20015050,即1天生长草量50105;那么1200平方米牧场上原有草量：200520100或150510100.则3600平方米的牧场1天生长草量5（36001200）15;原有草量：100（36001200）300.75头牛里,若有15头牛去吃每天生长的草,剩下60头牛需要300605（天）可将原有草吃完,即它可供75头牛吃5天.【答案】天【例 14】 有三块草地,面积分别为5公顷、15公顷和24公顷草地上的草一样厚,而且长得一样快第一块草地可供10头牛吃

20、30天,第二块草地可供28头牛吃45天问：第三块草地可供多少头牛吃80天?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”,第一块草地可供10头牛吃30天,说明1公顷草地30天提供份草;第二块草地可供28头牛吃45天,说明1公顷草地45天提供份草;所以1公顷草地每天新生长的草量为份,1公顷原有草量为24公顷草地每天新生长的草量为;24公顷草地原有草量为那么24公顷草地80天可提供草量为：,所以共需要牛的头数是：(头)牛(法2)现在是3块面积不同的草地,要解决这个问题,也可以将3块草地的面积统一起来由于,那么题中条件可转化为：120

21、公顷草地可供240头牛吃30天,也可供224头牛吃45天设1头牛1天的吃草量为“1”,那么120公顷草地每天新生长的草量为,120公顷草地原有草量为120公顷草地可供(头)牛吃80天,那么24公顷草地可供(头)牛吃80天【答案】头牛【巩固】 三块牧场,场上的草长得一样密,而且长得一样快,它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷第一块牧场饲养12头牛,可以维持4周;第二块牧场饲养25头牛,可以维持8周问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”第一块牧场饲养12头牛,可以维持4周,相当于1

22、公顷牧场可供4头牛吃4周;第二块牧场饲养20头牛,可以维持8周,相当于1公顷牧场可供头牛吃8周那么1公顷牧场1周新生长的草量为,1公顷牧场原有草量为24公顷牧场每天新生长的草量为,原有草量为,若想维持18周,需要饲养：(头)牛【答案】头牛【巩固】 17头牛吃28公亩的草,84天可以吃完;22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完,几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天可吃完?(假设每公亩牧草原草量相等,且匀速生长)【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天吃1份牧草,22头牛54天吃掉份,说明每公亩牧场54天提供份牧草;17头牛84天吃掉份,说明每

23、公亩牧场84天提供份牧草每公亩牧场天多提供份牧草,说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份,原有草量为份如果是40公亩的牧场,原有草量为份,每天新长出份,24天共提供牧草份,可供头牛吃24天【答案】头牛【巩固】 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一样快它们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草,21头牛9星期吃完第二片牧场的草,那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 由于三片牧场的公顷数不一致,给计算带来困难,如果将其均转化为1公顷时的情形 原条件： 公顷 12头牛 4星期 10公

24、顷 21头牛 9星期转化：相当于把公顷草地分割成块,每块一公顷,有3.6头牛来吃,所以吃的时间不变,相当于把10公顷草地分割成10块,每块一公顷,有2.1头牛来吃,所以吃的时间不变1公顷 3.6头牛 4星期 3.6414.4：1公顷原有草量4星期1公顷新生草量1公顷 2.1头牛 9星期 2.1918.9：1公顷原有草量9星期1公顷新生草量分析得：1天1公顷新生草量（18.914.4）（94）0.9;1公顷原有草量14.40.9410.8;24公顷1天新生草量0.92421.6;24公顷原有草量10.824259.2;若想18星期吃完需要：259.21821.636（头）牛【答案】头牛【例 15

25、】 一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场三块牧场上的草长得一样密,而且长得一样快农夫将8头牛赶到2公顷的牧场,牛5天吃完了草;如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场,牛15天可吃完草问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场,这块牧场可供这些牛吃几天?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”,可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决把2公顷牧场分割成2块,每块1公顷,每块可供4头牛吃5天;把4公顷牧场分割成4块,每块1公顷,每块可供2头牛吃15天那么1公顷牧场每天新生长的草量为,1公顷牧场原有草量为那么6公顷牧场每天

26、新生长的草量为,原有草量为8头牛里,若有6头牛去吃每天新生长的草,剩下2头牛需要(天)可将原有草吃完,即它可供8头牛吃45天(法2)题中3块牧场面积不同,要解决这个问题,可以将3块牧场的面积统一起来设1头牛1天吃草量为“1”将8头牛赶到2公顷的牧场,牛5天吃完了草,相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天;将8头牛赶到4公顷的牧场,牛15天可吃完草,相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：,12公顷牧场原有草量为那么12公顷牧场可供16头牛吃(天),所以6公顷的牧场可供8头牛吃45天【答案】天【例 16】 4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草,7头牛6

27、3天可以吃完30公顷牧场上全部牧草,那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草?(每公顷牧场上原有草量相等,且每公顷牧场上每天生长草量相等)【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 题中是3块面积不同的草地,要解决这个问题,可以将3块草地的面积统一起来,设1头牛1天的吃草量为“1”,原条件可转化为：120公顷牧场48头牛28天吃完;120公顷牧场28头牛63天吃完那么120公顷牧场每天新生长的草量为;120公顷牧场原有草量为则40公顷牧场每天新生长的草量为,40 公顷牧场原有草量为在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草,剩余的56头牛来吃原有的草,可以

28、吃：(天)【答案】天【巩固】 有三块草地,面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周,第二块草地可供36头牛吃12周问：第三块草地可供50头牛吃几周?【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”,第一块草地可供24头牛吃6周,说明1公顷草地可供6头牛吃6周;第二块草地可供36头牛吃12周,说明1公顷草地可供头牛吃12周那么1公顷草地1周新生长的草量为份,1公顷草地原有草量为第三块草地1周新生长的草量为,第三块草地原有草量为50头牛中,若有30头牛去吃每天生长的草,那么剩下的20头牛需要

29、周可以把原有草吃完,即这块草地可供50头牛吃9周【答案】周【例 17】 如图,一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分,已知草在各处都是同样速度均匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃草,两天之后把号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在号草地吃草,一半牛在号草地吃草,6天后又将两个草地的草吃光然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外的牛放在号草地吃草,结果发现它们同时把草场上的草吃完那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草,吃完这些草需要多少时间?【考点】牛吃草问题 【难度】5星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 方法一;设这群牛1天的吃草量为“1”,那么有：号草地原有草量号草地2天新生长的草量、两号草地原有草量、两号草地8天新生长的草量得：每号草地每天新生长的草量;代入得：每号草地原有草量又因为,的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外的牛放在号草地吃草,它们同时吃完所以,阴影部分面积号草地面积于是,整个正方形草地原有草量为,每天新生长的草量为让这群牛在整块草地上吃草,可以吃：(天)方法二：设牧民有6头牛,1头牛1周的吃草量为“1”,号草地生长速度为,原有草量为,因为大正方形的面积是号草地面积的倍,所以正方形草地草的生长速度是,原有草量是45,所以所求时间为：（天）.【答案】天8