空间解析几何习题答案.pdf

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1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-一、计算题与证明题 1已知1|a,4|b,5|c,并且0cba 计算accbba 解：因为1|a,4|b,5|c,并且0cba 所以a与b同向，且ba 与c反向 因此0ba，0cb，0ac 所以0accbba 2已知3|ba,4|ba,求|ba 解：3cos|baba （1）4sin|baba （2）222)1(得252 ba 所以 5 ba 4已知向量x与)2,5,1(,a共线,且满足3 xa,求向量x的坐标 解：设x的坐标为zyx,，又2,5,1a 则325zyxxa （1）又x与a共线，则0ax 即 05252512125251ky

2、xjxzizykyxjyxizyzyxkji 所以05252222yxxzzy 即01042026529222xyxzyzzyx （2）又x与a共线，x与a夹角为0或 30325110cos222222222zyxzyxax 整理得 103222zyx （3）联立 321、解出向量x的坐标为51,21,101-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-6已知点)7,8,3(A,)3,2,1(B求线段AB的中垂面的方程 解：因为7,8,3A,)3,2,1(B AB中垂面上的点到BA、的距离相等，设动点坐标为zyxM,，则由MBMA 得 222222321783zyxzyx 化简得02

3、7532zyx 这就是线段AB的中垂面的方程。7向量a,b,c具有相同的模,且两两所成的角相等,若a,b的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和,求向量c的坐标 解：rcba且它们两两所成的角相等，设为 则有1101101ba 则21cosrbaba 设向量c的坐标为zyx,则11cos0112rrrbayxzyxca （1）11cos1102rrrcbzyzyxcb （2）2011222222rzyxc 所以2222zyx （3）联立（1）、（2）、(3)求出101zyx或313431zyx 所以向量c的坐标为1,0,1或31,34,31 8已知点)1,6,3(A,)1,4,2(B,)3,

4、2,0(C,)3,0,2(D，(1)求以AB,AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积(2)求三棱锥BCDA的体积(3)求BCD的面积(4)求点A到平面BCD的距离-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-解：因为103，A，1,4,2 B,3,2,0 C,3,0,2D 所以0,10,1AB 2,8,3 AC 4,6,5AD（1）ADACAB,是以它们为邻边的平行六面体的体积 176121200010034652830101V（2）由立体几何中知道，四面体ABCD（三棱锥BCDA）的体积 3881766161VVT（3）因为222，BC，444，BD kjikjiBDBC01616

5、444222 所以216161622BDBC，这是平行四边形BCED的面积 因此SSBCD21BCED2821621(4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥BCDA的体积 HSVBCDT31 所以22112112838833BCDTSVH 1求经过点)1,2,3(A和)3,2,1(B且与坐标平面xOz垂直的平面的方程 解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为 0DCzAx (1)把点123，A和点321，B代入上式得 03DCA (2)03DCA (3)由（2），（3）得2DA,2DC -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-代入（1）得022DzDxD 消

6、去D得所求的平面方程为 02zx 2求到两平面0623:zyx和1152:zyx距离相等的点的轨迹方程 解；设动点为zyxM,，由点到平面的距离公式得 2222221025101025213623zyxzyz 所以10102512914623zyxzyx 3已知原点到平面的距离为 120,且在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2,求 的方程 解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为 1562kzkykx 化成一般式为0306515kzyx 又因点0,0,0O到平面的距离为 120，则有 120651530222k 求出2864k 所以，所求平面方程为02861206515zyx 5已知两

7、平面02467:zymx与平面0191132:zmyx相互垂直，求m的值 解：两平面的法矢分别为6,1,1 mn，11,3,22mn，由1n2n，得 066212mm 求出1966m 6已知四点)0,0,0(A,)3,5,2(,B,)2,1,0(C,)7,0,2(D,求三棱锥ABCD 中ABC 面上的高 解：已知四点 7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0DCBA,则 9,1,2,4,5,0,7,0,2DCDBDA-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-由DCDBDA,为邻边构成的平行六面体的体积为 912450702,DCDBDAV 80700090 87090 28

8、 由立体几何可知，三棱锥ABCD 的体积为 314286161VVABCD 设D到平面ABC的高为H 则有 ABCABCDSHV31 所以 ABCABCDSVH3 又2,1,0,3,5,2ACAB kjikjiACAB247210352 所以，69212472121222ACABSABC 因此，696928692869213143H 7已知点A在z轴上且到平面014724:zyx的距离为 7,求点A的坐标 解：A在z轴上，故设A的坐标为（0 0 z），由点到平面的距离公式，得 7724147222 z 所以69147 z 则692z 那么A点的坐标为692,0,0A 8已知点A在z轴上且到点)

9、1,2,0(B与到平面9326:zyx的距离相等,求点A的-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-坐标。解：A在z轴上，故设A的坐标为z,0,0，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得22222232693120zz 化简得022974402zz 因为031164229404742 方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。1求经过点)0,2,1(P且与直线011111zyx和0111zyx都平行的平面的方程 解：两已知直线的方向矢分别为01101121，vv，平面与直线平行，则平面的法矢CBAa，与直线垂直 由a1v，有00 BA （1）由a2v，有00 BA （2）联立（

10、1），（2）求得0,0BA,只有0C 又因为平面经过点021，P，代入平面一般方程得 00C2010D 所以0D 故所求平面方程0Cz，即0z，也就是xoy平面。2求通过点 P(1，0，-2)，而与平面 3x-y+2z-1=0 平行且与直线12341zyx相交的直线的方程 解：设所求直线的方向矢为pnmv，直线与平面0123zx平行，则vn，有 023pnm （1）直线与直线12341zyx相交，即共面 则有0200311124pnm 所以01287nm （2）-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-由（1），（2）得 87137123212821pnm，即31504pnm 取

11、4m，50n，31p，得求作的直线方程为 3125041zyx 3求通过点)0,0,0(A与直线141423zyx的平面的方程 解：设通过点)0,0,0(A的平面方程为0)0()0()0(zCyBxA 即 0CzByAx (1)又直线141423zyx在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直 所以 02CBA (2)直线上的点4,4,3 也在该平面上，则 0443CBA （3）由（1），（2），（3）得知，将CBA,作为未知数，有非零解的充要条件为 0443112xzy 即01158zyx，这就是求作的平面方程。4求点)0,1,1(P到直线01112zyx的距离 解：点1,0,2A在直线上，

12、直线的方向矢0,1,1v 1,1,1AP,则AP与v的夹角为 011111011cos22222vAPvAP 所以090 因此点0,1,1P到直线的距离为 3111222 APd 5取何值时直线01540623zyxzyx与z轴相交?-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-解：直线01540623zyxzyx与z轴相交，则有交点坐标为z，00，由直线方程得015062zz，求得5 7求过点)25,3(且与两平面34 zx和13zyx平行直线方程 解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为 kjikjinnv13

13、411340121 将已知点代入直线的标准方程得 1513243zyx 8 一平面经过直线（即直线在平面上）l：41235zyx，且垂直于平面015 zyx，求该平面的方程 解：设求作的平面为0DCzByAx (1)直线41235zyx在该平面上，则有点0,2,5在平面上，且直线的方向矢4,1,3v与平面的法矢CBAn,垂直 所以025DBA (2)043CBA (3)又平面与已知平面011zyx垂直，则它们的法矢垂直 所以0CBA (4)联立(2),(3),(4)得DCDBDA342347395 代入（1）式消去D并化简得求作的平面方程为 039225zyx 3求顶点为)0,0,0(O，轴与

14、平面 x+y+z=0 垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程 解：设轨迹上任一点的坐标为zyxP，依题意，该圆锥面的轴线与平面0zyx 垂-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-直，则轴线的方向矢为111，v，又点0,0,0O与点1,23，在锥面上过这两点的线的方向矢为1,2,31l，点)0,0,0(O与点zyxP，的方向矢为zyxl,2，则有1l与v 的夹角和2l与v的夹角相等，即 2222222222221111231112131111111zyxyx 化简得所求的圆锥面方程为 01414111111222yzxyzyx 4已知平面过z轴,且与球面0411086222

15、zyxzyx相交得到一个半径为 2的圆,求该平面的方程 解：过z轴的平面为0 ByAx （1）球面方程化为9543222zyx 表示球心坐标为5,4,3O到截面圆的圆心的距离为 52322d,如题三.4 图所示 由点到平面的距离公式为 54322BABA 化简得01124422BBAA 解关于A的一元二次方程地421144242422BBBA 求出BABA211,2121 分别代入(1)式得0211,021ByBxByBx 消去B得所求平面方程为yx2或yx113 5求以轴为母线z,直线11yx为中心轴的圆柱面的方程 解:如习题三.5 所示,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为 1,1,半径为

16、2,所以求作的圆柱面方程为21122yx-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-6求以轴为母线z,经过点)7,3,6()2,2,4(,BA以及的圆柱面的方程 解:设以z轴为母线的柱面方程为222abyax (1)因为点)2,2,4(,A,)7,3,6(B在柱面上,则有 22224Rba (2)22236Rba (3)则 22200Rba (4)联立(2),(3),(4)求出825a,45b,642252R 代入(1)式得所求的柱面方程为 642254582522yx 7根据k的不同取值,说明1)1()4()9(222zkykxk表示的各是什么图形 解:方程1149222zkyk

17、xk (1)9k时,(1)式不成立,不表示任何图形;94 k时,(1)式变为1222222czbyax,表示双叶双曲线;41 k时,(1)式变为1222222czbyax,表示单叶双曲线;1k时,(1)式变为1222222czbyax,表示椭球面;1k时,(1)式变为12222byax,表示母线平行于z轴的椭圆柱面;4k时,(1)式变为12222bzax,表示双曲柱面;9k时,(1)式变为12222czby,不表示任何图形;1已知2|a,7|b,5|c,并且0cba 计算accbba 解:2|a,7|b,5|c,且0cba-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-则反向均与、同向

18、，与bcaca.所以0accbba 0000cos25180cos57180cos72 103514 39 3已知点)4,1,0(A,)0,3,2(B求线段AB的中垂面的方程 解：已知点)4,1,0(A,)0,3,2(B，设AB的中垂面上任一点的坐标为zyxM,，由两点间的距离公式得222222012410zyxzyx 化简得012zyx 4已知平面与三个坐标轴的交点分别为CBA,且ABCO 的体积为 80,又在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4,求的方程 解：设在三个坐标轴上的截距之比为 kcba3:5:4:，则平面与三个坐标轴的交点为 kCkBkA3,0,0,0,5,0,0,0,4 803

19、5461610kkkOCOBOAVABC 所以，2,83kk 因此，63,105,84kckbka 平面的方程为16108zyx 5已知两平面0112:xmyx与平面1:zymx相互垂直,求m的值 解：平面0112:zmyx，1,21mn 平面1:zymx，1,1,2 mn 与垂直，则1n2n，所以021nn 即012mm 所以31m 6取何值时直线0132012zyxzyx与x轴相交?-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-解：直线0132012zyxzyx与x轴相交，则交点坐标为0,0,x，代入直线方程为 01x （1）01x （2）（1）+（2）得01x，而原点0,0,0O不在直线上，故0 x，所以1,01