概率统计综合练习及答案.pdf

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1、 北京科技大学远程教育学院 概率统计 综合练习一参照答案 随机事件及其概率 一、填空 1、A、B、C 是三个事件，用 A、B、C 的运算表示 A、B、C 中起码发生两个的事件 AB BC AC，用文字表达 A BC AB C ABC 表示 的事件 三个事件中恰巧发生两个事件 。2、A 是试验 E 的一个事件，每次试验 A 出现的概率为 p=，独立重复做试验 E 四次，A 能否必然出现一次 否 3、AB，PA=，PB=则 PB A=，PAB=0。4、PA 0，PB 0，A、B 互相独立与 A、B 互不相容可否同时建立 否。5、事件 A、B独立，则 A、B 独立 。6、PA B C 的计算公式为

2、P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)。7、每次试验 A 出现的概率为 p，独立重复做 n 次试验，在 n 次试验中，A 出现次数 k 的 可能取值为 0，1，3，n，A 出现 k 次的概率为 C nk pk q n k 。二、以 A，B，C 分别表示某城市居民定阅日报、晚报和体育报。试用 A，B，C 表示 以下事件：(1)只定阅日报；(2)只订日报和晚报；(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)起码定阅一种报；(6)不定阅任何报；(7)至多定阅一种报；(8)三种报纸都定阅；(9)三种报纸不全定阅。解：(1)AB C，(2)ABC，(3)AB C ABC A B

3、C，(4)ABC ABC ABC，(5)A B C，(6)ABC，(7)ABC ABC A BC AB C，(8)ABC，(9)A B C 三、从 0，1，2，9 中任意选出 4 个不一样的数字，试求它们能构成一个 4 位偶 数的概率。解：从 0，1，2，9 中任意选出 4 个不一样的数字排成 4 位数字的方法有 P104 种，个位为偶数的 4 位数字的排法有 5P 3 种，千位为零的个位为偶数的 4 位数字的排法有 9 2 5P93 4P82 41 4P8 种，所求概率 P 4 90 P10 四、设一批产品共 100 件，此中 98 件正品，2 件次品，从中任意 抽取 3 件。分两种状况：1

4、、一次拿 3 件；2、每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次。在两种状况下试求拿出的 3 件中起码有 1 件是次品的概率。C 解：1、一次拿 3 件，都是正品的概率为 C 2、Ai“第 i 次拿到正品。”i=1，2，3。3 98，所求概率 C983 3 P 1 100 C1003 P(A1A2 A3)98 97 96 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)100 99 98 所求概率 P 98 97 96 C983 1 1 100 99 98 C1003 五、甲、乙两市都位于长江下游，依据一百多年来的气象记录，知道在一年中雨天 的比率甲市占 20，乙市占 18，两地同时下雨占 12%。求

5、当甲市下雨时，乙市也下 雨的概率。解：A：“甲市下雨。”B：“乙市下雨。”PA=，PB=，PAB=PB|A=PAB/PA=六、设有一箱同种类的产品是由三家工厂所生产的。已知此中有 1/2 的产品是甲厂生产 的，此中 1/3 是乙厂生产的，1/6 是丙厂生产的，又知甲、乙、丙三厂的产品的次品率分别为 2、3；3，现从箱中任取一个产品。（1）求拿到的是次品的概率；（2）若拿到的产品是次品，求它是由甲厂生产的概率。解：A1：“产品是甲厂生产。”；A2：“产品是乙厂生产。”；A3：“产品是丙厂生产。”B：“产品是次品。”（1）PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=2 1/2+3

6、1/3+3 1/6=%（2）PA|B=P(A1)P(B|A1)2%1/2 1 0.4 P(B)2.5%2.5 七、证明：若事件 A、B 独立，则 A、B 也独立。证明：A AB AB，P(A)P(AB AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)(1 P(B)P(A)P(B)因此，A、B 独立。八、甲、乙二人射击，甲击中的概率为，乙击中的概率为，二人击中与否 互相独立，求（1）目标被击中的概率；（2）甲中乙不击中的概率。解：A：“甲击中。”B：“乙击中。”（1）PA B=PA+PB PAPB=（2）P(AB)0.8 0.3 0.24 九、三个人各自独立

7、破译一个密码，每各人能译出的概率分别为 1、1、1，求密 5 3 4 码被译出的概率。解：设 A、B、C 分别为三人破译密码的事件。PA B C=1 P(AB C)=1 P(A)P(B)P(C)=1 4 2 3 1 2 0.6 5 3 4 5 十、某种型号的电子管使用寿命超出 150 小时的概率为 2/3，现任取 3 个这类型号 的电子管。（1）求 3 个电子管使用寿命都超出 150 小时的概率；（2）求 3 个电子管至 多 有一个使用寿命超出 150 小时的概率；（3）求 3 个电子管至多罕有一个使用寿命超出 150 小时的概率。解：此是 n=3，p=2/3 的独立试验序列（1）C33(2)

8、3(1)0（2）C30(2)0(1)3 C31(2)1(1)2（3）1 C30(2)0(1)3 3 3 3 3 3 3 3 3 概率统计 综合练习二参照答案 随机变量 一、填空 1、XP(3)的泊松散布，则 X 的散布列 P（X=k）=3k e 3 ，k=0，1，2，。k!2、XB（100，），则 C100k 0.02k 0.98100 k 2k e 2。k!3、10 个产品，此中有 2 个次品，从中任取 2 个产品，X 表示 2 个产品中次品的个数，则 X 的散布列为 X 0 1 2 P X=k 28 16 1 45 45 45 。0 x 0 4、X 的散布函数是 F(x)0.5 0 x 1

9、，X 的散布列为 1 x 1 X 0 1 P X=k 。5、X 的散布密度为(x)2e 2 x x 0，则 P（0 X 1）1e1。0 其余 2 二、失散随机变量 （1）口袋中有 6 个大小、重量同样的球，分别标有 0，1，2，3，4，5，从中任取 3 个球。设 X 为拿出球上的最大号码。求 X 的散布列和散布函数。解：X 2 3 4 5 1 C32 C 42 C52 P C63 C63 C63 C 63 （2）一批产品 20 个，此中有 5 个次品，从这批产品中任意抽取 4 个，求这 4 此中 的次品数 X 的散布列。（用组合符号表示结果即可）C5k C154 k 解：P(X k)C204，

10、k=0，1，2，3，4 （3）一批产品的废品率为，求 800 件产品中废品为 2 件，以及不超出 2 件的概率。（用泊松散布近似，查泊松散布表计算）解：800=，P(X 2)0.82 e 0.8 2!P(X 2)0.80 e 0.8 0.81 e 0.8 0.82 e 0.8 0!1!2!三、连续随机变量 1、X 的散布密度 A cos x x (x)2 0 其余 x （1）求 A（2）求 P(X)（3）P(0 X)1，求 2 4 2（4）求 X 的散布函数。/2 解：1、1 f(x)dx A cosxdx Asin x|/2 2、P 0 X/4 1 2 cosxdx 4 0 2 4 /2 2

11、 A 1/2 A 2 3、P X 1 cos xdx 1(sin 1)1 0 /2 2 2 2 x 0 x /2 sin x 1 4、P X x(x)dx/2 x/2 2 x /2 1 2、X 的散布密度 12x2 12x 3 0 x 1 (x)0 其余 x 求 P(X 0.2|0.1 X 0.5)P(X 0.2|0.1 X P(X 0.2 0.1 X 0.5)0.5)P(0.1 X 0.5)0.2 解：P(0.1 X 0.2)(12 x2 12 x 3)dx 0.1 0.578 P(0.1 X 0.5)0.5 (12 x2 12 x 3)dx 0.1 3、X N(10，22)，求 P(10

12、X 13)，P(13 X)，P(X 10 2)，P(X d)0.0668 求 d。解：P X 13)13 10(10 10(1.5)(0)0.93319 0.5 0.43319(10 ()2)2 P(13 X)(13 10)(1.5)0.93319 2 12 10 8 10 P X 10 2)P(8 X 12)(1)(1)2(1)1 2 0.8413 1 0.6826 2 2 P(X d)(d 10)1 (10 d)0.0668，(10 d)0.9332，10 d 2 2 2 ，d 7 2 1.5 4、X 的散布密度 (x)e x x 0，求 P(X t s|X t)，P(X s)0 其余 x

13、 此中、t、s 都是正数。解：e x dx e(t s)P(X t s|X t)t s x dx e t e s e t P(X s)e x dx e s s 四、随机变量函数的散布 1、X 的散布列以下：X 1 0 1 2 P 求Y=X2 的散布列。解：Y 0 1 2 P X 的散布密度 X(x)1 x 1 0 x 2，用两种方法求 Y 3X 1的 2、2 0 其余 x 散布密度 Y(y)。P()0 y 1 y 1 y 1)3(1 x 解：FY(y)P(Y y)P(3 X 1 y)P(X 1)dx 1 y 7 3 0 2 P()1 y 7 fY(y)FY(y)1(1 y 1 1)1 y 7

14、y 7 1 y 7 3 2 3 18 18 0 其余 y 0 其余 y 1 x2 3、X 的散布密度 X(x)e 2 ，求 Y X 的散布密度 Y(y)。2 解：FY(y)P(Y y)P(X y)y2 2 f Y(y)FY(y)e 2 2 0 P(）0 y 1 x2 P(y X y)2 e y 2 y 0 y 0 y 0 y 0 ，概率统计 综合练习三参照答案 多元随机变量、数字特点 一、填空 1、XP(3)的泊松散布，则 EX=3。2、甲、乙两种元件的寿命（小时）X 和 Y，若 EX EY，则说明 甲种元件质量较好。3、（X，Y）的散布密度是(x，y)，则 E(X 2 Y 2)(x2 y 2

15、)(x，y）dxdy。4、X、Y 的方差存在，则 X、Y 独立 时，有 DX+Y=DX+DY。5、X 的散布密度为 2e 2 x x 0，Y 的散布密度为 Y(x)1 0 y 1 X(x)其余 0 ，0 其余 2e 2x x，y 1 X、Y 互相独立，则 X、Y 的结合散布密度 0 0(x，y)其余 。0 二、二维失散随机变量 口袋中有 3 个白球，2 个黑球，每次从中任取 1 球，取后不返回。X 表示第一次取到 白球的个数，Y 表示第二次取到白球的个数。1、求 X、Y 的结合散布律；2、求 X、Y 的边沿散布列；3、鉴别 X、Y 能否互相独立。解：1、Y 0 1 X 0 2 6 20 20

16、1 6 6 20 20 2、X 0 1 P 2 3 5 5 Y 0 1 2 3 P 5 5 3、PX=0，Y=0 PX=0 P Y=0 X、Y 不独立 三、二维连续随机变量 Ae(2x 4 y)x，0 1、X、Y 的结合散布密度(x，y)0 y 0 其余 （1）求 A（2）求 P(X Y)（3）求 X、Y 的边沿散布密度（4）鉴别 X、Y 能否独立。解：（1）1 A dx e(2 x 4 y)dy A A 8 0 0 8 （2）P(X Y)x 2x e 4 y dy 2e 2 xe 4 y|0 x dx 2e 2 x(1 e 4 x)dx dx 8e 0 0 0 0 0 2e 2 x dx 2

17、e 6x dx 1 1 2 0 3 3 （3）X(x)8e(2 x 4 y)dy 2e 0 0 Y(x)8e(2 x 4 y)dx 4e 0 0 2x x 0 x 0 4 x y 0 y 0 （4）(x，y)X(x)Y(y)X、Y 能否独立。1 0 x 1 e y y 0，2、X 的密度为 x Y y X 0 其余 x，Y 的密度为 0 其余 y 且 X、Y 互相独立，求 Z X Y 的散布密度 Z(z)。解：Z(z)X(z x)Y(x)dx 当 z 0时，X(z x)Y(x)0，Z(z)X(z x)Y(x)dx 0 当 0 z 1时，Z(z)z xdx 1 e z e 0 当 z 1时，Z(

18、z)1 z exdx e z(e 1)e 0 1 e z 0 z 1 Z(z)e z(e 1)z 1 0 z 0 四、数字特点 1、X 的散布列为：X 2 1 0 1 2 P Y=2|X|1，求 EX，DX，EY，DY。解：EX=2+1+0+1+2 =0 EX2=22+12+02+12+22 =DX=EX2 EX2=Y 1 1 3 P EY=1+1+3=1 EY2=12+12+32 =DY=EY2 EY2=1 x 2、X 的散布密度(x)=sin x 0，求 EX，DX。2 0 其余 解：EX x 1 sin xdx 0 2 2 EX 2 x2 1 sin xdx 2 EX 2(EX)2 2

19、8 2 2，DX 0 2 4 (x，y)=1(x y)0 x，y 2，3、（X，Y）的散布密度是 8 2 0 0 其余 求（1）EX、EY（2）cov(X，Y)（3）XY 解：（1）EX 2 xdx 2 1 7 EY 2 ydy 2 1 7 (x y)dy 6 (x y)dx 0 0 8 0 0 8 6 （2）cov(X，Y)2 2 7)(y 7)1(x y)dxdy 1 0(x 0 6 6 8 36 （3）EX 2 2 2 2 1 y)dy 5 EY 2 2 2 2 1(x y)dx 5 x dx(x 3 y dy 8 3 0 0 8 0 0 5 7 11 5 7 11 1 DX()2 DY

20、)2 XY 36 3 6 36 (6 36 11 11 3 36 36 0 x 0 4、X 的散布函数 F(x)x2 0 x 1，Y=3X+2，求 EY。1 x 1 解：f(x)2 x 0 x 1 0 其余 1 2x3|10 2x2|10 EY(3x 2)2xdx 4 0 1 11 概率统计 综合练习四参照答案 数理统计 一、填空 1、X 1，X 2，X n 是整体 X 的样本，则样本二阶中心矩为 1 n (X i X)2 。n i 1 2、整体 X (t，)e t t 0 ，X n 是整体 X 的样本，0 t，X1，X2 0 n （X 1，X 2，X n）的结合概率函数为 ne ti i 1

21、。3、X1，X2，X n 是整体 X N(，2)的样本，X n 听从 t(n 1)散布。S/4、X1，X2，X n 是整体 X 的样本且 DX 存在，则样本方差 S2 1 n X)2 n(X i 1 i 1 是 整体方差 的无偏预计。5、?1，?2，?n 都是未知参数 的无偏预计，要 c1?1 c2?2 cn?n 也是 的无偏 n 预计，则 c1，c2，cn 应知足 ci 1。i 1 二、点预计 1、整体 X 的散布密度(x)=x(1)x 1 1，若 x1，x2，xn 是 0 ，参数 其余 样本观察值，求 的矩预计和最大似然预计。解：矩预计 EX x x(1)dx x dx ，X，解得?X 1

22、 1 X 1 1 1 最大似然预计 L(x1，x2，xn，）解得最大似然预计值?2、求样本的样本均值 X 、。解：x 1 n xi 99.7，s2 n i 1 n d ln L n 1 n n(xi)n ln xi 0 i 1 d i 1 n?n n，最大似然预计量 n ln xi ln X i i 1 i 1 1 n X i ，样本方差 S2 1 n(X i X)2 的观察值。n i 1 n 1 i 1 1 n (xi x)2 0.967 2 0.935 n 1 i 1 三、区间预计（30 分）1、已知灯泡寿命的标准差 50 小时，抽出 25 个灯泡查验，得均匀寿命 x 500 小时，试以

23、95的靠谱性对灯泡的均匀寿命进行区间预计。解：0.05 u u0.025 1.96，n 25 2 (x，x u ）（50，50 1.96）（480.4，519.6）u0.025 0.025 500 1.96 500 n n 5 5 2、已知某种木材横纹抗压力的实验值听从正态散布件作横纹抗压力试验得数据如 下(kg cm2)：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469（=）（1）试对该木材均匀横纹抗压力进行区间预计；（2）试对该木材横纹抗压力的方差进行区间预计。解：（1）0.05 t(n 1)t 0.025(9)2.26，n 10，x 457.5，s 35.2

24、 2 s t0.025(9)，x s ）（35.2 ，457.5 35.2）(x n t0.025(9)457.5 2.26 2.26 n 10 10 （，）432.34 482.66 （2）0.05 2(n 1)2(9)19.0 2(n 1)2 2.70 0.025 1 0.975(9)2 2 (n 1)s2 (n 1)s2 9 35.22 9 35.2 2 (2(n 1)，2(n 1)）（19，2.7）（586.9，4130.1）2 1 2 四、假定查验 1、已知某炼铁厂铁水含碳量听从正态散布 N(4.55，0.1082)。此刻测定了 9 炉铁水，其均匀含碳量为。假如预计方差没有变化，可否

25、定为此刻生产的铁水均匀 含碳量仍为 455(0.05)解：H0：=H1：取统计量 U X 4.55 N(0，1）0.108 0.05，u u0.025 1.96，R(，1.96）（1.96，）2 X 4.55 4.484 4.55 R U 观 0.61 0.108 0.108 接受 H0，以为此刻生产的铁水均匀含碳量仍为 455。2、某批矿砂的 5 个样品中的镍含量经测定为：x()：，设测定值听从正态散布。问可否接受这批矿沙的镍含量为 0.01 解：H0：=H1：取统计量 t X 3.25 t(4)S/n 0.01，t(4)t0.005(4)4.6，R(，4.6）（4.6，）2 X 3.25

26、3.252 3.25 0.344 R t观 0.013/5 S/n 接受 H0，能接受这批矿沙的镍含量为。3、某工厂生产铜线的折断力听从正态散布，正常状况下 2 602。现从一批产品 中抽查 10 根铜线测得折断力（kg）以下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469 问可否定为这批铜线折断力的方差还是 602 查验水平 0.05 解：H0：2=602 H1：2 602 取统计量 2(n 1)s2 2(9)2 0.05，2 19.0，2 2.7，R (0，2.7）（19，）0.025(9)0.975(9)2 (n 1)s2 9 35.2 2 3.097 R 观 2 60 2 接受 H0，能以为这批铜线折断力的方差还是 602。