《高等数学》函数考点精讲与例题解析.docx

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1、高等数学函数考点精讲与例题解析第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D和M，若有对应法则，使得对于D内的每一个，都有唯一确定的与之对应，则称是定义在数集D上的函数，记作，数集D成为函数的定义域，称为值域。【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。例如，的定义域为关于原点对称。（2）验证对于任，都有，称为偶函数；偶函数的图形关于轴对称。（3）验证若对于任都有，称为奇函数

2、；奇函数的图形关于坐标原点对称。【考点二】会判定函数的奇偶性，不管的具体形式是什么，都需要计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。三、函数的周期性对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，T称为的周期。【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。【考点四】函数是否有界是相对于某个区间而言的，与区间有关，要求会判

3、断函数的有界性：（1）闭区间上的连续函数必在上有界。（2）若函数f (x)在开区间内连续，且极限与存在，则函数在开区间内有界.（3）收敛数列必为有界数列；（4）函数极限的局部有界性定理；【注1】（1）无界函数与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大量。是指，在某的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。例如，函数在内是无界函数，但不是无穷大量，因为若取，当时，；若取，当时，。五、函数的单调性设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与，且，均有 ，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“”或“”改为“”），称函数在上严格单调增加（或严

4、格单调减少）。单调性判定 设函数在上连续，在内可导，若对任一，有在上单调增加（或减少）。【考点五】（1）掌握增函数和减函数的定义（2）会用单调性定理判断函数的单调性六、分段函数与复合函数在用公式法表示的函数中，若自变量与因变量之间的函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达，即在函数定义域的不同部分用不同数学式子表示的函数，称为分段函数。分段函数的定义域是各个部分自变量取值范围的总和或并集。设函数的定义域为，函数的值域为，若集合与的交集非空，称函数为函数与复合而成的复合函数，为中间变量。对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合的。【考点六】复合函数的复合过程。求分段函数

5、的复合函数的主要方法是：分段代入法。【解题程序】（1）代入：如果复合函数的外层函数是段分段函数，而内层函数是段分段函数，则将内层函数分段代入外层函数后，得到的复合函数为段的分段函数。（2）解不等式：分别解出个不等式构成的不等式组，把无解的不等式组去掉，即得所求的复合函数。七、反函数设函数的值域为，定义域为，则对于每一个，必存在使。若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数。但习惯上把反函数记作。在同一直角坐标系下，函数与其反函数的图形是同一条曲线；而函数与其反函数的图形关于直线对称。【考点七】会求单调函数的反函数，解法：（1）由解出，得到关系式；（2）将与互换，即得所求函数的反

6、函数。八、初等函数常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。初等函数是微积分研究的主要对象。分段函数不一定是初等函数。绝对值函数很特殊，它既是初等函数，又可以写成分段函数的形式，常常可以构造一些选择题。典型例题例1 求函数的定义域解：要使有意义，则须和要使有意义，则须，故函数的定义域为例2 已知函数，求解：，故 且例3 求解：是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是。例4 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (

7、D)解 ，单调减少于是xN时，恒有 ，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为。没有极限的数列称为发散数列。（了解该定义）2 重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。（2）。（3） 。（4），3. 判定数列的单调性主要有三种方法：I 计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。II 当时，计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。III 令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时， 单调递增；当时，单调递减。二、函数的极限1. 函数极限的定义理解六种函数极限的定义：，【考点八】函数极限存在的充要条件：【注2】 在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点八】判断双侧极限

8、是否存在。 在求极限时，如果函数中包含或项，也要讨论和，然后再判断是否存在； 如果函数中含有偶次方根，由于算术方根前面只能取正号，所以求极限，要分左极限和右极限两种情况来讨论；求极限，要分和两种情况来讨论。 碰到分段函数，考虑分段点处的极限，通常都要分左极限和右极限两种情况来讨论。【熟记】，其中为常数，2. 函数极限的性质函数极限的性质有：极限唯一，局部有界性，局部保号性。局部有界性：如果，那么存在常数和，使得当时，有局部保号性：如果，且，那么存在常数，使得当时，有。【注3】要理解函数极限的性质，特别是函数极限的局部有界性和局部保号性。3. 求函数极限的主要方法【考点九】（1）极限存在准则夹逼

9、定理 设在的某空心邻域内恒有，且有 ， 则极限 存在，且等于A .【注4】 对其他极限过程及数列极限，有类似结论.。在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。（2）单调有界定理：单调有界数列必有极限.（了解）（3）重要极限 ，（4）洛必达（）法则使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法：（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用。

10、（2）将极限值不为零的因子先求极限；（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。 对于型未定式极限的方法：（1）分子、分母同时除以最大的无穷大（抓大头准则）（2）使用洛必达（）法则 化和型未定式为型和型的方法是：（1）通分法 （2）提因子法 （3）变量代换法（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的型极限计算公式：。推导如下（为简便，略去自变量）： 【考点十】（1）已知 A，则有： 若g(x) 0，则f (x) 0；

11、 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0.（2）已知，若，则.【注5】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题与解决问题的方法。【考点十一】在已知条件或要证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。【注6】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。设是同一过程下的两个无穷小，即。若，则称是比高阶的无穷小；若则称是比低阶的无穷小；若（为常数且），则称与是同阶无穷小；若则称与是等价无穷小。【熟记】常见的等价无穷小代换：（一）基本情形：当时，我们有：（1） （2） （3

12、） （4） （5） （6） （7）（8） （9） (10)()（12） （二）差函数中常用的等价无穷小代换：当时，我们有：（1） （2）（3） （4）（5） （6）典型例题例1 设函数在内有定义，如果极限且，则下列结论正确的是（ ）A. 存在正数，在内； B. 存在正数，在内；C在内， D. 在内解：由函数极限的局部保号性可知，B答案正确例2 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数n等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：当时，据题意可知，所以 选(B)例3 设，则当x0时，是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶但不是等价无穷小 (

13、D) 等价无穷小解： 选(C)例4 求极限解： 令，则，于是，故由夹逼定理可知，原极限为0。例5 求。解 原式=例6 设函数连续，且，求解 原式=(分母令=(在0和x之间) (用积分中值定理)=.例7 求极限解 例8 求极限解：原式例9 设，求和解 由题设可知， 再对所求极限用洛必达法则例10 设在(0，+)内可导，0，且满足，求解： 先用冪指函数处理方法再用导数定义 ，令， 于是，故所以 ， ，再由，可知C=1，则第三节 函数的连续性内容考点一、函数的连续性与间断点. 函数在一点处连续定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点处连续。其中，定义2 设函数在点的某邻域内有定义，若

14、，则称函数在点处连续，并称为连续点。定义3 若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且（）则称函数在点处左（右）连续。显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。. 函数在区间上的连续性 函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数连续的区间，称为的连续区间。. 函数的间断点及其分类定义 使得函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；（2）不存在；（3）与都存在，但则称在点处不连续，或称为函数的间断点。间断点的分类 设为函数的间断点，间断点的分类

15、是以 点的左、右极限来划分第一类间断点 第二类间断点 【考点十二】在连续性的各种题型中，无论是确定函数（特别是分段函数）的间断点及其类型，还是利用连续性确定函数中的常数，解题方法的核心均为先求函数在一些特殊点（特别是无定义的点和分段函数的分段点）处的左右极限和，然后再根据间断点的定义与函数连续的充要条件求出相应结果。二、闭区间上连续函数的性质定理定理1 （有界性定理） 闭区间上的连续函数必在上有界。定理2 (最大值最小值定理) 闭区间上的连续函数，必在上有最大值和最小值，即至少存在两点，使得对一切，恒有 ，其中，。定理3 (介值定理) 设函数在闭区间上连续，与分别为在上的最小值与最大值，则对于

16、任意实数，至少存在一点，使得。定理4（零点定理或根的存在定理） 若在闭区间上连续，且，则至少存在一点，使。【注7】应用介值定理，其思路是：所要证的结论可写成的形式，其中，常数介于在上的最大值与最小值之间，由介值定理的内容本身知，应用介值定理时，必用到最值定理。【考点十三】证明方程有根，且已知连续函数在闭区间上的取值情况，一般用零点定理，其思路是：将待证的等式或方程改写成的形式，若方程中含有中值，则一律改写为，同样会得到的形式。由此构造在闭区间上的连续函数作为辅助函数，然后利用零点定理证得待证的结论。典型例题例1 设，在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A) (B)

17、(C) (D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，(D)成立 可用反证法证明：假设没有间断点，那么函数为连续函数，所以为两个连续函数乘积，一定连续，这与已知条件有间断点矛盾，所以假设不成立，故函数一定有间断点。例2 求函数的所有间断点，并判别其所属类型。解： 根据函数有意义的条件可得所有间断点为，当时，而函数在无定义，因此是函数的可去间断点；当时，因此是函数的第二类间断点。又因，而函数在处无定义，因此是函数的可去间断点，综上可知，和是函数的第一类可去间断点，是函数的第二类间断点例3 已知函数在闭区间上连续，且，证明至少存在一点，使得 证明：令，则在上连续，根据零点定理知，至少存在一点，使

18、得，即例4 设在闭区间上连续，且，求证：至少存在一点，使得。证明：函数在闭区间上连续，故在闭区间上必存在最大值和最小值，即对于一切，有，所以根据介值定理，至少存在一点，使得，即第一章 习题一. 填空题1设, 则 = _.2. =_.3. 已知函数 , 则_.4. =_.5. =_.6. 已知 则A = _, k = _.7. 8. 二. 选择题1. 已知函数，函数，则是函数的（ ） 连续点 可去间断点 跳跃间断点 震荡间断点2. 设函数， 则是（ ） 偶函数 无界函数 周期函数 单调函数3. 极限的值是（ ） 不存在.4. 设，则的值为（ ） 均不对5. 设，则，的数值为（ ） ， ， ， 均不对6. 设，则当时，（ ）是的等价无穷小 是的同阶但非等价无穷小比较低价无穷小 比较高价无穷小7. 设，则的值为（ ） 8. 设，则必有（ ） 三. 计算题1. 求下列极限(1) (2) (3) （4）2. 求下列极限(1) (2) 3. 求下列极限(1) (2) (3) , 其中 （4）4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) ( 2) .5. 讨论函数 在处的连续性。6. 设在上连续，且，为任意正数，则在内至少存在一个，使得 .7. 设在上连续，且， 试证在内至少存在一个使得8. 设在上连续，且试证在内至少存在一个，使得9. 讨论方程有几个实根。10. 设，试讨论在处的连续性与可导性.