动能和势能(精品).ppt

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1、第四章第四章 动能和势能动能和势能 4.1能量概念的历史发展过程能量概念的历史发展过程 有一个事实，或如果你愿意，一条定律，有一个事实，或如果你愿意，一条定律，支配着至今所知的一切自然现象。关于这支配着至今所知的一切自然现象。关于这条定律没发现例外条定律没发现例外就目前所知确乎如就目前所知确乎如此。这条定律称作能量守恒。它指出有某此。这条定律称作能量守恒。它指出有某一个量，我们称它为能量，在自然界经历一个量，我们称它为能量，在自然界经历的多种多样的变化中它不变化。的多种多样的变化中它不变化。费曼（费曼（RPFeynman）14.2 力的元功、用线积分表示功力的元功、用线积分表示功 FR 是质点

2、位矢的微分也叫质点的元位移，力在元位移上所做的功是质点位矢的微分也叫质点的元位移，力在元位移上所做的功 叫叫元功，把各个元位移上的元功加起来，就是力在整段路径上所做的功元功，把各个元位移上的元功加起来，就是力在整段路径上所做的功.功的定义问题分析功的定义问题分析 当当t0时，时，定义式定义式 A=FScos是有条件的：恒力，直线运动例是有条件的：恒力，直线运动例如：一质点在大小不变的切向力如：一质点在大小不变的切向力F作用下，沿半径作用下，沿半径为为R的圆形轨道运动一周，力的圆形轨道运动一周，力 F 做的功并不是零做的功并不是零一般情况下，力是变力，且质点做曲线运动，可把一般情况下，力是变力，

3、且质点做曲线运动，可把运动路径分成许多非常小的小段，以至于在每小段运动路径分成许多非常小的小段，以至于在每小段上，曲线可用直线代替，作用在每小段上的力也可上，曲线可用直线代替，作用在每小段上的力也可认为是不变的。认为是不变的。Fo2 力的元功及功率力的元功及功率功率：平均功率功率：平均功率 元功在不同坐标系中的表达式元功在不同坐标系中的表达式 平面直角坐标系平面直角坐标系 平面自然坐标系平面自然坐标系 极坐标系极坐标系 瞬时功率瞬时功率 元功：元功：力的元功等于力与质点元位移的点乘积力的元功等于力与质点元位移的点乘积3力在有限路径上的功力在有限路径上的功在直角坐标系中：在直角坐标系中：若质点做

4、直线运动，则若质点做直线运动，则 直线运动、恒力：直线运动、恒力：在自然坐标系中：在自然坐标系中：如切向力沿圆轨道运动一周做的功如切向力沿圆轨道运动一周做的功 在极坐标系中：在极坐标系中：12Fso定义：定义：FRSo4 几点注意几点注意 FFABFfB分析功，必须明确是那个力对那个物体做功。分析功，必须明确是那个力对那个物体做功。合力所做的功等于各分力做功的代数和合力所做的功等于各分力做功的代数和功是过程量，同时是可正可负的标量；功的正负功是过程量，同时是可正可负的标量；功的正负 取决于力与位移之间的夹角，而位移又是与参考取决于力与位移之间的夹角，而位移又是与参考 系有关的，因而功是相对量。

5、系有关的，因而功是相对量。ABFfB5例例1：弹簧弹力：弹簧弹力 ，求质点由，求质点由 x0运动到运动到x1的过程中弹力所做的功的过程中弹力所做的功解：解：解：沿雪橇轨迹取自然坐标解：沿雪橇轨迹取自然坐标o-s，摩擦力的大小摩擦力的大小=N，方向总是沿轨迹切线与雪橇运动方向相反，所以方向总是沿轨迹切线与雪橇运动方向相反，所以 ox0 x1xoabsf例例2：马拉雪橇水平前进，自起马拉雪橇水平前进，自起点点a沿长为沿长为L的曲线路径到达终点的曲线路径到达终点b，雪橇与雪地间的正压力为雪橇与雪地间的正压力为N,摩擦系摩擦系数为数为，求摩擦力所做的功求摩擦力所做的功64.3质点和质点系动能定理质点和

6、质点系动能定理质点动能定理质点动能定理分析与推导分析与推导：质点质点m在合力在合力 作用下的动力学方程：作用下的动力学方程：结论：结论：质点的动能：质点的动能：质点动能定理的微分形式：质点动能定理的微分形式：作用于质点的合力的元功等于质点动能的微分作用于质点的合力的元功等于质点动能的微分 质点动能定理的积分形式：质点动能定理的积分形式：作用于质点的合力所做的功，等于质点动能的增量作用于质点的合力所做的功，等于质点动能的增量 7 质点系内力的功质点系内力的功 分别表示质点分别表示质点m1,m2位矢，位矢，表示表示m2 相对相对m1 的位矢，的位矢，分别表示作用分别表示作用在在m1,m2上的一对作

7、用力与反作用力，上的一对作用力与反作用力，两个重要结论：两个重要结论：质点系内力做功之和不一定为零。质点系内力做功之和不一定为零。一对作用力与反作用力做功之和与参考系无关，一对作用力与反作用力做功之和与参考系无关，仅取决于两质点间相对位置的改变。仅取决于两质点间相对位置的改变。om1m2ff 讨论：质点系内力做功之和是否恒为零？讨论：质点系内力做功之和是否恒为零？8 质点系动能定理质点系动能定理 分析：分析：考虑由考虑由n个质点组成的质点系的某一运动过程，个质点组成的质点系的某一运动过程，对其中第对其中第i个质点应用质点动能定理，个质点应用质点动能定理，令令i=1,2,3n，得，得n个方程，全

8、部相加得：个方程，全部相加得：结论结论：质点系在运动过程中，所有外力、内力做功之质点系在运动过程中，所有外力、内力做功之和等于质点系动能增量和等于质点系动能增量 应用动能定理解题步骤应用动能定理解题步骤 9例题：例题：卡车经过刹车过程由原来的速度卡车经过刹车过程由原来的速度v 变为静止，求变为静止，求在此过程中木箱相对卡车滑动的距离在此过程中木箱相对卡车滑动的距离l和卡车相对地面滑和卡车相对地面滑动的距离动的距离L。已知木箱、卡车的质量分别为已知木箱、卡车的质量分别为m、M,木箱木箱与车板、卡车与地面间的摩擦系数分别为与车板、卡车与地面间的摩擦系数分别为1,2.解：用质点动能定理求解解：用质点

9、动能定理求解以地为参考系以地为参考系,对对m应用质点动能定理：应用质点动能定理：对卡车对卡车M应用质点动能定理：应用质点动能定理：由由求得：求得：代入代入中得：中得：mLf2f1lf1v10用质点系动能定理求解：以地为参考系，把卡车、木箱视用质点系动能定理求解：以地为参考系，把卡车、木箱视为质点系，应用质点系动能定理：为质点系，应用质点系动能定理：mLf2f1lf1v再以木箱再以木箱m为质点，应用质点动能定理：为质点，应用质点动能定理：、联立求解，同样可得到上面的结果联立求解，同样可得到上面的结果其中，其中，-1 mgl 是木箱和卡车间的互为反作用的一对滑动是木箱和卡车间的互为反作用的一对滑动

10、摩擦力做功之和。摩擦力做功之和。显然，互为反作用的一对滑动摩擦力做功之和永远为负显然，互为反作用的一对滑动摩擦力做功之和永远为负114.4保守力与非保守力、势能保守力与非保守力、势能 场力与力场场力与力场场力定义场力定义：仅由空间位置决定的力叫场力，场力是空间：仅由空间位置决定的力叫场力，场力是空间 位置的函数，位置的函数，存在场力的空间叫力场，存在场力的空间叫力场 两种特殊的力场两种特殊的力场 均匀力场：无论质点放在场中何处，质点所受场力均相同均匀力场：无论质点放在场中何处，质点所受场力均相同 如：平行板电容器中的电场，重力场，惯性力场如：平行板电容器中的电场，重力场，惯性力场 有心力场：无

11、论质点放在力场中何处，质点所受场力方向有心力场：无论质点放在力场中何处，质点所受场力方向 均通过一点，此力叫有心力，该点称为力心，如静电场，均通过一点，此力叫有心力，该点称为力心，如静电场，引力场引力场，弹力场，弹力场o弹弹力力场场静静电电场场 Qqo引引力力场场 Mmo12保守力与非保守力保守力与非保守力 均匀力场中的场力是保守力均匀力场中的场力是保守力 中心对称有心力场中的场力是保守力中心对称有心力场中的场力是保守力 rF证明：证明：证明：设证明：设定义：保守力所做的功仅由受力质点的始末位置决定，定义：保守力所做的功仅由受力质点的始末位置决定，而与质点运动的具体路径无关；非保守力所做的功不

12、而与质点运动的具体路径无关；非保守力所做的功不 仅与受力质点的始末位置有关，而且与质点运动的具仅与受力质点的始末位置有关，而且与质点运动的具 体路径有关。体路径有关。保守力沿闭合路径所做的功恒等于零，保守力沿闭合路径所做的功恒等于零，13 势能（位能）势能（位能）几点注意与说明几点注意与说明 在什么情况下有势能？有保守力，才有与该保守力对应的势在什么情况下有势能？有保守力，才有与该保守力对应的势能，有多少种保守力就有多少种势能能，有多少种保守力就有多少种势能 势能属于谁？属于由保守力势能属于谁？属于由保守力 相联系的质点系相联系的质点系势能零点的选择是任意的，但两点间的势能增量是不变的，势能零

13、点的选择是任意的，但两点间的势能增量是不变的，势能问题的本质在于势能增量势能问题的本质在于势能增量定义：势能增量等于保守力所做功的负值定义：势能增量等于保守力所做功的负值 负号表明：保守力做正功负号表明：保守力做正功,势能减少；保守力做负功势能减少；保守力做负功,势能增加势能增加 若规定若规定Ep(a)=0，则，则既然保守力的功仅由空间的始末位置决定，因而可定义一个空既然保守力的功仅由空间的始末位置决定，因而可定义一个空间位置函数，通过这个位置函数的变化即可求出保守力所做的间位置函数，通过这个位置函数的变化即可求出保守力所做的功，这个位置函数就是势能。功，这个位置函数就是势能。14 几种常见势

14、能的表达式几种常见势能的表达式重力势能重力势能:0 Ep(0)=0mgyEp(y)=?静电势能：静电势能：QqEp(r)=?Ep()=0弹性势能：弹性势能：Ep(ro)=0Ep(r)=?o15 4.5质点系机械能定理及守恒定律质点系机械能定理及守恒定律 质点系机械能定理（功能原理）质点系机械能定理（功能原理）质点系机械能守恒定律质点系机械能守恒定律 若外力、非保守内力不做功，则质点系的机械能守恒。若外力、非保守内力不做功，则质点系的机械能守恒。或者说，如果只有保守内力做功，则质点系机械能守恒。或者说，如果只有保守内力做功，则质点系机械能守恒。推导：动能定理推导：动能定理 结论：作用于质点系的外

15、力与非保守内力做功之和等于结论：作用于质点系的外力与非保守内力做功之和等于 质点系机械能的增量，即质点系机械能的增量，即 势能定义，势能定义，代入整理：代入整理：16例例1：如图所示，一轻弹簧两端分别连接：如图所示，一轻弹簧两端分别连接m1,m2两个物体，两个物体，问：至少要用多大的力压问：至少要用多大的力压下下m1，松手后，弹簧才能把下面松手后，弹簧才能把下面物体带离地面？物体带离地面？m1m2m1m2m1m2oy2y1y3Fym1在在y2点的平衡方程：点的平衡方程：-ky2-m1g-F=0，即，即ky2=-m1g-F m2被提起的条件是：被提起的条件是：ky3=m2g 松手后的过程中，只有

16、保守内力做功，质点系机械能守恒：松手后的过程中，只有保守内力做功，质点系机械能守恒：将将,代入代入：解：原点解：原点 o为弹簧无任何压缩时为弹簧无任何压缩时m1的位置的位置,并规定为势能零点；只在并规定为势能零点；只在m1重力作用下重力作用下 的平衡位置为的平衡位置为y1;压压力力F作用下作用下m1的平衡位置为的平衡位置为y2;y3为为松手后松手后m1能达到的最大高度能达到的最大高度174.6 对心碰撞对心碰撞 F1F2m1m2v1v2m1m2v10v20 x 碰前：碰前：，两球接近速度，两球接近速度 ，即球，即球1对球对球2的速度的速度 碰后：碰后：，两球分离速度，两球分离速度 ，即球，即球

17、2对球对球1的速度的速度 对心碰撞又称正碰或一维碰撞，特点：碰撞前后速度方向都在一条直线上对心碰撞又称正碰或一维碰撞，特点：碰撞前后速度方向都在一条直线上 压缩阶段：压缩阶段：形变逐渐增大，相互作用力使形变逐渐增大，相互作用力使m1速度减小，速度减小，m2速度增大，直速度增大，直 到两球速度相等，形变达最大，压缩到两球速度相等，形变达最大，压缩 结束。如果是完全非弹性碰撞，则结束。如果是完全非弹性碰撞，则 形变不能恢复，两球以相同速度运动形变不能恢复，两球以相同速度运动 恢复阶段：恢复阶段：若两球具有一定的弹性，则必有恢复阶段。若两球具有一定的弹性，则必有恢复阶段。形变逐渐减小，形变逐渐减小，

18、相互作用力使相互作用力使m1速度继续减小，使速度继续减小，使m2速度继续增大速度继续增大,直到形变不再恢复，直到形变不再恢复，相互作用力为零，相互作用力为零，恢复阶段结束恢复阶段结束 碰撞分为三种情况：完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，非完全弹性碰撞碰撞分为三种情况：完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，非完全弹性碰撞碰撞过程的一般分析：碰撞过程的一般分析：18 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 分析与推导：分析与推导：碰撞前后质点系的动量和动能均不发生变化碰撞前后质点系的动量和动能均不发生变化 几种特殊情况：几种特殊情况：完全弹性碰撞基本公式：完全弹性碰撞基本公式：碰后分离速度等于碰前接近速度碰后分离速度等于碰

19、前接近速度19 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 例例1 用冲击摆测子弹速率：如图所示用冲击摆测子弹速率：如图所示,子弹水平射入木块子弹水平射入木块并嵌入其中，测得木块摆过的最大角度为并嵌入其中，测得木块摆过的最大角度为，求子弹射入求子弹射入木块前的速率木块前的速率完全非弹性碰撞特点：完全非弹性碰撞特点：机械能不守恒，动量守恒，碰后速度相同机械能不守恒，动量守恒，碰后速度相同完全非弹性碰撞的基本公式完全非弹性碰撞的基本公式:MmvL解：设子弹与木块碰后共同速度为解：设子弹与木块碰后共同速度为v由动量守恒：由动量守恒：在共同摆动的过程中，机械能守恒：在共同摆动的过程中，机械能守恒：解方程组，得：解方

20、程组，得：20 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 非完全弹性碰撞特点是：机械能不守恒，动量守恒，非完全弹性碰撞特点是：机械能不守恒，动量守恒，但碰后两球速度不相等但碰后两球速度不相等 实验表明：对于材料一定的两个球，碰后分离速度与实验表明：对于材料一定的两个球，碰后分离速度与碰前接近速度的比值是一个正的常数。此常数叫恢复碰前接近速度的比值是一个正的常数。此常数叫恢复系数，用系数，用e表示，表示，e是由材料本身的弹性决定的，大小是由材料本身的弹性决定的，大小可通过实验测定，可通过实验测定，0e1 非完全弹性碰撞的基本方程或公式是：非完全弹性碰撞的基本方程或公式是：这两个方程也是解决所有对心碰撞问题的

21、基本方程。这两个方程也是解决所有对心碰撞问题的基本方程。对于完全弹性碰撞对于完全弹性碰撞 e=1，对于完全非弹性碰撞对于完全非弹性碰撞 e=0.21例例2：查得威克研究微观粒子碰撞，发现中子：查得威克研究微观粒子碰撞，发现中子微观粒子碰撞可视为完全弹性碰撞，与宏观碰撞的区别：微观粒子碰撞是微观粒子碰撞可视为完全弹性碰撞，与宏观碰撞的区别：微观粒子碰撞是非接触碰撞，相互作用力是电场力而不是弹性力，但碰撞规律完全相同。非接触碰撞，相互作用力是电场力而不是弹性力，但碰撞规律完全相同。镤镤铍箔铍箔石蜡石蜡粒子粒子v1v2mv0mp质子质子mN氮核氮核vpvN轻元素轻元素检检测测器器vp=3.3109c

22、m/svN=4.7108cm/s由由,求得求得 由由,求得求得 两式相除，并考虑到两式相除，并考虑到 将将 的实验值代入，求得的实验值代入，求得考虑误差，查认为这种粒子的质量考虑误差，查认为这种粒子的质量 224.7 非对心碰撞非对心碰撞 非对心碰撞又称为斜碰，指碰前速度方向至少非对心碰撞又称为斜碰，指碰前速度方向至少有一个不在球心连线上，可分为两种情况：有一个不在球心连线上，可分为两种情况：二维碰撞，速度在同一平面内二维碰撞，速度在同一平面内 三维碰撞，速度不在同一平面内三维碰撞，速度不在同一平面内 解决一维碰撞的所有概念、方法均可用来解决解决一维碰撞的所有概念、方法均可用来解决斜碰问题，只

23、需注意：斜碰问题，只需注意：标量式动量方程有标量式动量方程有2个（二维）或个（二维）或3个（三维）个（三维）恢复系数恢复系数 e 要由球心连线上的分速度定义要由球心连线上的分速度定义23例题例题 运动球与静止球的二维斜碰：如图所示运动球与静止球的二维斜碰：如图所示,m1球以球以速度速度v0与静止的与静止的m2球发生斜碰，已知两球光滑，恢复系球发生斜碰，已知两球光滑，恢复系数为数为e，求两球碰后速度求两球碰后速度解：设碰后球解：设碰后球1、球、球2速度为速度为 ，两球光滑，两球光滑，相互作用力必然在球心连线上。由此断定：相互作用力必然在球心连线上。由此断定：的方向沿的方向沿y轴；球轴；球1速度速

24、度y分量发生变化分量发生变化,但但x分分量不变化，即量不变化，即由由求得：求得：v0m1m2xyv2在在y方向应用牛顿碰撞公式：方向应用牛顿碰撞公式：在在y方向应用动量守恒：方向应用动量守恒：24 讨论两种特殊情况：讨论两种特殊情况：v0cosv0cosv0sinev0sinv0v1yx若若m2m1，相当于球与光滑平面斜相当于球与光滑平面斜碰，发生非等角反射，碰，发生非等角反射，若若e=1,则为等角反射则为等角反射xv0cosv0sinv0v1=v0cosyv2=v0sin若若m1=m2,且且e=1,即即 球球1把碰前速度的把碰前速度的y 分分量给了球量给了球2,自己留下了自己留下了x分量分量

25、25 4.8质心参考系的运用、克尼希定理质心参考系的运用、克尼希定理 质心参考系的特点质心参考系的特点 xyzoxyzC克尼希定理克尼希定理 结论：质点系相对基本参考系的动能（绝对动能）等于质结论：质点系相对基本参考系的动能（绝对动能）等于质点系相对质心参考系的动能（相对动能）加上质心动能点系相对质心参考系的动能（相对动能）加上质心动能 根据质点系质心在基本参考系中的定义：根据质点系质心在基本参考系中的定义：把这个定义应用到质心参考系中，有：把这个定义应用到质心参考系中，有：26克尼希定理在二体问题中的应用克尼希定理在二体问题中的应用两个质点组成的质点系的绝对动能：两个质点组成的质点系的绝对动

26、能：设设m1相对相对m2的速度为的速度为 ，根据相对运动速度公式：，根据相对运动速度公式：由由求得：求得：在碰撞过程中在碰撞过程中 不变，质心动能也不变，因而非弹性碰撞不变，质心动能也不变，因而非弹性碰撞中损失的动能是由相对动能中损失的动能是由相对动能 支付的支付的27高能物理研究中，为什么采用对撞方式？高能物理研究中，为什么采用对撞方式？由前面分析可知：在碰撞过程中，质心动能是不发生由前面分析可知：在碰撞过程中，质心动能是不发生变化的，起变化的是两质点的相对动能。换句话说，变化的，起变化的是两质点的相对动能。换句话说，对新发现有贡献的是相对动能，它才是碰撞的有效能对新发现有贡献的是相对动能，它才是碰撞的有效能量。因而，应尽量增大相对动能，采用对撞就是为了量。因而，应尽量增大相对动能，采用对撞就是为了增大相对动能。增大相对动能。设碰撞粒子的质量为设碰撞粒子的质量为m，速度为速度为v 单撞：总能单撞：总能 对撞：总能对撞：总能有效能量有效能量有效能量有效能量28