【中考数学分项真题】圆的有关位置关系（共70题）-（解析版）.docx

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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期)专题25圆的有关位置关系(共70题)一、单选题1(2021浙江嘉兴市中考真题)已知平面内有和点,若半径为,线段,则直线与的位置关系为( )A相离B相交C相切D相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【详解】解:O的半径为2cm,线段OA=3cm,线段OB=2cm,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,点A在O外点B在O上,直线AB与O的位置关系为相交或相切,故选:D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,正确的理解题意是解题的关键2(2021四川凉山彝族自治州中考真题)下列命题中,假命题是

2、( )A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合C若,则点B是线段AC的中点D三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据中点的定义,直角三角形的性质,三线合一以及外心的定义分别判断即可【详解】解:A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故为真命题;B、等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合,故为真命题;C、若在同一条直线上AB=BC,则点B是线段AC的中点,故为假命题;D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心,故为真命题;故选C【点睛】本题考查了中点的定义,直角三角形的性质,三

3、线合一以及外心的性质,属于基础知识,要熟练掌握3(2021山东泰安市中考真题)如图,在中,以点A为圆心,3为半径的圆与边相切于点D,与,分别交于点E和点G,点F是优弧上一点,则的度数是( )A50B48C45D36【答案】B【分析】连接AD,由切线性质可得ADB=ADC=90,根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得BAD=60,易求得ADE=72,由AD=AE可求得DAE=36,则GAC=96,根据圆周角定理即可求得GFE的度数【详解】解:连接AD,则AD=AG=3,BC与圆A相切于点D,ADB=ADC=90,在RtADB中,AB=6,则cosBAD=,BAD=60,CDE=18,ADE=90

4、18=72,AD=AE,ADE=AED=72,DAE=180272=36,GAC=36+60=96,GFE=GAC=48,故选:B【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理,熟练掌握切线性质和圆周角定理,利用特殊角的三角函数值求得BAD=60是解答的关键4(2021浙江金华市中考真题)如图,在中,以该三角形的三条边为边向形外作正方形,正方形的顶点都在同一个圆上记该圆面积为,面积为,则的值是( )ABCD【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点,然后利用全等三角形的判定和性质确定ABC是等腰直角三角形,再根据直角三角形斜边中线的性质得

5、到,再由勾股定理解得,解得,据此解题即可【详解】解:如图所示,正方形的顶点都在同一个圆上,圆心在线段的中垂线的交点上,即在斜边的中点,且AC=MC,BC=CG,AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,AG=BM,又OG=OM,OA=OB,AOGBOM,CAB=CBA,ACB=90,CAB=CBA=45,故选:C【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键5(2021浙江中考真题)如图,已知点是的外心,连结,则的度数是( )ABCD【答案】C【分析】结合题意,根据三角形外接圆的性质,作;再根据

6、圆周角和圆心角的性质分析,即可得到答案【详解】的外接圆如下图 故选:C【点睛】本题考查了圆的知识;解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质,从而完成求解6(2021四川泸州市)如图,O的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线,DE与O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点,BD,OC相交于点F,若CD=10,则BF的长是ABCD【答案】A【分析】过点D作DGBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,根据勾股定理求得,即可得AD=BG=2,BC= 8,再证明HAOBCO,根据全等三角形的性质可得AH=BC=8,即可求得HD= 10;在RtABD中,根据勾股定理可得;证明DH

7、FBCF,根据相似三角形的性质可得,由此即可求得【详解】过点D作DGBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,AM,BN是它的两条切线,DE与O相切于点E,AD=DE,BC=CE,DAB=ABC=90,DGBC,四边形ABGD为矩形,AD=BG,AB=DG=8,在RtDGC中,CD=10,AD=DE,BC=CE,CD=10,CD= DE+CE = AD+BC =10,AD+BG +GC=10,AD=BG=2,BC=CG+BG=8,DAB=ABC=90,ADBC,AHO=BCO,HAO=CBO,OA=OB,HAOBCO,AH=BC=8,AD=2,HD=AH+AD=10;在RtABD中,AD=2,

8、AB=8,ADBC,DHFBCF,解得,故选A【点睛】本题是圆的综合题,考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质,熟练运用相关知识是解决问题的关键7(2021四川眉山市中考真题)如图,在矩形中,对角线,相交于点,点在线段上从点至点运动,连接,以为边作等边三角形,点和点分别位于两侧,下列结论:;点运动的路程是,其中正确结论的序号为( )ABCD【答案】B【分析】连接OE并延长交DC于点H,先证ADO为等边三角形,得出2=DAF=60,再根据DEF为等边三角形,得出正确;证出DOECOE,得到ED=EC,得出正确;证出ADF=3,看得出正确;根据DOECOE,得出

9、点E在OH上运动,可得正确【详解】解:连接OE并延长交DC于点H,矩形ABCD,OA=OD=OC,DAC=60,ADO为等边三角形,2=DAF=60,DEF为等边三角形,1=60=5,1=2,D、F、O、E四点共圆,3=4,正确;5=6=60,7=6=60,OD=OC,OE=OE,DOECOE,3=8,CDE=DCE,ED=EC,正确;ADO=FDE=60,ADF=3,ADF=8,即ADF=ECF,正确;DOECOE,点E在DOC的角平分线上与CD的交点为H,即点E在OH上运动,OH=BC,OH=,错误故选B【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆的性质,解题的关键

10、是灵活运用这些性质8(2021湖北十堰市中考真题)如图,内接于是的直径,若,则( )ABC3D4【答案】C【分析】首先过点O作OFBC于F,由垂径定理可得BFCFBC,然后由BAC120,ABAC,利用等边对等角与三角形内角和定理,即可求得C与BAC的度数,由BD为O的直径,即可求得BAD与D的度数,又由AD3,即可求得BD的长,继而求得BC的长【详解】解:过点O作OFBC于F,BFCFBC,ABAC,BAC120,CABC(180BAC)230,C与D是同弧所对的圆周角,DC30,BD为O的直径,BAD90,ABD60,OBCABDABC30,AD3,BDADcos303=2,OBBD,BF

11、OBcos30,BC3故选:C【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意准确作出辅助线9(2021湖南怀化市中考真题)如图,在中,以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、AC于点M、N;再分别以M、N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P;连结AP并延长交BC于点D则下列说法正确的是( )ABAD一定经过的重心CDAD一定经过的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分BAC,然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项【详解】解:AD平分BAC,故C正确;在AB

12、D中,由三角形三边关系可得,故A错误;由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点,所以AD不一定经过的重心,故B选项错误;由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点,所以AD不一定经过的外心,故D选项错误;故选C【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图,熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键10(2021山东临沂市中考真题)如图,、分别与相切于、,为上一点,则的度数为( )ABCD【答案】C【分析】由切线的性质得出OAP=OBP=90,利用四边形内角和可求AOB=110,再利用圆周角定理可求ADB=55,再根据圆内接四边形对角互补可求ACB【详解】解

13、:如图所示,连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,AP、BP是切线,OAP=OBP=90,AOB=360-90-90-70=110,ADB=55,又圆内接四边形的对角互补,ACB=180-ADB=180-55=125故选:C【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质解题的关键是连接OA、OB,求出AOB11(2021湖北鄂州市中考真题)如图,中,点为内一点,且满足当的长度最小时,的面积是( )A3BCD【答案】D【分析】由题意知,又长度一定,则点P的运动轨迹是以中点O为圆心,长为半径的圆弧,所以当B、P、O三点共线时,BP最短;在中,利用勾股定理可求BO的长,并

14、得到点P是BO的中点,由线段长度即可得到是等边三角形,利用特殊三边关系即可求解【详解】解:取中点O,并以O为圆心,长为半径画圆由题意知:当B、P、O三点共线时,BP最短点P是BO的中点在中,是等边三角形在中,【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题,属于动态几何综合题型,中档难度解题的关键是找到动点P的运动轨迹,即隐形圆12(2021四川广元市中考真题)如图,在边长为2的正方形中,是以为直径的半圆的切线,则图中阴影部分的面积为( )ABC1D【答案】D【分析】取BC的中点O,设AE与O的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,由题意可得OB=OC=OA=1,OFA=O

15、FE=90,由切线长定理可得AB=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可【详解】解:取BC的中点O,设AE与O的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,如图所示:四边形ABCD是正方形,且边长为2,BC=AB=2,ABC=BCD=90,是以为直径的半圆的切线,OB=OC=OF=1,OFA=OFE=90,AB=AF=2,CE=CF,OA=OA,RtABORtAFO(HL),同理可证OCEOFE,;故选D【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键13

16、(2021江苏连云港市中考真题)如图,正方形内接于,线段在对角线上运动,若的面积为,则周长的最小值是( )A3B4C5D6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算【详解】如图所示,(1)为上一动点,点关于线段的对称点为点,连接,则,过点作的平行线,过点作的平行线,两平行线相交于点,与相交于点M 四边形是平行四边形 则(2)找一点, 连接,则,过点作的平行线,连接则此时(1)中周长取到最小值 四边形是平行四边形 四边形是正方形,又,又是等腰三角形 ,则圆的半径, 故选:B【点睛】本题难度较大,需要具备一定的几何分析方法关键是要找到周长取最小值时的位置14(2021贵州贵阳市中考

17、真题)如图,与正五边形的两边相切于两点,则的度数是( )ABCD【答案】A【分析】根据切线的性质,可得OAE90,OCD90,结合正五边形的每个内角的度数为108,即可求解【详解】解: AE、CD切O于点A、C,OAE90,OCD90,正五边形ABCDE的每个内角的度数为: ,AOC5409090108108144,故选:A【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用,以及切线的性质定理,掌握正多边形的内角和定理是解题的关键15(2021广东中考真题)设O为坐标原点,点A、B为抛物线上的两个动点,且连接点A、B,过O作于点C,则点C到y轴距离的最大值( )ABCD1【答案】A【分析】设A(a

18、,a),B(b,b),求出AB的解析式为,进而得到OD=1,由OCB=90可知,C点在以OD的中点E为圆心,以为半径的圆上运动,当CH为圆E半径时最大,由此即可求解【详解】解:如下图所示:过C点作y轴垂线,垂足为H,AB与x轴的交点为D,设A(a,a),B(b,b),其中a0,b0,OAOB,即,设AB的解析式为:,代入A(a,a),解得:,即 ,C点在以OD的中点E为圆心,以为半径的圆上运动,当CH为圆E的半径时,此时CH的长度最大,故CH的最大值为,故选:A【点睛】本题考查了二次函数的性质,圆的相关知识等,本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1,结合,由此确定点E的轨迹为圆进而求解

19、16(2021湖南娄底市中考真题)如图,直角坐标系中,以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动,当与直线只有一个公共点时,点A的坐标为( )ABCD【答案】D【分析】当与直线只有一个公共点时,则此时A与直线相切,(需考虑左右两侧相切的情况);设切点为,此时点同时在A与直线上,故可以表示出点坐标,过点作,则此时,利用相似三角形的性质算出长度,最终得出结论【详解】如下图所示,连接,过点作,此时点坐标可表示为,在中,又半径为5,则,左右两侧都有相切的可能,A点坐标为,故选:D【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系,熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键17(2021福建中考真题)如图,为的直径,点P在

20、的延长线上,与相切,切点分别为C,D若,则等于( )ABCD【答案】D【分析】连接OC,CP,DP是O的切线,根据定理可知OCP90,CAPPAD,利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求CAD=COP,在RtOCP中求出即可【详解】解:连接OC,CP,DP是O的切线,则OCP90,CAPPAD,CAD=2CAP,OA=OCOACACO,COP2CAOCOPCADOC=3在RtCOP中,OC=3,PC=4OP=5= 故选:D【点睛】本题利用了切线的性质,锐角三角函数,三角形的外角与内角的关系求解18(2021山西中考真题)如图,在中,切于点,连接交于点,过点作交于点,连接若,则为(

21、 )ABCD【答案】B【分析】连接,根据与相切易得,在中,已知,可以求出的度数,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数,最后根据可得【详解】如下图,连接,切于点,在中,又,故选:B【点睛】本题考察了切线的性质,圆周角定理以及平行线的性质,综合运用以上性质定理是解题的关键19(2021吉林长春市中考真题)如图,AB是的直径,BC是的切线,若,则的大小为( )ABCD【答案】C【分析】根据切线的性质,得ABC=90,再根据直角三角形的性质,即可求解【详解】解:AB是的直径,BC是的切线,ABBC,即ABC=90,=90-35=55,故选C【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质,掌

22、握圆的切线的性质定理,是解题的关键20(2021上海中考真题)如图,已知长方形中,圆B的半径为1,圆A与圆B内切,则点与圆A的位置关系是( )A点C在圆A外,点D在圆A内B点C在圆A外,点D在圆A外C点C在圆A上,点D在圆A内D点C在圆A内,点D在圆A外【答案】C【分析】根据内切得出圆A的半径,再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】圆A与圆B内切,圆B的半径为1圆A的半径为55点D在圆A内在RtABC中,点C在圆A上故选:C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理,熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题21(2021湖南常德市中考真题)如图,四边形ABCD是O的内接四边

23、形,若BOD=80,则BCD的度数是_【答案】140【详解】试题分析:BOD=80,A=40,四边形ABCD是O的内接四边形,BCD=180-40=140,故答案为140考点:圆内接四边形的性质;圆周角定理22(2021四川凉山彝族自治州中考真题)如图,等边三角形ABC的边长为4,的半径为,P为AB边上一动点,过点P作的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为_【答案】3【分析】连接OC和PC,利用切线的性质得到CQPQ,可得当CP最小时,PQ最小,此时CPAB,再求出CP,利用勾股定理求出PQ即可【详解】解:连接QC和PC,PQ和圆C相切,CQPQ,即CPQ始终为直角三角形,CQ为定值,当CP最

24、小时,PQ最小,ABC是等边三角形,当CPAB时,CP最小,此时CPAB,AB=BC=AC=4,AP=BP=2,CP=,圆C的半径CQ=,PQ=3,故答案为:3【点睛】本题考查了切线的性质,等边三角形的性质,以及勾股定理此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意得到当PCAB时,线段PQ最短是关键23(2021浙江杭州市中考真题)如图,已知的半径为1,点是外一点,且若是的切线,为切点,连接,则_【答案】【分析】根据圆的切线的性质,得,根据圆的性质,得,再通过勾股定理计算,即可得到答案【详解】是的切线,为切点 的半径为1 故答案为:【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识;解题的关键是熟练掌握圆、圆的

25、切线、勾股定理的性质,从而完成求解24(2021陕西中考真题)如图,正方形的边长为4,的半径为1若在正方形内平移(可以与该正方形的边相切),则点A到上的点的距离的最大值为_【答案】【分析】由题意易得当与BC、CD相切时,切点分别为F、G,点A到上的点的距离取得最大,进而根据题意作图,则连接AC,交于点E,然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大,由题意易得,则有OFC是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得,最后问题可求解【详解】解:由题意得当与BC、CD相切时,切点分别为F、G,点A到上的点的距离取得最大,如图所示:连接AC,OF,AC交于点E,此时AE的长即为点A到上的点的距离为

26、最大,如图所示,四边形是正方形,且边长为4,OFC是等腰直角三角形,的半径为1,即点A到上的点的距离的最大值为;故答案为【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键25(2021青海中考真题)点是非圆上一点,若点到上的点的最小距离是,最大距离是,则的半径是_【答案】或【分析】分点在外和内两种情况分析;设的半径为,根据圆的性质列一元一次方程并求解,即可得到答案【详解】设的半径为 当点在外时,根据题意得: 当点在内时,根据题意得: 故答案为:或【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识;解题

27、的关键是熟练掌握圆的性质,从而完成求解26(2021北京中考真题)如图,是的切线,是切点若,则_【答案】130【分析】由题意易得,然后根据四边形内角和可求解【详解】解:是的切线,由四边形内角和可得:,;故答案为130【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和,熟练掌握切线的性质是解题的关键27(2021四川广元市中考真题)如图,在正方形中,点O是对角线的中点,点P在线段上,连接并延长交于点E,过点P作交于点F,连接、,交于G,现有以下结论:;为定值;以上结论正确的有_(填入正确的序号即可)【答案】【分析】由题意易得APF=ABC=ADE=C=90,AD=AB,ABD=45,对于:易知点A、B

28、、F、P四点共圆,然后可得AFP=ABD=45,则问题可判定;对于:把AED绕点A顺时针旋转90得到ABH,则有DE=BH,DAE=BAH,然后易得AEFAHF,则有HF=EF,则可判定;对于:连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,易得OB=OD,OP=OM,然后易证AOPABF,进而问题可求解;对于:过点A作ANEF于点N,则由题意可得AN=AB,若AEF的面积为定值,则EF为定值,进而问题可求解;对于由可得,进而可得APGAFE,然后可得相似比为,最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解【详解】解:四边形是正方形,APF=ABC=ADE=C=90,AD=AB,ABD=45,由四

29、边形内角和可得,点A、B、F、P四点共圆,AFP=ABD=45,APF是等腰直角三角形,故正确;把AED绕点A顺时针旋转90得到ABH,如图所示:DE=BH,DAE=BAH,HAE=90,AH=AE,AF=AF,AEFAHF(SAS),HF=EF,故正确;连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,如图所示:点O是对角线的中点,OB=OD,OP=OM,AOB是等腰直角三角形,由可得点A、B、F、P四点共圆,AOPABF,故正确;过点A作ANEF于点N,如图所示:由可得AFB=AFN,ABF=ANF=90,AF=AF,ABFANF(AAS),AN=AB,若AEF的面积为定值,则EF为定值,点P在

30、线段上,的长不可能为定值,故错误;由可得,AFB=AFN=APG,FAE=PAG,APGAFE,故正确;综上所述:以上结论正确的有;故答案为【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键28(2021浙江宁波市中考真题)抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一如示意图,分别与相切于点C,D,延长交于点P若,的半径为,则图中的长为_(结果保留)【答案】【分析】连接OC、OD,利用切线的性质得到,根据四边形的内角和求得,再利用弧长公式求得答案【详解】连接OC、OD

31、,分别与相切于点C,D, ,的长=(cm),故答案为:【点睛】此题考查圆的切线的性质定理,四边形的内角和,弧长的计算公式,熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键29(2021浙江温州市中考真题)如图,与的边相切,切点为将绕点按顺时针方向旋转得到,使点落在上,边交线段于点若,则_度【答案】85【分析】连结OO,先证BOO为等边三角形,求出AOB=OBO=60,由与的边相切,可求CBO=30,利用三角形内角和公式即可求解【详解】解:连结OO,将绕点按顺时针方向旋转得到,BO=BO=OO,BOO为等边三角形,OBO=60,与的边相切,OBA=OBA=90,CBO=90-OBO=90-60

32、=30,A=25AOB=90-A=90-25=65AOB=AOB=65,OCB=180-COB-OBC=180-65-30=85故答案为85【点睛】本题考查图形旋转性质,切线性质,等边三角形判定与性质,直角三角形性质,掌握图形旋转性质,切线性质,等边三角形判定与性质,直角三角形性质是解题关键30(2021江苏扬州市中考真题)在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:已知线段,使用作图工具作,尝试操作后思考:(1)这样的点A唯一吗?(2)点A的位置有什么特征?你有什么感悟?“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点A的位置不唯一,它在以为弦的圆弧上(点B、C除外),小华同学画出了符合要求

33、的一条圆弧(如图1)(1)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决该弧所在圆的半径长为_;面积的最大值为_;(2)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部,我们记为,请你利用图1证明;(3)请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图2,已知矩形的边长,点P在直线的左侧,且线段长的最小值为_;若,则线段长为_【答案】(1)2;(2)见解析;(3);【分析】(1)设O为圆心,连接BO,CO,根据圆周角定理得到BOC=60,证明OBC是等边三角形,可得半径;过点O作BC的垂线,垂足为E,延长EO,交圆于D,以BC为底,则当A与D重合时,ABC的面积最大,

34、求出OE,根据三角形面积公式计算即可;(2)延长BA,交圆于点D,连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可;(3)根据,连接PD,设点Q为PD中点,以点Q为圆心,PD为半径画圆,可得点P在优弧CPD上,连接BQ,与圆Q交于P,可得BP即为BP的最小值,再计算出BQ和圆Q的半径,相减即可得到BP;根据AD,CD和推出点P在ADC的平分线上,从而找到点P的位置,过点C作CFPD,垂足为F,解直角三角形即可求出DP【详解】解:(1)设O为圆心,连接BO,CO,BAC=30,BOC=60,又OB=OC,OBC是等边三角形,OB=OC=BC=2,即半径为2;ABC以BC为底边,BC=2,当点A

35、到BC的距离最大时,ABC的面积最大,如图,过点O作BC的垂线,垂足为E,延长EO,交圆于D,BE=CE=1,DO=BO=2,OE=,DE=,ABC的最大面积为=;(2)如图,延长BA,交圆于点D,连接CD,点D在圆上,BDC=BAC,BAC=BDC+ACD,BACBDC,BACBAC,即BAC30;(3)如图,当点P在BC上,且PC=时,PCD=90,AB=CD=2,AD=BC=3,tanDPC=,为定值,连接PD,设点Q为PD中点,以点Q为圆心,PD为半径画圆,当点P在优弧CPD上时,tanDPC=,连接BQ,与圆Q交于P,此时BP即为BP的最小值,过点Q作QEBE,垂足为E,点Q是PD中

36、点,点E为PC中点,即QE=CD=1,PE=CE=PC=,BE=BC-CE=3-=,BQ=,PD=,圆Q的半径为,BP=BQ-PQ=,即BP的最小值为;AD=3,CD=2,则,PAD中AD边上的高=PCD中CD边上的高,即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等,则点P到AD和CD的距离相等,即点P在ADC的平分线上,如图,过点C作CFPD,垂足为F,PD平分ADC,ADP=CDP=45,CDF为等腰直角三角形,又CD=2,CF=DF=,tanDPC=,PF=,PD=DF+PF=【点睛】本题是圆的综合题,考查了圆周角定理,三角形的面积,等边三角形的判定和性质,最值问题,解直角三角形,三角形外角的

37、性质,勾股定理,知识点较多,难度较大,解题时要根据已知条件找到点P的轨迹31(2021湖北荆州市中考真题)如图,是的直径,是的弦,于,连接,过点作交于,过点的切线交的延长线于若,则_【答案】【分析】证明求得AC,利用勾股定理求得CB的长,再利用求得BE【详解】解:如图所示,连接BC是的直径,于又又 又或(舍去)又为切线又 即【点睛】本题考查圆的相关性质、相似三角形的判定和性质直径所对的圆周角是直角,圆的切线垂直于过切点的半径相似三角形的对应线段成比例32(2021四川宜宾市中考真题)如图,O的直径AB4,P为O上的动点,连结AP,Q为AP的中点,若点P在圆上运动一周,则点Q经过的路径长是_【答

38、案】【分析】连接OQ,以OA为直径作C,确定出点Q的运动路径即可求得路径长【详解】解:连接OQ在O中,AQ=PQ,OQ经过圆心O,OQAPAQO=90点Q在以OA为直径的C上当点P在O上运动一周时,点Q在C上运动一周AB=4,OA=2C的周长为点Q经过的路径长为故答案为:【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点,熟知相关定理及其推论是解题的基础,确定点Q的运动路径是解题的关键33(2021江苏盐城市中考真题)如图,在O内接四边形中,若,则_【答案】80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出即可【详解】解:ABCD是O的内接四边形,ABC100,ABC+ADC=18

39、0,故答案为【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质34(2021河南中考真题)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为,点,均在小正方形的顶点上,且点,在上,则的长为_【答案】【分析】先找到的圆心O,得到BOC=45,利用弧长公式即可求解【详解】解:连接AD,作线段AB、AD的垂直平分线,交点即为的圆心O,从图中可得:的半径为OB=5,连接OC,BAC=22.5,BOC=222.5=45,的长为故答案为:【点睛】本题考查了弧长公式,找到的圆心是解题的关键35(2021黑龙江鹤岗市中考真题)如图,在中,以点为圆心,3为半径的,与交于点,过点作交于点,点是边上的顶点,则的最小值为_【答案】【分析】延长CO,交于一点E,连接PE,由题意易得,则有,CP=