向量组的线性相关性(1).ppt

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1、第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性第一节第一节n维向量维向量定定义义1 1 n n个个有有顺顺序序的的数数a a1 1,a a2 2,a a n n所所组组成成的有序数组的有序数组 （a a1 1,a,a2 2,a,a n n）称为称为n n维向量维向量。数。数a a1 1,a,a2 2,a,an n叫做向量叫做向量的分量，的分量，a ai i称为向量称为向量的第的第i i个分量。若一个向量的分量都为个分量。若一个向量的分量都为实数，则称此向量为实向量；若向量的分量为复数，实数，则称此向量为实向量；若向量的分量为复数，则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一般我则称此向量为复向量

2、。本章只讨论实向量。一般我们用小写黑体字母们用小写黑体字母,，或带箭头的小写或带箭头的小写字母字母 表示向量。表示向量。当当n n维维向向量量记记为为（a a1 1,a a2 2,a a n n）时时，称称它它为为n n维维行行向向量量。行行向向量量其其实实就就是是行行矩矩阵。当阵。当n n维向量维向量记为记为 此此时时，称称为为n n维维列列向向量量。列列向向量量其其实实就就是是列列矩矩阵。阵。行向量和列向量可以通过转置运算互换。行向量和列向量可以通过转置运算互换。若单就向量的概念而言，它强调的是若单就向量的概念而言，它强调的是n n个数排个数排成的有序数组，它可以排成行向量的形式，也成的有

3、序数组，它可以排成行向量的形式，也可以排成列向量的形式。可以排成列向量的形式。当对向量进行运算时，我们实际上是把行当对向量进行运算时，我们实际上是把行向量和列向量分别看成是行矩阵和列矩阵来进向量和列向量分别看成是行矩阵和列矩阵来进行运算的，因此这时行运算的，因此这时和它的转置向量和它的转置向量T T是两是两个不同的向量。行向量即行矩阵，列向量即列个不同的向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩阵。矩阵。对于一个对于一个m m行行n n列的矩阵列的矩阵A A，它的每一行都它的每一行都是一个是一个n n维向量，而其每一列都是一个维向量，而其每一列都是一个m m维向量，维向量，我们分别称之为我们分别称之为

4、A A的行向量和列向量。的行向量和列向量。注意注意：n n维向量作为维向量作为3 3维向量的直接推广维向量的直接推广,有很多性质是和有很多性质是和3 3维向量类似的。但是，三维维向量类似的。但是，三维向量可以用空间中的有向线段直观地表示出来，向量可以用空间中的有向线段直观地表示出来，而而n n维向量（当维向量（当n 3n 3时）就没有这种直观的几时）就没有这种直观的几何意义了，只是沿用几何的术语而也。以后大何意义了，只是沿用几何的术语而也。以后大家在学习家在学习n n维向量的性质时，如果要分析其几维向量的性质时，如果要分析其几何意义，那么最好是回到三维的情形来思考。何意义，那么最好是回到三维的

5、情形来思考。定义定义2 2 设设（a a1 1,a,a2 2,a,an n）,（b b1 1,b b2 2,b,bn n）是两个是两个n n维向量，如果这两个向量的对维向量，如果这两个向量的对应分量相等，即应分量相等，即 a aj jb bj j,(j,(j1,2,1,2,，n)n)则称则称。分量全为。分量全为0 0的向量称为零向量，记为的向量称为零向量，记为0 0。定义定义3 3 设设（a a1 1,a,a2 2,a,an n），），（b b1 1,b,b2 2,b,bn n）是两个）是两个n n维向量，维向量，是一是一个实数，则个实数，则:（1 1）向向量量（a a1 1+b b1 1,a

6、 a2 2+b b2 2,a an n+b bn n）称为向量称为向量，的和，记为的和，记为。即。即 （a a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,an n+b+bn n）。）。（2 2）向向量量（aa1 1,aa2 2,aan n）称称为为数数与与向向量量的乘积，记为的乘积，记为或或，即即 （aa1 1,aa2 2,aan n）。）。（3 3）向向量量（a a1 1,a a2 2,a an n）称称为为向向量量的的负负向向量，记为量，记为，即，即:（a a1 1,a a2 2,a an n）。）。求向量的和向量的运算称为求向量的和向量的运算称为向量加法向量加法，求数与向，求数

7、与向量的乘积运算称为量的乘积运算称为向量乘数或向量的数乘向量乘数或向量的数乘。向量的加。向量的加法和向量的数乘运算统称为法和向量的数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算。设设，为三个为三个n维向量，维向量，和和为两个实数，则：为两个实数，则：（I）；（II（）（）；）；（III）0；（IV）（）0;（V）1；（VI）()()；（VII）()；（VIII）()。上述八条规律中，（上述八条规律中，（I），（），（II）是向量加法的交换律和结合是向量加法的交换律和结合律律；规律（；规律（III），（），（IV）是保证加法有逆运算；（是保证加法有逆运算；（V）保证保证非零数乘有逆运算；（非零数乘有逆运算；（VI）（）（VIII）是数乘运算的结合律是数乘运算的结合律和分配律。把满足上述八条规律的运算称为和分配律。把满足上述八条规律的运算称为线性运算线性运算。