导数练习题及答案：函数的极值.pdf

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1、;.利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值：1xxxf12)(3；2xexxf2)(；3.212)(2xxxf 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(xf求出在函数)(xf定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值 解：1函数定义域为 R).2)(2(3123)(2xxxxf 令0)(xf，得2x 当2x或2x时，0)(xf，函数在2,和,2上是增函数；当22x时，0)(xf，函数在（2，2）上是减函数 当2x时，函数有极大值16)2(f，当2x时，函数有极小值.16)2(f 2函数定义域为 Rxxxexxexxexf)2(2)(2 令0)(xf，得0

2、 x或2x 当0 x或2x时，0)(xf，函数)(xf在0,和,2上是减函数；当20 x时，0)(xf，函数)(xf在（0，2）上是增函数 当0 x时，函数取得极小值0)0(f，当2x时，函数取得极大值24)2(ef 3函数的定义域为 R.)1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222xxxxxxxxf;.令0)(xf，得1x 当1x或1x时，0)(xf，函数)(xf在1,和,1上是减函数；当11x时，0)(xf，函数)(xf在（1，1）上是增函数 当1x时，函数取得极小值3)1(f，当1x时，函数取得极大值.1)1(f 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考

3、虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意0)(0 xf只是函数)(xf在0 x处有极值的必要条件，如果再加之0 x附近导数的符号相反，才能断定函数在0 x处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值：1)5()(32xxxf；2.6)(2xxxf 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数)(xf的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点 这两类点就是函数)(xf在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解：1.3)2

4、(533)5(2)5(32)(33323xxxxxxxxxf 令0)(xf，解得2x，但0 x也可能是极值点 当0 x或2x时，0)(xf，函数)(xf在0,和,2上是增函数；当20 x时，0)(xf，函数)(xf在（0，2）上是减函数;.当0 x时，函数取得极大值0)0(f，当2x时，函数取得极小值343)2(f 2),32(,6),32(,6)(22xxxxxxxxf或).32(,),32(,12),32(,12)(xxxxxxxxf或不存在或 令0)(xf，得21x 当2x或321 x时，0)(xf，函数)(xf在2,和3,21上是减函数；当3x或212x时，0)(xf，函数)(xf在,

5、3和21,2上是增函数 当2x和3x时，函数)(xf有极小值 0，当21x时，函数有极大值425 说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0 xf的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题 1 中0 x处，2 中2x及3x处函数都不可导，但)(xf 在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(xf在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关 根据函数的极值确定参数的值 例 已知)0()(23acxbxaxxf在1x时取得极值，且1)1(f 1试求常数 a、b、c 的值；2试判断1x是函数的极小值还是极大值，并说明理由 分析：考察函数)(x

6、f是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(xf的根建立起由极值点1x所确定的相关等;.式，运用待定系数法求出参数 a、b、c 的值 解：1解法一：cbxaxxf23)(2 1x是函数)(xf的极值点，1x是方程0)(xf，即0232cbxax的两根，由根与系数的关系，得）（）（2 ,131 ,032acab 又1)1(f，1cba，（3）由（1）、（2）、（3）解得23,0,21cba 解法二：由0)1()1(ff得 023cba，（1）023cba （2）又1)1(f，1cba，（3）解（1）、（2）、（3）得23,0,21cba 2xxxf2321)(3，).1)(1(232323)(2xxxxf 当1x或1x时，0)(xf，当11x时，.0)(xf 函数)(xf在1,和,1上是增函数，在（1，1）上是减函数 当1x时，函数取得极大值1)1(f，当1x时，函数取得极小值1)1(f 说明：解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导之后，不会应用0)1(f的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍