高考真题数学分项详解-专题23-空间点线面的位置关系（解析版）.docx

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1、专题专题 2323 空间点线面的位置关系空间点线面的位置关系年份年份题号题号考点考点考查内容考查内容2011文 18空间垂直问题及其应用线面垂直的性质、线面垂直的判断、三棱锥高的计算，空间想象能力、逻辑推理能力2013卷 2理 4空间平行问题空间垂直问题及其应用空间线线、线面、面面平行、垂直判定与性质及异面直线的知识，空间想象能力2014卷 1文 19来源:Z。xx。k.Com空间垂直问题及其应用空间线线、线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，空间想象能力、推理论证能力2015卷 2理 19空间几何体的截面问题截面问题及利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力与运算求解能力2016卷3来

2、源:Zxxk.Com文 19来源:Z,xx,k.Com来源:Zxxk.Com空间平行问题来源:Zxxk.Com来源:Z|xx|k.Com以四棱锥为载体线面平行的判定与性质与简单几何体体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力来源:学|科|网来源:Zxxk.Com来源:学#科#网Z#X#X#K卷 2文 19空间垂直问题及其应用折叠问题中的线线垂直的判定、简单几何体的体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 2理 14空间平行问题空间垂直问题及其应用线性、线面、面面平行与垂直的判定与性质，逻辑推理能力2017卷 3文 19空间垂直问题及其应用主要以三棱锥为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质及

3、简单几何体的体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3文 10空间垂直问题及其应用主要以正方体为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力卷 2文 18空间平行问题线面平行的判定与性质、简单几何体的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 1文 6空间平行问题线面平行的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力2018卷 2文 19空间垂直问题及其应用空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、点到平面距离的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 1文 18空间垂直问题及其应用折叠问题中的空间面面的判定与性质及简单几何体的体积，逻辑推理能力及运算求解能力卷 1理 16空间几何体的截面

4、问题本题线面角及截面的最大值，逻辑推理能力及运算求解能力2019卷 1文 19空间平行问题空间线面平面的判定及利用等体积法求点到面的距离，逻辑推理能力及运算求解能力卷 1文 16空间垂直问题及其应用线面垂直的判定与性质及点到面的距离，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3理 8 文 8空间位置关系判定空间两直线的位置关系及空间想象能力卷 2理 7 文 7空间平行问题面面平行的判定及充要条件卷 1文 19空间垂直关系，面积、体积面面垂直的证明，考查锥体的体积公式卷 2文 20空间位置关系判定线线平行和面面垂直的证明，四棱锥体积的计算卷 3文 19空间位置关系判定线线垂直的证明，点与平面位置关系的证明大

5、数据分析大数据分析*预测高考预测高考考点考点出现频率出现频率20212021 年预测年预测考点 78 空间位置关系的判定1/192021 年高考仍将小题重点考查平行与垂直的判定与性质，为基础题，若为截面问题，则为中档题，题型为选择填空题 解考点 79 空间平行问题7/19答题，第一小题，多为证明线线、线面、面面垂直与平行的判定与性质，第二小题，文科多为计算体积和表面积的计算或点到面的距离，难度为中档题考点80空间垂直问题及其应用11/19考点81空间几何体的截面问题2/19十年试题分类十年试题分类*探求规律探求规律考点考点 7878 空间位置关系的判定空间位置关系的判定1（2019新课标，理

6、8 文 8）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面ABCD，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN 平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，设DEa，则2BDa，2235244BEaaa，62BMa，223144ENaaa，BMEN，故选B2

7、（2019新课标，文 16）已知90ACB，P为平面ABC外一点，2PC，点P到ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为【答案】2【解析】因为90ACB，P为平面ABC外一点，2PC，点P到ACB两边AC，BC的距离均为3，过点P作PDAC，交AC于D，作PEBC，交BC于E，过P作PO 平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则3PDPE，222(3)1CDCEODOE，22312POPDOD，P到平面ABC的距离为2考点考点 7979 空间平行问题空间平行问题1（2019新课标，理 7 文 7）设，为两个平面，则/的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相

8、交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于A，内有无数条直线与平行，或/；对于B，内有两条相交直线与平行，/；对于C，平行于同一条直线，或/；对于D，垂直于同一平面，或/故选B2（2017新课标，文 6）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()ABCD【答案】A【解析】对于选项B，由于/ABMQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于/ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于/ABNQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A

9、满足题意，故选A3(2018 浙江)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件故选 A4（2019新课标，文 19）如图，直四棱柱1111ABCDABC D的底面是菱形，14AA，2AB，60BAD，E，M，N分别是BC，1BB，1A D的中点（1）证明：/MN平面1C DE；（2）求点C到平面1C DE的距离【解析】证明：（1）连结1B C，ME，M，E分别是1BB，BC

10、的中点，1/MEBC，又N为1A D的中点，112NDAD，由题设知11/ABDC，11/BCAD，/MEND，四边形MNDE是平行四边形，/MNED，又MN 平面1C DE，/MN平面1C DE解：（2）过C作1C E的垂线，垂足为H，由已知可得DEBC，1DEC C，DE平面1C CE，故DECH，CH平面1C DE，故CH的长即为C到时平面1C DE的距离，由已知可得1CE，14CC，117C E，故4 1717CH，点C到平面1C DE的距离为4 17175（2017新课标，文 18）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12ABBCAD，90BADAB

11、C（1）证明：直线/BC平面PAD；（2）若PCD面积为2 7，求四棱锥PABCD的体积【解析】（1）证明：四棱锥PABCD中，90BADABC/BCAD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，直线/BC平面PAD；（2）解：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12ABBCAD，90BADABC 设2ADx，则ABBCx，2CDx，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则22OEx，3POx，2272xPEPOOE，PCD面积为2 7，可得：12 72PE CD，即：1722 722xx，解得2x，2 3PO 则1111()(24)22 34 3

12、3232PABCDVBCADABPO6（2016新课标，文 19）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，/ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点（）证明/MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积【解析】证明：（）取BC中点E，连结EN，EM，N为PC的中点，NE是PBC的中位线/NEPB，又/ADBC，/BEAD，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，122BEBCAM，四边形ABEM是平行四边形，/EMAB，平面/NEM平面PAB，MN 平面NEM，/MN平面PAB（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，/

13、NFPA，122NFPA，又PA面ABCD，NF面ABCD，如图，延长BC至G，使得CGAM，连结GM，/AMCG，四边形AGCM是平行四边形，3ACMG，又3ME，2ECCG，MEG的高5h，11452 522BCMSBCh，四面体NBCM的体积114 52 52333NBCMBCMVSNF7（2013 辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点（）求证：BCPAC 平面；（）设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC【解析】（）由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC，又 PAAC=A,PA平面 P

14、AC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC（）连 OG 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QO由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，由 G 为 PA 中点，得 QM/PC又 O 为 AB 中点，得 OM/BC因为 QMMO=M,QM平面 QMO所以 QG/平面 PBC8（2012 江苏）如图，在直三棱柱111ABCA BC中，1111A BAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点求证：（）平面ADE 平面11BCC B；（）直线1/AF平面ADE【解析】（）因为111ABCA BC是直三棱柱，所以1CC平面ABC,又AD平面AB

15、C,所以1CCAD，又因为AD1,DE CCDE 平面11BCC B，1CC,DEE所以AD 平面11BCC B,又AD平面ADE,所以平面ADE平面11BCC B（）因为1111ABAC，F为11CB的中点，所以111AFBC因为1CC平面111ABC，且1AF平面111ABC，所以1CC1.AF又因为1CC，11BC 平面11BCC B，1CC111BCC，所以1AF 平面11BCC B，所以1/AFAD又 AD平面ADE，1AF 平面ADE，所以1/AF平面ADE考点考点 8080 空空间垂直问题间垂直问题1（2017新课标，文 10）在正方体1111ABCDABC D中，E为棱CD的中

16、点，则()A11AEDCB1AEBDC11A EBCD1A EAC【答案】C【解析】连1B C，由题意得11BCBC，11A B 平面11B BCC，且1BC 平面11B BCC，111A BBC，1111ABBCB，1BC平面11A ECB，1A E 平面11A ECB，11A EBC，故选C2（2013 新课标，理 4）已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【答案】D【解析】若，又m平面，则m平面，又n平面，mn，与m与n异面矛盾，故 A 错；若l，n平面，ln，与ln矛盾；若与相交，设交线为a，过

17、n上一点作直线bm，设b与n确定的平面为，ml，bl，ln，l，又m平面，n平面，ma，na，ba，a，则al，故选 D3（2011 辽宁）如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】选项 A 正确，SD 平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以ACSD因为ABCD为正方形，所以ACBD，而BD与SD相交，所以AC 平面SBD，所以ACSB；选项 B 正确，因为ABCD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以A

18、B平面SCD；选项 C 正确，设AC与BD的交点为O，连结SO，则SA与平面SBD所成的角ASO，SC与平面SBD所成的角CSO，易知这两个角相等；选项 D 错误，AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA所成的角等于SAB，易知这两个角不相等，故选 D4（2015 福建）若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“m且lm”推出“l或l”，但由“m且l”可推出“lm”，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选 B5（2014 广东）若空间中四条两两不同的直线1234,l l

19、 l l，满足122334,ll ll ll，则下面结论一定正确的是A14llB14/llC14,l l既不垂直也不平行 D14,l l的位置关系不确定【答案】D【解析】利用正方体模型可以看出，1l与4l的位置关系不确定选 D6（2014 浙江）设,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面A若mn，/n，则mB若/m，则mC若,mnn则mD若mn，n，则m【答案】C【解析】选项,A B D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选C7（2014 辽宁）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A若/,/,mn则/mnB若m，n，则mnC若m，mn，则/nD若/m，mn，则n

20、【答案】B【解析】对于选项 A，若/,/,mn，则m与n可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项 B 正确；对于选项 C，若m，mn，则n或/n，C 错误；对于选项 D，若/m，mn，则/n或n或n与相交，D 错误故选 B8（2013 广东）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中正确的是A若,m,n,则mnB若/,m,n,则/mnC若mn,m,n,则D若m,/mn,/n,则【答案】D【解析】A 中,m n可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n还可能为异面；C 中m应与中两条相交直线垂直时结论才成立，选 D9（2012 浙江）设l是直线，,是两个不同的平面A若l，l，则B若

21、l，l，则C若，l，则lD若,l，则l【答案】B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，l，l，则如选项 A：l，l时，或；选项 C：若，l，l或l；选项 D：若,l，l或l10（2012 浙江）已知矩形ABCD，1AB，2BC 将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【答案】B【解析】过点A作AEBD，若存在某个位置，使得ACBD，则BD 面ACE，从而有BDCE，计算可

22、得BD与CE不垂直，则 A 不正确；当翻折到ACCD时，因为BCCD，所以CD 面ABC，从而可得ABCD；若ADBC，因为BCCD，所以BC 面ACD，从而可得BCAC，而12ABBC，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故选 B11（2011 浙江）下列命题中错误的是A如果平面 平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面 平面，平面 平面，=l，那么l 平面D如果平面 平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D【解析】对于 D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交

23、、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的，故选 D12（2016新课标，理 14），是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，/n，那么如果m，/n，那么mn如果/，m，那么/m如果/mn，/，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题是（填序号）【答案】【解析】如果mn，m，/n，不能得出，故错误；如果/n，则存在直线l，使/nl，由m，可得ml，那么mn故正确；如果/，m，那么m与无公共点，则/m，故正确如果/mn，/，那么m，n与所成的角和m，n与所成的角均相等，故正确；13（2019 北京理 12）已知l，m是平面a外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；maP

24、；la以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】若llm，则mP或mP，l，则lm【解析】由l，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若llm，则mP由线面平行、垂直的性质定理得mP，l，则lm14（2020 全国 I 文 19）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90APC（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设2DO，圆锥的侧面积为3，求三棱锥PABC的体积【答案】（1）证明见解析；（2）68【思路导引】（1）根据已知可得PAPBPC，进而有PACPBC，可得90APCBPC，即PBP

25、C，从而证得PC 平面PAB，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在Rt APO中，求出PO，即可求出结论【解析】（1）DQ为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，,OAOBOCPAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PACPBC，90APCBPC，即,PBPC PAPC，,PAPBPPC平面,PAB PC 平面PAC，平面PAB 平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为3,3rlrl，2222ODlr，解得1,3rl，2 sin603

26、ACr，在等腰直角三角形APC中，2622APAC，在Rt PAO中，2262142POAPOA，三棱锥PABC的体积为11236333248P ABCABCVPO S 15（2020 全国文 20）如图，已知三棱柱111ABCA BC的底面是正三角形，侧面11BBC C是矩形，,MN分别为11,BC BC的中点，P为AM上一点过11BC和P的平面交AB于E，交AC于F（1）证明：1AA/MN，且平面1A AMN 平面11EBC F；（2）设O为111A B C的中心，若6AOAB，AO/平面11EBC F，且3MPN，求四棱锥11BEB C F的体积【答案】（1）证明见解析；（2）24【思路

27、导引】（1）由,M N分别为BC，11BC的中点，1/MN CC，根据条件可得11/AABB，可证1MN AA/，要证平面11EBC F平面1A AMN，只需证明EF 平面1A AMN即可；（2）根据已知条件求得1 1EBC FS四边形和M到PN的距离，根据椎体体积公式，即可求得1 1B EB C FV【解析】（1）,M N分别为BC，11BC的中点，1/MN BB，又11/AABB，1/MN AA在等边ABC中，M为BC中点，则BCAM，又侧面11BBCC为矩形，1BCBB，1/MN BB，MNBC，由MNAMM，,MN AM 平面1A AMN，BC平面1A AMN，又11/BCBC，且11

28、BC 平面ABC，BC 平面ABC，11/BC平面ABC，又11BC 平面11EBC F，且平面11EBC F 平面ABCEF，11/BCEF，/EF BC，又BC 平面1A AMN，EF 平面1A AMN，EF 平面11EBC F，平面11EBC F平面1A AMN（2）过M作PN垂线，交点为H，画出图形，如图 AO/平面11EBC F，AO平面1A AMN，平面1A AMN 平面11EBC FNP，/AO NP，又/NO AP，6AONPO为111A B C的中心，1111sin606 sin60333ONAC ，故：3ONAP，则33 3AMAP平面11EBC F 平面1A AMN，平面

29、11EBC F 平面1A AMNNP，MH 平面1A AMN，MH 平面11EBC F，又在等边ABC中EFAPBCAM，即3623 3AP BCEFAM由（1）知，四边形11EBC F为梯形，四边形11EBC F的面积为：1 11126=62422EB C FEFBCSNP四边形，1 11 113B EBC FEBC FVSh四边形，h为M到PN的距离2 3 sin603MH，124 3243V 16（2020 全国文 19）如图，在长方体1111ABCDABC D中，点,EF分别在棱11,DDBB上，且112,2DEEDBFFB证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）证明：点1C在平面A

30、EF内【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【思路导引】（1）根据正方形性质得ACBD，根据长方体性质得1ACBB，进而可证AC 平面11BB D D，即得结果；（2）只需证明1/ECAF即可，在1CC上取点M使得12CMMC，再通过平行四边形性质进行证明即可【解析】（1）因为长方体1111ABCDABC D，所以1BB平面ABCD1ACBB，因为长方体1111,ABCDABC D ABBC，所以四边形ABCD为正方形ACBD，因为11,BBBDB BBBDI、平面11BB D D，因此AC 平面11BB D D，因为EF 平面11BB D D，所以ACEF（2）在1CC上取点M使得12C

31、MMC，连,DM MF，因为111112,/,=D EED DDCC DDCC，所以11,/,EDMC ED MC所以四边形1DMC E为平行四边形，1/DM EC，因为/,=,MF DA MF DA所以四边形MFAD为平行四边形，1/,/DM AFECAF，因此1C在平面AEF内17（2020 江苏 15）在三棱柱111ABCABC中，ABAC，1BC 平面ABC，,E F分别是AC，1BC的中点（1）求证：/EF平面11ABC；（2）求证：平面1ABC 平面1ABB【答案】见解析【解析】（1）,E F分别是AC，1BC的中点，1/EFAB，EF 平面11ABC，1AB 平面11ABC，/E

32、F平面11ABC（2）1BC 平面ABC，AB 面1ABB，1BCAB，又ABAC，1ACBCC，AC 面1ABC，1BC 面1ABC，AB 面1ABC，AB 面1ABB，平面1ABC 平面1ABB18（2018新课标，文 18）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD 平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QABP的体积【解析】（1）证明：在平行四边形ABCM中，90ACM，ABAC，又ABDA且ADACA，AB面ADC，AB面ABC，平面ACD 平面

33、ABC；（2）3ABAC，90ACM，3 2ADAM，22 23BPDQDA，由（1）得DCAB，又DCCA，DC面ABC，三棱锥QABP的体积1133ABPVSDC12112113 3313333323ABCSDC 19（2018新课标，文 19）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离【解析】（1）证明：2 2ABBC，4AC，222ABBCAC，即ABC是直角三角形，又O为AC的中点，OAOBOC，PAPBPC，POAPOBPOC ，90POAPOBPOC ，P

34、OAC，POOB，0OBAC，PO平面ABC；（2）由（1）得PO 平面ABC，222 3POPAAO，在COM中，2202 52cos453OMOCCMOC CM112 52 152 32233POMSPOOM，124233COMABCSS设点C到平面POM的距离为d由P OMCCPOMVV1133POMOCMSdSPO，解得4 55d，点C到平面POM的距离为4 5520（2017新课标，文 19）如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【

35、解析】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，ABC是正三角形，ADCD，DOAC，BOAC，DOBOO，AC平面BDO，BD 平面BDO，ACBD（2）法一：连结OE，由（1）知AC 平面OBD，OE 平面OBD，OEAC，设2ADCD，则1OCOA，ECEA，AECE，2AC，222ECEAAC，2ECEACD，E是线段AC垂直平分线上的点，2ECEACD，由余弦定理得：222222cos22BCBDCDBCBECECBDBC BDBC BE，即24424222222BEBE ，解得1BE 或2BE，2BEBD，1BE，BEED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高

36、h，BEED，DCEBCESS，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为 121（2016新课标，文 19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到D EF的位置（）证明：ACHD；（）若5AB，6AC，54AE，2 2OD，求五棱锥DABCFE体积【解析】（）证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AECF，/EFAC，且EFBD将DEF沿EF折到D EF的位置，则D HEF，/EFAC，ACHD；（）若5AB，6AC，则3AO，04BOD，54AE，5ADAB，515544DE

37、，/EFAC，153454DEEHDHADAOOD，94EH，922EFEH，3DH，431OH，3HDDH，2 2OD，满足222HDODOH ，则OHD为直角三角形，且ODOH，又ODAC，ACOHO，即OD 底面ABCD，即OD是五棱锥DABCFE的高底面五边形的面积9(6)11()1216926412222244EFAC OHSAC OB，则五棱锥DABCFE体积116923 22 23342VS OD 22（2014新课标 I，文19）如图，三棱柱111CBAABC 中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11（I）证明：;1ABCB（II）若1ABAC,1,

38、601BCCBB求三棱柱111CBAABC 的高【解析】（I）连结1BC，则O是1BC与1BC的交点，侧面11BBCC为菱形，1BC1BC，又AO平面11BBCC，1BCAO，1BC平面ABO，AB平面ABO，1BCAB6分（II）作ODBC，垂直为 D，连结 AD，作 OHAD，垂足为 H，BCAO，BCOD，BC平面 AOD，OHBC，OHAD，OH平面 ABC1CBB=060，1CBB为正三角形，BC=1，可得 OD=34ACAB，OA=112BC=12OHADOD OA，且AD=22ODOA=74，得OH=2114，又O 是1BC的中点，点1B到平面ABC的距离为217，故三棱锥111

39、CBAABC 的高为21712分23（2011新课标，文 18）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=060，AB=2AD,PD底面ABCD()证明：PABD；（）若PD=AD=1，求棱锥DPBC的高【解析】（）因为60,2DABABAD，由余弦定理得3BDAD从而 BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD（）如图，作 DEPB，垂足为 E已知 PD底面 ABCD，则 PDBC由（）知 BDAD，又 BC/AD，所以 BCBD故 BC平面 PBD，BCDE则 DE平面 PBC由题设知，PD=1，则 BD=3，PB=2，

40、根据 BEPB=PDBD，得 DE=23，即棱锥 DPBC 的高为.2324（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E证明证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC又因为BE平面ABC，所以CC1BE因为C1C平面A1ACC1，A

41、C平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E25（2018 江苏）在平行六面体1111ABCDABC D中，1AAAB，111ABBC求证：(1)AB平面11ABC；(2)平面11ABB A平面1ABC【证明】(1)在平行六面体1111ABCDABC D中，AB 11AB因为AB平面11ABC，11AB平面11ABC，所以AB平面11ABC(2)在平行六面体1111ABCDABC D中，四边形11ABB A为平行四边形又因为1AAAB，所以四边形11ABB A为菱形，因此1AB1AB又因为1AB11BC，BC11BC，所以1ABBC又因

42、为1ABBC=B，1AB平面1ABC，BC平面1ABC，所以1AB平面1ABC因为1AB平面11ABB A，所以平面11ABB A平面1ABC26（2017 江苏）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF平面ABC（2）因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，BC 平面BCD，BCBD，所以BC 平面ABD因为AD 平面ABD，所以

43、BC AD又ABAD，BCABB，AB 平面ABC，BC 平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC27（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线AC的长为 107cm，容器的两底面对角线EG，11EG的长分别为 14cm 和 62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒l，其长度为 40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1CC上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l

44、没入水中部分的长度【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC平面ABCD，所以平面11A ACC平面ABCD，1CCAC记玻璃棒的另一端落在1CC上点M处因为10 7AC，40AM 所以2240(10 7)30MN，从而3sin4MAC记AM与水平的交点为1P，过1P作11PQAC，1Q为垂足，则11PQ平面ABCD，故1112PQ，从而11116sinPQAPMAC答：玻璃棒l没入水中部分的长度为 16cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图，O，1O是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，1OO平面EFGH，所以平面11E EGG平面EFGH，1OOEG同理

45、，平面11E EGG平面1111E FG H，1OO11EG记玻璃棒的另一端落在1GG上点N处过G作GK11EG，K为垂足，则GK=1OO=32因为EG=14，11EG=62，所以1KG=62 14242，从而222211243240GGKGGK设1,EGGENG则114sinsin()cos25KGGKGG因为2，所以3cos5 在ENG中，由正弦定理可得4014sinsin，解得7sin25因为02，所以24cos25于是sinsin()sin()sincoscossinNEG42473(35)525255 记EN与水面的交点为2P，过2P作22PQEG，2Q为垂足，则22PQ平面EFGH

46、，故22PQ=12，从而2EP=2220sinPNEGQ答：玻璃棒l没入水中部分的长度为 20cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)28（2014 山东）如图，四棱锥PABCD中，APPCD 平面，ADBC，1,2ABBCAD E F分别为线段,AD PC的中点（）求证：APBEF平面；（）求证：BEPAC 平面【解析】（）设ACBEO，连结 OF，EC，由于 E 为 AD 的中点，1,/2ABBCAD ADBC，所以/,AEBC AEABBC,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，因此在PAC中，可得/APOF又OF 平面BEF，AP

47、 平面BEF，所以AP平面BEF（）由题意知，/,EDBC EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此/BECD又AP 平面PCD，所以APCD，因此APBE因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE 平面PAC29(2014 江苏)如图，在三棱锥ABCP 中，D，E，F分别为棱ABACPC,的中点已知ACPA，,6PA.5,8DFBC求证：（）直线PA平面DEF；（）平面BDE 平面ABC【解析】（）D E，为PCAC，中点，DEPAPA 平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF（）D E，为PCAC，中点，132DEPAE F，为ACAB，中点

48、，142EFBC222DEEFDF，90DEF，DEEF/DE PA PAAC，DEACACEFE，DE平面ABCDE平面BDE，平面BDE平面ABC30(2012 广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，/,ABCD PDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高（）证明：PH 平面ABCD；（）若1,2,1PHADFC，求三棱锥EBCF的体积；（）证明：EF 平面PAB【解析】（）AB 平面PAD，PH 面PADPHAB又,PHAD ADABAPH面ABCD（）E是PB中点点E到面BCF的距离1122hPH三棱锥EBCF的体积111112

49、123326212BCFVShFCADh（）取PA的中点为G，连接,DG EG，PDADDGPA，又AB 平面PAD 面PAD 面PABDG面PAB，点,E G是棱,PB PA的中点11/,/22EGAB DFABEGDFDGEF，得：EF 平面PAB31（2011 江苏）如图，在四棱锥ABCDP 中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（）直线EF平面PCD；（）平面BEF平面PAD【证明】：（）在PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF/PD又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF/平面 PCD（）连结

50、 DB，因为 AB=AD，BAD=60，所以ABD 为正三角形，因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，所以 BF平面 PAD又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD32（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E证明证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以