输入输出模型与传递函数精.ppt

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1、输入输出模型与传递函数第1页，本讲稿共19页系统的数学模型系统的数学模型 描述系统的输入与输出之间变化关系的式子。对于一个线性系统，其数学模型一般用一个线性常系数微分方程来表示。左图 所示为一机械系统示意图。此系统由弹簧、质量和阻尼器组成。系统的输入量为外力 ，输出量为质量的位移 。由牛顿定律，其中 为质量；为位移加速度；为作用于 上的力，包括外力 、弹簧的恢复力 ,和与速度 成正比的阻力 。由此得出 与 所满足的微分方程为：显然它是一个常系数微分方程。第2页，本讲稿共19页今后我们所研究的系统，通常都可用如下的一个线性常微分方程来描述：其中第3页，本讲稿共19页线性系统及其特性线性系统及其特

2、性 线性系统满足叠加原理。叠加原理有两重含义：可加性与齐次性。齐次性可加性第4页，本讲稿共19页叠加原理表明叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和（可加性可加性），且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。（齐次性齐次性）因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。第5页，本讲稿共19页2.2 线性系统的传递函数与卷积定理对线性系统输入输出方程两边求拉氏变换

3、得：其中：（1）第6页，本讲稿共19页简记（1）式为：和 都是由初值所确定的。由于这些初始值有很大的随意性，与系统的本性无关，因此可令它们全为零，即所以在零初始条件下，与 之间满足其中称 为系统（1）的传递函数传递函数由传递函数的定义可知，微分方程和其传递函数是一一对应的，而且从其中任一形式能方便地写出另一形式。第7页，本讲稿共19页例1写出 的传递函数。写出 对应的微分方程。1)2)解:1)两边取拉氏变换,并利用零初始条件得:得2)第8页，本讲稿共19页由于 L -1 =1肪冲响应肪冲响应在零初始条件下,线性系统对单位脉冲输入信号的输出响应,称为该系统的肪冲响应.这表明,传递函数的拉氏逆变换

4、即为系统的脉冲响应(用 表示).即:L -1 线性系统的传递函数与其脉冲响应就系统的外部动态特性来说,它们包含的信息是相同的.反映在时间域上,就是:卷积定理卷积定理在零初始条件下,系统的任一输入 与相应的输出 之间有如下关系:由拉氏变换的卷积公式很容易得到这个结果.(2)具体使用(2)式时,必须注意是否满足零初始条件这一前提。其中 的零初始条件可认为成立（系统从静止状态开始）；而 是一给定信号，不一定满足 但m=1时，（1）式的解与 的初值无关，否则，必须有上述 的初值为零作为(2)式成立的保证。第9页，本讲稿共19页阶跃响应阶跃响应即系统(1)由静止开始,由单位价跃输入相对应的输出响应，记为

5、由于 L -1 =1/s当系统（1）中m=1,有：或故得：（3）若以 直接代入卷积公式（2），得：（4）（3）、（4）即为脉冲响应与阶跃响应间的关系式。如果因 ，上述关系一般不成立。由（2）知，知道了 ,则系统的动态行为特征就清楚了。但对于很多惯性大而灵敏度小的系统，直接进行脉冲响应测试是较困难的。这时可改而进行阶跃响应测试。由于阶跃输入作用是持久存在的，所以较易得到 。然后利用关系式(3),就可间接得到第10页，本讲稿共19页Example设一系统的输入设一系统的输入输出微分方程为输出微分方程为1）求其脉冲响应 ;2）当 时，求与之对应的输出 。解 1)系统的传递函数为：所以L -1 L -

6、1 =第11页，本讲稿共19页2）由于 卷积定理的条件满足。在的假设下，得：如何求本例的阶跃响应？第12页，本讲稿共19页所以无法用卷积公式。在两侧取拉氏变换得：在 的假设下，并将 代入，上式变为 L -1 =L -1 第13页，本讲稿共19页2.3 组合系统的传递函数一个系统往往由两个或两个以上子系统按某种方式连接而成，称之为组合系统。组合方式有串联、并联和反馈三种连接方式。串联组合串联组合设两个系统的传递函数分别为如图所示,子系统 和 串联连接。子系统 的输出 作为子系统 的输入;子系统 的输入 和子系统 的输出 分别是整个组合系统的输入和输出。虚线框内是串联组合系统.第14页，本讲稿共1

7、9页由于因此，组合系统的传递函数为一般地，如图所示的由 个子系统串联而成的组合系统的传递函数为第15页，本讲稿共19页并联组合并联组合图示为一并联组合系统。同时输入作用于 和 ,分别得输出响应 和 。它们的和 为组合系统的输出。由于所以即并联组合系统传递函数为一般地，由 个子系统 并联组成的组合系统传递函数为：第16页，本讲稿共19页反馈组合反馈组合如图为反馈组合。为前向子系统，为反馈子系统。由于得所以（负）反馈组合系统传递函数为：第17页，本讲稿共19页Example如图,求此反馈系统的:1)脉冲响应;2)阶跃响应;3)的响应.第18页，本讲稿共19页解:1)脉冲响应L -1 =L -1 =L -1 =2)由于m=0,所以由卷积定理,阶跃响应第19页，本讲稿共19页