三次样条插值 (2)优秀PPT.ppt

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1、三次样条插值第1页，本讲稿共13页三次样条函数的定义三次样条函数的定义这样的函数称为三次样条函数这样的函数称为三次样条函数/cubic polynomial/第2页，本讲稿共13页注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本插值的根本区别在于区别在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导的导数值（除了在数值（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数在所有插值点的导数值。值。f(x)H(x)S(x)第3页，本讲稿共13页问题的分析问题的分析第4页，本讲稿共13页 构造三次样条插值函数的构造三次

2、样条插值函数的三弯矩法三弯矩法 /method of bending moment/在在 上，记上，记,for )()(1jjjxxxxSxS =对每个对每个j,此为此为3次多项式次多项式则则 Sj”(x)为为 次多项式，需次多项式，需 个点的值确定之。个点的值确定之。12设设 Sj”(xj 1)=Mj 1，Sj”(xj)=Mj 对应力学中的对应力学中的梁弯矩梁弯矩，故名，故名对于对于x xj 1,xj 可可得到得到Sj”(x)=jjjjjjhxxMhxxM11 +积分积分2次，可得次，可得 Sj(x)和和 Sj(x)：jjjjjjjAhxxMhxxM+2)(2)(21121Sj(x)=jjj

3、jjjjjBxAhxxMhxxM+6)(6)(3131Sj(x)=利用已知利用已知Sj(xj 1)=yj 1 Sj(xj)=yj 可解可解第5页，本讲稿共13页jjjjjjjhMMhyyA611 =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6(+=+，利用，利用S 在在 xj 的的连续性连续性xj 1,xj:Sj(x)=jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121 +1111211216,2)(2)(+jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxMxj,xj+1:Sj+1(x)=利用利用Sj(xj)=Sj+1(xj)，合并关于

4、，合并关于Mj 1、Mj、Mj+1的同类项，并记的同类项，并记 ,整理后得到：整理后得到：11jjjjhhh+=1jj-=),(6111jjjjjjjxxfxxfhhg-+-+=211gj=6fxj-1,xj,xj+1MMMjjjjj=+-j 1n 1即：有即：有 个未知数，个未知数，个方程。个方程。n 1n+1还需还需2个个边界条件边界条件/boundary conditions/第6页，本讲稿共13页 第第1类边条件类边条件/clamped boundary/：S(a)=y0，S(b)=yna,x1:S1(x)=1011012112106,2)(2)(hMMxxfhaxMhxxM +010

5、110),(62gy0 xxfhMM=+nnnnnngxxfynhMM=+),(6211类似地利用类似地利用 xn 1,b 上的上的 Sn(x)第第2类边条件：类边条件：S”(a)=y0”=M0，S”(b)=yn”=Mn这时：这时：特别地，特别地，M0=Mn=0 称为称为自由边界自由边界/free boundary/，对应的样条函数称为对应的样条函数称为自然样条自然样条/Natural Spline/。第第3类边条件类边条件/periodic boundary/：当当 f 为为周期函数周期函数时，时，yn=y0，S(a+)=S(b)M0=Mn 第7页，本讲稿共13页注：注：另有另有三转角法三转

6、角法得到样条函数，即设得到样条函数，即设 Sj(xj)=mj，则易，则易知知xj 1,xj 上的上的Sj(x)就是就是Hermite函数函数。再利用。再利用S”的的连续性，可导出关于连续性，可导出关于mj 的方程组，加上边界条件即可的方程组，加上边界条件即可解。解。Cubic Spline 由由boundary conditions 唯一唯一确定。确定。收敛性：收敛性：若若 ，且，且 ，则，则一致一致S(x)f(x)即即:提高精度只须提高精度只须增加节点增加节点,而无须提高样条阶数。而无须提高样条阶数。稳定性：稳定性：只要边条件保证只要边条件保证|0|,|0|,|n|,|n|2，则方程，则方程

7、组系数阵为组系数阵为严格对角占优阵严格对角占优阵，保证数值稳定。保证数值稳定。第8页，本讲稿共13页 求样条插值函数的一般步骤求样条插值函数的一般步骤 计算计算 j,j,gj;计算计算 Mj (追赶法等追赶法等);找到找到 x 所在区间所在区间(即找到相应的即找到相应的 j);由该区间上的由该区间上的 Sj(x)算出算出 f(x)的近似值。的近似值。插值法小结插值法小结 Lagrange:给出给出 y0 yn，选基函数，选基函数 li(x)，其次数为，其次数为 节点数节点数 1。Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点时只是形式不同；节点等距或渐增节点时方便处理。方便处理。H

8、ermite：给出给出 yi 及及 yi，选，选 hi(x)及及 hi(x)。Spline：分段低次：分段低次,自身光滑自身光滑,f 的导数只在边界给出。的导数只在边界给出。第9页，本讲稿共13页例例.已知的函数值如下：已知的函数值如下：x 1 2 4 5x 1 2 4 5 f(x)1 3 4 2 f(x)1 3 4 2在区间在区间 1,51,5 上求三次样条插值函数上求三次样条插值函数S(x),S(x),使它满足边界使它满足边界条件条件 解解:这是在第二种边界条件下的插值问题，由已知边界这是在第二种边界条件下的插值问题，由已知边界条件条件,有有则得求解则得求解 的方程组为的方程组为 第10页，本讲稿共13页根据给定数据和边界条件算出根据给定数据和边界条件算出 与与 则得方程组则得方程组 可用均差表计算可用均差表计算第11页，本讲稿共13页解得解得 又又 即得即得S(x)S(x)在各子区间上的表达式在各子区间上的表达式S(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为代入代入将将 代入上式化简后得代入上式化简后得 同理同理S(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为 第12页，本讲稿共13页S(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为 故所求的三次样条插值函数故所求的三次样条插值函数S(x)S(x)在区间在区间上的表达式为上的表达式为 第13页，本讲稿共13页