极限的定义.ppt

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1、第一节第一节 极限的定义极限的定义第二节第二节极限的运算极限的运算第三节第三节 函数的连续性函数的连续性一、一、函数的极限函数的极限 二、二、数列的极限数列的极限 三、三、极限的性质极限的性质四、四、极限的几点说明极限的几点说明 五、五、无穷小量无穷小量 六、六、无穷大量无穷大量 第一节第一节 极限的定义极限的定义 第一节第一节 极限的定义极限的定义图图 图图O1-1(1,2)xyf(x)=x+1一、函数的极限一、函数的极限 例例4 4 讨论当讨论当 x 时，函数时，函数 y=arccotx 的的极限极限 解解 如图所示如图所示虽然都存在，但它们不相等，所以虽然都存在，但它们不相等，所以不存在

2、。不存在。01考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度影子长度越来越短，当人越来越接近）时，其影子的长度越来越短，逐渐趋于0（）。为H。由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其目标（练习练习 人影长度人影长度 练习练习 人影长度的极限分析人影长度的极限分析 即 设H为路灯的高度，h为人的高度，x为人离目标的距离。由解出人影高度为，其中是常数，当人越来越接近路灯的目标（）时，显然，人影高度2 2 数列的极限数列的极限二、数列的极限二、数列的极限 3.3.数列极限存在定理数列极限存在定理三、极限的性质三、极限的性质四、极限概念的几点说明四、极限概

3、念的几点说明几点说明几点说明:1.变量前加记号变量前加记号lim,表示对这个变量进行极限运算表示对这个变量进行极限运算,若变量的极限存在若变量的极限存在,所指的不在是这个变量本身而是所指的不在是这个变量本身而是它的极限它的极限,即变量无限接近的哪个值即变量无限接近的哪个值.2.在极限在极限x趋于趋于 过程中考察过程中考察f(xf(x)时时,我们只要求我们只要求x充分充分接近接近 时时f(x)存在存在.4.常函数的极限是它本身常函数的极限是它本身.练习练习 弹球模型弹球模型 一只球从100米的高空掉下，每次弹回的高度为，这样下去，用球第上次高度的 次的高度来表示球的运动规律，则得数列从数列的变化

4、趋势可以看出，随着次数n的无限增大，数列无限接近于0，即 练习练习 存款分析存款分析 若某人有本金A元，银行存款的年利率为r，不考虑个人所得税试建立此人n年末的本利和数列，并分析此数列的极限，解释其实际意义 解 n年末的本利和为 其实际意义为：存款时间越长，本利和越大，当存款时间无限长时，本利和也无限增大 六、无穷大量六、无穷大量 练习练习 游戏销售游戏销售 销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数(1)请计算游戏推出后第6个月、第12(2)如果要对该产品的长期销售做出当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内为月份。关系为，个月和第三年的销售量.预测，请建立相应的表达式.无穷大与无穷小的应用无穷大

5、与无穷小的应用解(1)8.8235 9.83615.1576即无穷大的倒数为无穷小(2)从上面的数据可以看出，随着时间的推移，游戏.人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的时的销售量.该产品的长期销售应为时间 上式说明当时间时，销售量的极限为0，即一、函数的极限一、函数的极限(六个定义六个定义,两个定理两个定理)*二、数列的极限二、数列的极限(一个定义一个定义,一个定理一个定理)三、极限的性质三、极限的性质(四个性质四个性质,一个推论一个推论)四、极限的几点说明四、极限的几点说明(四点说明四点说明)五、无穷小量五、无穷小量(一个定义一个定义,三个定理三个定理,两个推论两个推论)*六、无穷大量

6、六、无穷大量 (一个定义一个定义,一个定理一个定理)作业作业习题二习题二 1,2,，问题问题1 如果如果 存在，那么函数存在，那么函数在点在点处是否一定有定义处是否一定有定义?解答解答:不一定有定义不一定有定义;因为因为表示表示x无限接近无限接近 而而不等于不等于故故与与f(x)在点在点 有无定义无关有无定义无关复习书上的例复习书上的例1,例例2加深加深定理定理1的理解的理解此题是对定义此题是对定义1 1的进一步说明的进一步说明问题问题2 是否正确，为什么是否正确，为什么?解答解答:不正确不正确因为因为所以所以又因为又因为所以所以(后面证明用途很大后面证明用途很大)今天要的讲极限运今天要的讲极

7、限运算法则的特殊形式算法则的特殊形式一、一、极限运算法则极限运算法则二、二、两个重要极限两个重要极限三、三、无穷小的比较无穷小的比较一、极限运算法则一、极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例可推广到有限个变量及其特例g(x)=C时时根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得得 思考题思考题二、两个重要极限二、两个重要极限解解解解1234510100100010000.22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718或或三、无穷小的比较三、无穷小的比较 证证补充证明补充证明证明证明:令令则则自己证明自

8、己证明补充证明补充证明证明证明:因原式等于因原式等于自己证明自己证明提示提示:设设后面还要证明后面还要证明 补补充充1设 问为何值时,存在，并求此极限值.当为何值时，在的极限存在.补补充充2设补充补充2 2 解解:由于函数在分段点处，两边的表达式不同，由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限,于是，于是，有有为使为使存在，必须有存在，必须有=因此因此 ，当，当a=1 a=1 时时，存在且存在且=1极限运算法则极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例可推广到有限个变量及其特例g(x)=

9、C时时两个重要极限两个重要极限或或无穷小的比较无穷小的比较 一、一、函数的连续性定义函数的连续性定义 二、二、初等函数的连续性初等函数的连续性三、三、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 连连续续性性是是自自然然界界中中各各种种物物态态连连续续变变化化的的数数学学体体现现，这这方方面面实实例例可可以以举举出出很很多多，如如水水的的连连续续流流动动、身身高高的的连续增长等连续增长等 第三节第三节 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性定义一、函数的连续性定义1 1 初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 求求初

10、初等等函函数数的的连连续续区区间间就就是是求求其其定定义义区区间间关关于于分分段段函函数数的的连连续续性性，除除按按上上述述结结论论考考虑虑每每一一段段函函数数的的连连续续性性外，还必须讨论分界点处的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性 2 2 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 判断函数连续性的方法判断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性多指分段函数在分段处的连续性 例例 讨论函数讨论函数 在点在点处的连续性处的连续性

11、解解 由于函数在分段点由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点要考虑在分段点处的左极限与右极限处的左极限与右极限因而有因而有 即即而而由函数在一点连续的充要条件知由函数在一点连续的充要条件知处连续处连续 3 3 复合函数求极限的方法复合函数求极限的方法定理定理2 2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质思考题思考题第二章第二章 极限与连续极限与连续 一、本章提要一、本章提要 1.1.基本概念基本概念 函数的极限，左极限，右极限，函数的极限，左极限，右极

12、限，数列的极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点第二类间断点.2.基本公式基本公式（代表同一变量).两种形式两种形式注意能求的极限形式注意能求的极限形式 3.3.基本方法基本方法*利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限；利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限；利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限；利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；利用分子、分母消去共同的非零

13、公因子利用分子、分母消去共同的非零公因子求求 形式的极限；形式的极限；利用分子，分母同除以自变量的利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求最高次幂求 形式的极限；形式的极限；利用连续函数的函数符号与极限符号利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；可交换次序的特性求极限；利用利用“无穷小与有界函数之积无穷小与有界函数之积仍为无穷小量仍为无穷小量”求极限求极限.4.4.定理定理 左右极限与极限的关系，左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性极限的保号性,极限的四则运算法则，极限与无穷小的关极限的四则运算法则，极限与

14、无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的性质性质.二、学法建议二、学法建议1本章的重点是本章的重点是极限的求法极限的求法及及函数在一点的连续函数在一点的连续的概念，的概念，特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习2本章概念较多，且互相联系，本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界例

15、如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大无穷大,极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系3要深刻理解在一点的连续概念，要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续即极限值等于函数值才连续千万不要求到极限存在就下连续的结论千万不要求到极限存在就下连续的结论;特别注意判断分段函数在分段点的连续性特别注意判断分段函数在分段点的连续性 三、例题精解三、例题精解 例例1 求下列极限:(1)(2)(3)(4)(5)四、主要解

16、题方法四、主要解题方法求函数极限方法求函数极限方法*1.利用极限存在的充分必要条件求极限利用极限存在的充分必要条件求极限例例1 求下列函数的极限：解解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在因为左极限不等于右极限，所以极限不存在 小结小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在 例如习题二 P31 22.利用极限运算法则求极限利用极限运算法则求极限例例2 求下列函数的极限：(2)(3)(4)(1)小结

17、小结(1)应用极限运算法则求极限时，应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）（对于除法，分母极限不为零）才能适用才能适用（2）求函数极限时，经常出现求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接运用极限运算法则，等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法然后再求极限。常使用的有以下几种方法型，往往需要先通分，化简，再求极限，型，往往需要先通分，化简，再求极限，对于无理分式，分子、分母有理化，对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，消去公因

18、式，再求极限，对分子、分母进行因式分解，再求极限对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当对于当时的时的型，可将分子分母同时型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，除以分母的最高次幂，然后再求极限然后再求极限3.利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限例例3 求下列函数的极限求下列函数的极限（1）（2）（2）不能直接运用极限运算法则，因为当）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但时分子，极限不存在，但是有界函数，即是有界函数，即而 因此当因此当时时，为无穷小量为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得仍为无穷小定理，即得小结小结 利用无

19、穷小与无穷大的关系，利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）（有界量与无穷小之积的函数极限）4.利用两个重要极限求函数的极限利用两个重要极限求函数的极限例例4 求下列函数的极限：求下列函数的极限：（1）（2）解（解（1）分子先用和差化积公式变形，）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限然后再用重要极限公式求极限=（2）=小结小

20、结利用利用求极限时，函数的特点是求极限时，函数的特点是型，满足型，满足的形式，其中的形式，其中为同一变量；为同一变量；用用求极限时，函数的特点求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型幂指函数，其形式为型型,为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；用两个重要极限公式求极限时，用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式使之成为重要极限的标准形式。常用等价无穷小:5.利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限例例5 求下列函数的极限求下列

21、函数的极限（1）（2）解 （1）（2）=小结小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错否则会出错如上题如上题,即得一错误结果即得一错误结果6.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限例例6 求下列函数的极限求下列函数的极限（1）解解(1)因为因为是初等函数，在是初等函数，在处有定义，处有定义，所以所以（2）函数函数看成由看成由 复合而成，利用分子有理化复合而成，利用分子有理化 =小结小结 利用利

22、用“函数连续的极限值即为函数值函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序极限符号与函数符号可交换次序可见,函数在点五、五、函数连续性的定义函数连续性的定义*定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;在在六、六、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;间断点

23、分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式练习练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,三、三、极限极限1.极限定义的等价形式(以 为例)(即 为无穷小)有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.极限存在准则及极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.两个重要极限 6.判断极限不存在的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.求极限的基本方法 例例6.求下列极限：提示提示:无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有复习复习:若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.确定常数 a,b,使解解:原式故于是而机动 目录 上页 下页 返回 结束