教育专题：垂径定理 (3).ppt

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1、 它是它是13001300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对弧所对的弦的长的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?1.13001.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4

2、37.4 m,m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.27.2m,m,求求桥拱的半径桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).RDOABC37.4m7.2m 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是圆是轴对称轴对称图形，任何一条图形，任何一条直径直径所所在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=

3、BM,AB是是 O的一条弦的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.作作直径直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?发现图中有发现图中有:ABCDM由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理如图如图,理由是理由是:连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称

4、对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理定理 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦弦,并且平分并且平分 111弦所对的两条弦所对的两条弧弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.CDAB,AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的与同伴说说你的想法和理由想法和理由.过点过点M作直径作直径CD.O下图是轴对称

5、图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CD由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD.MAB如图如图,小明的理由是小明的理由是:连接连接OA,OB,OA,OB,垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理OABCDM则则OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAMOBM.AMO=BMO.CDABO关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.平分平分弦（不是直径）的直

6、径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦弦,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AC=BC,AD=BD.平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦弦,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.AM=BM,1.13001.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.437.4 m,m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.27.2m,m,求求桥拱的半径

7、桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).RDOABC37.4m7.2m例例1 1：如图，已知在：如图，已知在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8厘米，圆心厘米，圆心O O到到ABAB的距离的距离为为3 3厘米，求厘米，求O O的半径。的半径。解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的的半径为半径为5厘米厘米。.AEBO例例2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心的两个同心圆中，大圆的弦AB交

8、小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 1.13001.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.437.4 m,m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.27.2m,m,求求桥拱的半径桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).RDOABC37.4m7.2m