2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案.pdf

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1、-WORD 格式-可编辑-2019 年市高考数学试卷（理科）一、选择题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知复数2zi，则(z z )A3 B5 C3 D5 2执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A1 B2 C3 D4 3已知直线l的参数方程为13,(24xttyt 为参数），则点(1,0)到直线l的距离是()A15 B25 C45 D65 4已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则()A222ab B2234ab C2ab D34ab 5若x，y满足|1xy，且1y，则3xy的最大值为()A7 B1 C5 D7

2、 6在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足121252EmmlgE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk 已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A10.110 B10.1 C10.1lg D10.110 7设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是-WORD 格式-可编辑-“|ABACBC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1|C xyx y 就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过 6 个

3、整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是()A B C D 二、填空题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9函数2()sin 2f xx的最小正周期是 10设等差数列na的前n项和为nS，若23a ，510S ，则5a ，nS的最小值为 11某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示 如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为 -WORD 格式-可编辑-12已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；/m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个

4、论断作为结论，写出一个正确的命题：13 设函数()(xxf xeaea为常数）若()f x为奇函数，则a ；若()f x是R上的增函数，则a的取值 X 围是 14李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当10 x 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 三、解答

5、题 共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（13 分）在ABC中，3a，2bc，1cos2B （）求b，c的值；（）求sin()BC的值 16（14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，/ADBC，2PAADCD，3BC E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC（）求证：CD 平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且23PGPB 判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由-WORD 格式-可编辑-17（13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个

6、月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元)支付方式(0，1000(1000，2000 大于 2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这2人中上个月支付金额大于 1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A

7、的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 18（14 分）已知抛物线2:2C xpy 经过点(2,1)（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线1y 分别交直线OM，ON于点A和-WORD 格式-可编辑-点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 19（13 分）已知函数321()4f xxxx（）求曲线()yf x的斜率为l的切线方程；（）当 2x，4时，求证：6()xf xx；（）设()|

8、()()|()F xf xxaaR，记()F x在区间 2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值 20（13 分）已知数列na，从中选取第1i项、第2i项、第mi项12()miii，若12miiiaaa，则称新数列1ia，2ia，mia为na的长度为m的递增子列 规定：数列na的任意一项都是na的长度为 1 的递增子列（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列na的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na 若pq，求证：00mnaa；（）设无穷数列na的各项均为正整数，且任意两项均不相等若na的长度

9、为s的递增子列末项的最小值为21s，且长度为s末项为21s 的递增子列恰有12s个(1s，2，)，求数列na的通项公式-WORD 格式-可编辑-2019 年市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知复数2zi，则(z z )A3 B5 C3 D5【思路分析】直接由2|z zz求解【解析】：2zi，2222|(21)5z zz故选：D【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题 2执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A1 B2 C3 D4【思路分析】由已知中的程序语句可知

10、：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解析】：模拟程序的运行，可得 1k，1s 2s 不满足条件3k，执行循环体，2k，2s 不满足条件3k，执行循环体，3k，2s -WORD 格式-可编辑-此时，满足条件3k，退出循环，输出s的值为 2 故选：B【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 3已知直线l的参数方程为13,(24xttyt 为参数），则点(1,0)到直线l的距离是()A15 B25 C45 D65【思路分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直

11、线的距离公式求解【解析】：由13(24xttyt 为参数），消去t，可得4320 xy 则点(1,0)到直线l的距离是22|4 1302|654(3)d 故选：D【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题 4已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则()A222ab B2234ab C2ab D34ab【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222abc得答案【解析】：由题意，12ca，得2214ca，则22214aba，22244aba，即2234ab 故选：B【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题 5若x，y满足|1xy

12、，且1y，则3xy的最大值为()A7 B1 C5 D7【思路分析】由约束条件作出可行域，令3zxy，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案-WORD 格式-可编辑-【解析】：由|11xyy作出可行域如图，联立110yxy ，解得(2,1)A，令3zxy，化为3yxz，由图可知，当直线3yxz 过点A时，z有最大值为3215 故选：C【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 6在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足121252EmmlgE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk 已知太阳的星

13、等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A10.110 B10.1 C10.1lg D10.110【思路分析】把已知熟记代入121252EmmlgE，化简后利用对数的运算性质求解【解析】：设太阳的星等是126.7m ，天狼星的星等是21.45m ，由题意可得：1251.45(26.7)2ElgE，1250.510.15ElgE，则10.11210EE 故选：A【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题 7设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABACBC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 -WORD 格式-可编辑-C充分必要

14、条件 D既不充分也不必要条件【思路分析】“AB与AC的夹角为锐角”“|ABACBC”，“|ABACBC”“AB与AC的夹角为锐角”，由此能求出结果【解析】：点A，B，C不共线，“AB与AC的夹角为锐角”“|ABACBC”，“|ABACBC”“AB与AC的夹角为锐角”，设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABACBC”的充分必要条件 故选：C【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 8数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1|C xyx y 就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过

15、6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是()A B C D【思路分析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得【解析】：将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当0 x 时，代入得21y，1y，即曲线经过(0,1)，(0,1)；-WORD 格式-可编辑-当0 x 时，方程变为2210yxyx，所以224(1)0 xx，解得(0 x，2 33，所以x只能取整数 1，当1x 时，20yy，解得0y 或1y，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲

16、线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过 6 个整点，故正确 当0 x 时，由221xyxy 得222212xyxyxy，（当xy时取等），222xy，222xy，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故正确 在x轴上图形面积大于矩形面积1 22，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12 112，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故错误 故选：C 【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9函数2()sin 2f xx的最小正周期是 2 【思路

17、分析】用二倍角公式可得11()cos(4)22f xx，然后用周期公式求出周期即可【解析】：2()sin(2)f xx，11()cos(4)22f xx，()f x的周期2T，故答案为：2【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是-WORD 格式-可编辑-合理使用二倍角公式，属基础题 10设等差数列na的前n项和为nS，若23a ，510S ，则5a 0，nS的最小值为 【思路分析】利用等差数列na的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a ，1d，由此能求出5a的nS的最小值【解析】：设等差数列na的前n项和为nS，23a ，510S ，113545102adad ，解得14

18、a ，1d，51444 10aad ，21(1)(1)19814()22228nn nn nSnadnn，4n或5n 时，nS取最小值为4510SS 故答案为：0，10【归纳与总结】本题考查等差数列的第 5 项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 11某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示 如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为 40 【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解【解析】：由三视图还原原几何体如图，-WORD 格式-可编辑-该几何体是把棱长

19、为 4 的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积1422(24)24402V 故答案为：40【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 12已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；/m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若l，lm，则/m 【思路分析】由l，m是平面外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l，lm，则/m【解析】：由l，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l，lm，则/m故答案为：若l，lm，则/m【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线

20、面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 13设函数()(xxf xeaea为常数）若()f x为奇函数，则a 1；若()f x是R上的增函数，则a的取值 X 围是 【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得()()fxf x，即()xxxxeaeeae，变形可得分析可得a的值，即可得答案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关-WORD 格式-可编辑-系分析可得()f x的导数()0 xxfxeae在R上恒成立，变形可得：2xa e恒成立，据此分析可得答案【解析】：根据题意，函数()xxf xeae，若()f x为奇函数，则()()fxf x，即()x

21、xxxeaeeae，变形可得1a ，函数()xxf xeae，导数()xxfxeae 若()f x是R上的增函数，则()f x的导数()0 xxfxeae在R上恒成立，变形可得：2xa e恒成立，分析可得0a，即a的取值 X 围为(，0；故答案为：1，(，0【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题 14李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元 每笔订单

22、顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当10 x 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 130 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 【思路分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为m元，可得()80%70%mxm，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值【解析】：当10 x 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，可得6080140（元)，即有顾客需要支付14010130（元)；-WORD 格式-可编辑-在促销活动中，设订单总金额为m元，可得()80%70%mxm，即有8mx，由题意可

23、得120m，可得120158x，则x的最大值为 15 元 故答案为：130，15【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（13 分）在ABC中，3a，2bc，1cos2B （）求b，c的值；（）求sin()BC的值【思路分析】（）利用余弦定理可得2222cosbacacB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（）sin()sincoscossinBCBCBC，根据正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解【解析】：（）3a，2bc，1cos2B 由余弦定理

24、，得2222cosbacacB219(2)23(2)()2bb ，7b，25cb；（）在ABC中，1cos2B ，3sin2B，由正弦定理有：sinsincbCB，35sin5 32sin714cBCb，bc，BC，C为锐角，11cos14C，sin()sincoscossinBCBCBC31115 3()214214 4 37【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正-WORD 格式-可编辑-弦公式，属基础题 16（14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，/ADBC，2PAADCD，3BC E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC（）求证：CD 平面

25、PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且23PGPB 判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由 【思路分析】（）推导出PACD，ADCD，由此能证明CD 平面PAD（）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FAEP的余弦值 （）求出4(3AG，0，2)3，平面AEF的法向量(1m，1，1)，4220333m AG，从而直线AG不在平面AEF内【解答】证明：（）PA 平面ABCD，PACD，ADCD，PAADA，CD平面PAD 解：（）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为

26、y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，(0A，0，0)，(1E，0，1)，2(3F，23，4)3，(0P，0，2)，(1AE，0，1)，2 2 4(,)3 3 3AF，平面AEP的法向量(1n，0，0)，-WORD 格式-可编辑-设平面AEF的法向量(mx，y，)z，则02240333m AExzm AFxyz，取1x，得(1m，1，1)，设二面角FAEP的平面角为，则|13cos|33m nmn 二面角FAEP的余弦值为33（）直线AG不在平面AEF内，理由如下：点G在PB上，且23PGPB4(3G，0，2)3，4(3AG，0，2)3，平面AEF的法向量(1m，1，1)，4220333m A

27、G，故直线AG不在平面AEF内 【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 17（13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：-WORD 格式-可编辑-支付金额（元)支付方式(0，1000(1000，2000 大于

28、2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这2人中上个月支付金额大于 1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由【思路分析】（）从全校所有的 1000 名学生中随机抽取的 100 人中，A

29、，B两种支付方式都不使用的有 5 人，仅使用A的有 30 人，仅使用B的有 25 人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有 40 人，由此能求出从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率（）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这2人中上个月支付金额大于 1000元的人数，则X的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望()E X（）从样本仅使用A的学生有 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月支付金额大于 2000 元，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000

30、 元的概率为3333014060CpC，不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付-WORD 格式-可编辑-金额大于 2000 元的人数有变化【解析】：（）由题意得：从全校所有的 1000 名学生中随机抽取的 100 人中，A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，仅使用A的有 30 人，仅使用B的有 25 人，A，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540，从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率400.4100p （）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，则X的可能取值为 0，

31、1，2，样本仅使用A的学生有 30 人，其中支付金额在(0，1000的有18 人，超过 1000 元的有 12 人，样本仅使用B的学生有 25 人，其中支付金额在(0，1000的有10 人，超过 1000 元的有 15 人，18101806(0)302575025P X，1815121039013(1)3025302575025P X，12151806(2)302575025P X，X的分布列为：X 0 1 2 P 625 1325 625 数学期望6136()0121252525E X （）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有

32、 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月支付金额大于 2000 元，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元的-WORD 格式-可编辑-概率为3333014060CpC，虽然概率较小，但发生的可能性为14060 故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题 18（14 分）已知抛物线2:2C xpy 经过点(2,1)（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过

33、抛物线C的焦点作斜率不为 0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线1y 分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【思路分析】（）代入点(2,1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（）抛物线24xy 的焦点为(0,1)F，设直线方程为1ykx，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令0 x，解方程，即可得到所求定点【解析】：（）抛物线2:2C xpy 经过点(2,1)可得42p，即2p，可得抛物线C的方程为24xy，准线方程为1y；（）证明：抛物线24xy 的焦点为(0,1)F，设直线方程为1y

34、kx，联立抛物线方程，可得2440 xkx，设1(M x，1)y，2(N x，2)y，可得124xxk，124x x ，直线OM的方程为11yyxx，即14xyx，直线ON的方程为22yyxx，即24xyx，可得14(Ax，1)，24(Bx，1)，-WORD 格式-可编辑-可得AB的中点的横坐标为121142()224kkxx，即有AB为直径的圆心为(2,1)k，半径为2212|1441616|22 1224ABkkxx，可得圆的方程为222(2)(1)4(1)xkyk，化为224(1)4xkxy，由0 x，可得1y 或3 则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,3)【归纳与总

35、结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题 19（13 分）已知函数321()4f xxxx（）求曲线()yf x的斜率为l的切线方程；（）当 2x，4时，求证：6()xf xx；（）设()|()()|()F xf xxaaR，记()F x在区间 2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值【思路分析】（）求导数()fx，由()1fx求得切点，即可得点斜式方程；（）把所证不等式转化为6()0f xx，再令()()g xf xx，利用导数研究()g x在 2，4的单调性和极值点即可得证；（）先把()F

36、 x化为|()|g xa，再利用（）的结论，引进函数()|h tta，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴ta与3的关系分析即可【解析】：（）23()214fxxx，由()1fx得8()03x x，得1280,3xx 又(0)0f，88()327f，yx和88273yx，-WORD 格式-可编辑-即yx和6427yx；（）证明：欲证6()xf xx，只需证6()0f xx，令321()()4g xf xxxx，2x，4，则2338()2()443g xxxx x，可知()g x在 2，0为正，在8(0,)3为负，在8,43为正，()g x在 2，0递增，在0，83递减，在8,43递增，又

37、(2)6g ，(0)0g，864()6327g ，g（4）0，6()0g x，6()xf xx；（）由（）可得，()|()()|F xf xxa|()|f xxa|()|g xa 在 2，4上，6()0g x，令()tg x，()|h tta，则问题转化为当 6t，0时，()h t的最大值M（a）的问题了，当3a时，M（a）(0)|haa，此时3a，当3a 时，M（a）取得最小值 3；当3a时，M（a）(6)|6|6|haa ，63a，M（a）6a，也是3a 时，M（a）最小为 3-WORD 格式-可编辑-综上，当M（a）取最小值时a的值为3【归纳与总结】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化

38、法，数形结合法等，难度较大 20（13 分）已知数列na，从中选取第1i项、第2i项、第mi项12()miii，若12miiiaaa，则称新数列1ia，2ia，mia为na的长度为m的递增子列 规定：数列na的任意一项都是na的长度为 1 的递增子列（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列na的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na 若pq，求证：00mnaa；（）设无穷数列na的各项均为正整数，且任意两项均不相等若na的长度为s的递增子列末项的最小值为21s，且长度为s末项为21s 的递增子列恰有12s个

39、(1s，2，)，求数列na的通项公式【思路分析】()1I，3，5，6答案不唯一()II考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p的一个递增子列，可得0na该数列的第p项0ma，即可证明结论()III考虑21s 与2s这一组数在数列中的位置若na中有2s，在2s在21s 之后，则必然在长度为1s，且末项为2s的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为21s 矛盾，可得2s必在21s 之前 继续考虑末项为21s 的长度为1s 的递增子列 因此对于数列21n，2n，由于2n在21n 之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n与21n，即可得出：递增子列最多有2s个 由题意，这s组数列对全部存

40、在于原数列中，并且全在21s 之前可得 2，1，4，3，6，5，是唯一构造【解析】：()1I，3，5，6()II证明：考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p-WORD 格式-可编辑-的一个递增子列，0na该数列的第p项0ma，00mnaa()III解：考虑21s 与2s这一组数在数列中的位置 若na中有2s，在2s在21s 之后，则必然在长度为1s，且末项为2s的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为21s 矛盾，2s必在21s 之前 继续考虑末项为21s 的长度为1s 的递增子列 对于数列21n，2n，由于2n在21n 之前，研究递增子列时，不可同时取2n与21n，对于 1

41、至2s的所有整数，研究长度为1s 的递增子列时，第1 项是 1 与 2 二选 1，第 2 项是 3 与 4 二选 1，第s项是21s 与2s二选 1，故递增子列最多有2s个由题意，这s组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s 之前 2，1，4，3，6，5，是唯一构造 即221kak，212kak，*kN【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题 高中数学教研微信系列群简介：目前有 6 个群，共 2000 多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.-WORD 格式-可编辑-宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究写作发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实 XX，如：XXXXX 三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实 XX 欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图