第18课 正定二次型精.ppt

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1、第第18课课 正定二次型正定二次型第1页，本讲稿共13页什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价的二次型有相同的秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价.例如 与 不可能等价.因为不存在可逆矩阵 C 满足因为第2页，本讲稿共13页惯性定理惯性定理惯性定理惯性定理(P196 定理6.3.1)在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。保持不变。或者说二

2、次型的规范形是唯一。二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型设二次型 f 的秩为的秩为 r,正惯性指数为正惯性指数为 p,则则负惯性指为负惯性指为 r p.f 的规范形为的规范形为 惯性定理指出惯性定理指出惯性定理指出惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。和正惯性指数唯一确定。第3页，本讲稿共13页 如果如果 n 维的二次型维的二次型 f(x)=xTAx 其标准形系数全为正，则称之为其标准形系数全为正，则称之为正定二次型正定二次型，二次型的矩阵，二次型的矩阵 A 称为称为正定矩阵正定矩阵；如果标

3、准形中系数全为负，；如果标准形中系数全为负，则称之为则称之为负定二次型负定二次型，二次型的矩阵称为，二次型的矩阵称为负定矩阵负定矩阵。定义定义定义定义化标准形化规范形正定二次型为 正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。阵合同的对称矩阵。阵合同的对称矩阵。阵合同的对称矩阵。显然，如果显然，如果 f 负定，则负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二次型正定，以后只需讨论正定二次型(正正定矩阵定矩阵)。第4页，本讲稿共13页

4、定理定理定理定理 二次型二次型二次型二次型 f f(x x)=)=x xT TAxAx 正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意x x00，都有都有都有都有 f f(x x)=)=x xT TAxAx 0 0.(注：书上以后者为定义注：书上以后者为定义)证 设必要性：设 f 正定，即对任意对任意x0，则，则 ，故，故充分性：反证。如果有某个 ，取,与 矛盾。第5页，本讲稿共13页定理定理定理定理(霍尔维茨定理)对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即第6页，本讲稿共13页判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式故上述

5、二次型是正定的故上述二次型是正定的.例1f 的矩阵为解解第7页，本讲稿共13页例2解解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值求得其特征值第8页，本讲稿共13页判别二次型的正定性.例3解解二次型的矩阵它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别或者，判别 为正定为正定.第9页，本讲稿共13页例4与矩阵 合同的矩阵是()A特征值是两正一负。第10页，本讲稿共13页是正定二次型？是正定二次型？解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为A的顺序主子式为：的顺序主子式为：所以当所以当例例5 5 问问t 满足什么条件时，二次型满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于的顺序主子式全大于0 0，此时，此时 f 正定。正定。第11页，本讲稿共13页例6设 是正定矩阵,证明第12页，本讲稿共13页例7为A的最大特征值。证明：二次型 f(x)=xTAx 在 时的最大值第13页，本讲稿共13页