初三圆的证明专题训练(教案)_1.pdf

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2、级数学组的初中数学组卷(扫描二维码可查看试题解析)一解答题（共 17 小题）1(2014辽阳）如图,在 ABC，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且 CBF=CAB（1）求证：直线 BF 是O 的切线;（2)若 AB=5，sin CBF=,求 BC 和 BF 的长 第2页（共31页）2（2014吉林）如图，四边形 OABC 是平行四边形,以 O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于点 D，延长 AO 交O 于点 E，连接 CD,CE，若 CE 是O 的切线，解答下列问题:（1)求证：CD 是O 的切线;(2）若 BC=3，CD=4，

3、求平行四边形 OABC 的面积 3（2014天水）如图，点 D 为O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD（1）判断直线 CD 和O 的位置关系,并说明理由(2）过点 B 作O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E,若 AC=2,O 的半径是 3,求 BE 的长 4（2013德州）如图，已知O 的半径为 1,DE 是O 的直径,过点 D 作O 的切线AD，C 是 AD 的中点,AE 交O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形(1）求 AD 的长；（2)BC 是O 的切线吗?若是，给出证明；若不是，说明理由 第3页（共31页）5(2013菏泽)如图，BC 是O 的直

4、径,A 是O 上一点，过点 C 作O 的切线，交BA 的延长线于点 D,取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P（1）求证：AP 是O 的切线；（2)OC=CP，AB=6，求 CD 的长 6（2013聊城）如图,AB 是O 的直径,AF 是O 切线，CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F,CD=，BE=2求证：（1）四边形 FADC 是菱形;（2）FC 是O 的切线 7（2012北京）已知:如图,AB 是O 的直径，C 是O 上一点,ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE（1

5、）求证：BE 与O 相切;（2)连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9,sin ABC=,求 BF 的长 8（2012济宁)如图，AB 是O 的直径,AC 是弦，ODAC 于点 D,过点 A 作O的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P，连接 PC、BC 第4页（共31页）（1）猜想:线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论（2）求证:PC 是O 的切线 9(2012德阳)如图，已知点 C 是以 AB 为直径的O 上一点，CHAB 于点 H，过点 B 作O 的切线交直线 AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F,直线 C

6、F 交 AB 的延长线于 G（1）求证：AEFD=AFEC；（2）求证：FC=FB；（3)若 FB=FE=2，求O 的半径 r 的长 10(2012黔南州）已知：如图,点 C 在以 AB 为直径的O 上,点 D 在 AB 的延长线上，BCD=A(1）求证:CD 为O 的切线;（2)过点 C 作 CEAB 于 E若 CE=2,cosD=，求 AD 的长 11(2012广安）如图，在 ABC 中,ABC=ACB，以 AC 为直径的O 分别交AB、BC 于点 M、N，点 P 在 AB 的延长线上，且 CAB=2 BCP（1)求证：直线 CP 是O 的切线 第5页（共31页）(2）若 BC=2，sin

7、 BCP=，求点 B 到 AC 的距离(3)在第(2）的条件下，求 ACP 的周长 12（2012黄冈）如图，在 ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径作半圆O，交 AC于点 D，过点 D 作 DEBC，垂足为点 E(1）求证：DE 为O 的切线;（2）求证:BD2=ABBE 13（2011芜湖)如图,已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C为O 上一点，且 AC 平分 PAE，过 C 作 CD 丄 PA，垂足为 D（1）求证：CD 为O 的切线；(2）若 DC+DA=6,O 的直径为 10，求 AB 的长度 14（2011凉山州）如图，已知 ABC，以 BC 为直

8、径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F，点 E 为的中点,连接 BE 交 AC 于点 M，AD 为 ABC 的角平分线，且 ADBE，垂足为点 H（1）求证：AB 是半圆 O 的切线；第6页（共31页）(2)若 AB=3,BC=4，求 BE 的长 15（2011乐山)如图,D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD（1）求证:CD 是O 的切线；（2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=6，tan CDA=,求 BE 的长 16（2011广安）如图所示，P 是O 外一点,PA 是O 的切线，A 是切点，B 是O 上一点,且 PA=PB，连接 A

9、O、BO、AB，并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q（1）求证：PB 是O 的切线;(2)求证：AQPQ=OQBQ；(3)设 AOQ=，若，OQ=15,求 AB 的长 17（2012达州)如图，C 是以 AB 为直径的O 上一点,过 O 作 OEAC 于点 E，过点 A 作O 的切线交 OE 的延长线于点 F，连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P（1)求证：PC 是O 的切线（2）若 AF=1，OA=，求 PC 的长 第7页（共31页）2015 年 04 月 19 日九年级数学组的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共 17 小题）1（2014辽阳）如图，在 ABC，AB=

10、AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 的延长线上，且 CBF=CAB（1）求证:直线 BF 是O 的切线；(2)若 AB=5,sin CBF=，求 BC 和 BF 的长 考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理;相似三角形的判定与性质；解直角三角形 专题：几何综合题 分析：（1）连接 AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明 ABF=90(2）利用已知条件证得 AGC ABF,利用比例式求得线段的长即可 解答：（1)证明：连接 AE，AB 是O 的直径，AEB=90，1+2=90 AB=AC，

11、1=CAB CBF=CAB,1=CBF CBF+2=90 第8页（共31页）即 ABF=90 AB 是O 的直径，直线 BF 是O 的切线 （2）解：过点 C 作 CGAB 于 G sin CBF=，1=CBF，sin 1=,在 Rt AEB 中,AEB=90，AB=5,BE=ABsin 1=,AB=AC，AEB=90,BC=2BE=2，在 Rt ABE 中,由勾股定理得 AE=2，sin 2=,cos 2=,在 Rt CBG 中，可求得 GC=4，GB=2,AG=3，GC BF，AGC ABF，BF=点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解

12、题方法，并能结合图形选择简单的方法解题 2（2014吉林）如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB于点 D，延长 AO 交O 于点 E,连接 CD，CE，若 CE 是O 的切线，解答下列问题:（1）求证:CD 是O 的切线；(2）若 BC=3,CD=4,求平行四边形 OABC 的面积 第9页（共31页）考点：切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：证明题 分析:（1）连接 OD,求出 EOC=DOC，根据 SAS 推出 EOC DOC,推出 ODC=OEC=90，根据切线的判定推出即可;（2)根据全等三角形的性质求出 CE=CD=

13、4，根据平行四边形性质求出 OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可 解答:（1)证明：连接 OD,OD=OA，ODA=A,四边形 OABC 是平行四边形，OC AB，EOC=A，COD=ODA，EOC=DOC，在 EOC 和 DOC 中 EOC DOC（SAS），ODC=OEC=90,即 ODDC，CD 是O 的切线；(2）解:EOC DOC，CE=CD=4,四边形 OABC 是平行四边形，OA=BC=3，平行四边形 OABC 的面积 S=OACE=34=12 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出 EOC DOC 3（2014天水）

14、如图，点 D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD (1)判断直线 CD 和O 的位置关系,并说明理由（2)过点 B 作O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC=2，O 的半径是 3，求 BE 的长 第10页（共31页）考点：切线的判定与性质 专题：几何图形问题 分析：(1）连接 OD，根据圆周角定理求出 DAB+DBA=90，求出 CDA+ADO=90，根据切线的判定推出即可；（2)根据勾股定理求出 DC,根据切线长定理求出 DE=EB,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可 解答:解:（1）直线 CD 和O 的位置关系是相切，理由是:连接 OD，AB

15、 是O 的直径，ADB=90,DAB+DBA=90,CDA=CBD，DAB+CDA=90，OD=OA，DAB=ADO,CDA+ADO=90，即 ODCE,直线 CD 是O 的切线,即直线 CD 和O 的位置关系是相切；（2)AC=2,O 的半径是 3,OC=2+3=5，OD=3,在 Rt CDO 中，由勾股定理得：CD=4,CE 切O 于 D，EB 切O 于 B,DE=EB,CBE=90,设 DE=EB=x,在 Rt CBE 中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3)2，解得：x=6，即 BE=6 第11页（共31页）点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理,

16、切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用,题目比较典型，综合性比较强，难度适中 4(2013德州）如图,已知O 的半径为 1，DE 是O 的直径，过点 D 作O 的切线 AD，C 是 AD 的中点，AE 交O 于 B 点,四边形 BCOE 是平行四边形（1)求 AD 的长；(2)BC 是O 的切线吗？若是,给出证明;若不是，说明理由 考点:切线的判定与性质;直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质 专题:计算题 分析：（1)连接BD,由ED为圆 O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到 DBE 为直角，由 BCOE 为平行四边形，得到 BC 与 OE 平行，且 BC=OE=1，在直

17、角三角形 ABD 中,C为 AD 的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出 AD 的长即可；（2）连接 OB，由 BC 与 OD 平行，BC=OD,得到四边形 BCDO 为平行四边形,由 AD为圆的切线，利用切线的性质得到 OD 垂直于 AD，可得出四边形 BCDO 为矩形,利用矩形的性质得到 OB 垂直于 BC，即可得出 BC 为圆 O 的切线 解答：解：（1）连接 BD，DE 是直径 DBE=90，四边形 BCOE 为平行四边形,BC OE，BC=OE=1，在 Rt ABD 中,C 为 AD 的中点，BC=AD=1,则 AD=2；（2）是,理由如下：如图,连接 OB BC OD，BC=O

18、D，四边形 BCDO 为平行四边形,AD 为圆 O 的切线，ODAD，四边形 BCDO 为矩形,第12页（共31页）OBBC,则 BC 为圆 O 的切线 点评：此题考查了切线的判定与性质,直角三角形斜边上的中线性质,以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 5（2013菏泽）如图,BC 是O 的直径,A 是O 上一点，过点 C 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P（1）求证：AP 是O 的切线；（2）OC=CP,AB=6,求 CD 的长 考点:切线的判定与性质；解直角三角形 分析:（1）连接 AO，

19、AC（如图）欲证 AP 是O 的切线，只需证明 OAAP 即可；(2）利用（1）中切线的性质在 Rt OAP 中利用边角关系求得 ACO=60然后在Rt BAC、Rt ACD 中利用余弦三角函数的定义知 AC=2，CD=4 解答：（1）证明：连接 AO，AC（如图)BC 是O 的直径，BAC=CAD=90 E 是 CD 的中点，CE=DE=AE ECA=EAC OA=OC,OAC=OCA CD 是O 的切线,CDOC ECA+OCA=90 EAC+OAC=90 OAAP A 是O 上一点，AP 是O 的切线；(2）解：由（1）知 OAAP 第13页（共31页）在 Rt OAP 中，OAP=90

20、,OC=CP=OA,即 OP=2OA，sinP=，P=30 AOP=60 OC=OA，ACO=60 在 Rt BAC 中,BAC=90,AB=6，ACO=60，AC=2，又 在 Rt ACD 中，CAD=90，ACD=90 ACO=30，CD=4 点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形注意,切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值 6（2013聊城)如图，AB 是O 的直径，AF 是O 切线，CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F，CD=,BE=2求证:（1）四边形 FADC 是菱形;（2)FC 是O 的切线 考点：切线

21、的判定与性质；菱形的判定 专题：压轴题 分析：（1）首先连接 OC，由垂径定理，可求得 CE 的长,又由勾股定理,可求得半径 OC 的长，然后由勾股定理求得AD的长,即可得AD=CD,易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形 FADC 是菱形;(2）首先连接 OF，易证得 AFO CFO，继而可证得 FC 是O 的切线 解答：证明：（1）连接 OC，AB 是O 的直径，CDAB，第14页（共31页）CE=DE=CD=4=2,设 OC=x，BE=2，OE=x2，在 Rt OCE 中，OC2=OE2+CE2，x2=(x2）2+（2）2,解得：x=4，OA=OC=4,OE=2，AE=6，在

22、Rt AED 中,AD=4，AD=CD，AF 是O 切线，AFAB，CDAB，AF CD,CF AD，四边形 FADC 是平行四边形,AD=CD，平行四边形 FADC 是菱形;（2)连接 OF，AC,四边形 FADC 是菱形，FA=FC，FAC=FCA，AO=CO,OAC=OCA，FAC+OAC=FCA+OCA，即 OCF=OAF=90，即 OCFC,点 C 在O 上，FC 是O 的切线 第15页（共31页）点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质 此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用 7(2012北京）已知：如图，

23、AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点C 作O 的切线,交 OD 的延长线于点 E，连接 BE（1)求证：BE 与O 相切;（2）连接 AD 并延长交 BE 于点 F,若 OB=9，sin ABC=,求 BF 的长 考点：切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形 专题：几何综合题 分析:(1）连接 OC，先证明 OCE OBE，得出 EBOB，从而可证得结论（2）过点 D 作 DHAB,根据 sin ABC=,可求出 OD=6,OH=4,HB=5，然后由 ADH AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出 BF 的长 解答:证明：(1）连接 OC,OD

24、BC,COE=BOE，在 OCE 和 OBE 中,第16页（共31页）OCE OBE,OBE=OCE=90，即 OBBE，OB 是O 半径，BE 与O 相切 （2)过点 D 作 DHAB,连接 AD 并延长交 BE 于点 F，DOH=BOD,DHO=BDO=90，ODH OBD，=又 sin ABC=,OB=9，OD=6，易得 ABC=ODH,sin ODH=,即=,OH=4，DH=2，又 ADH AFB，=，=,FB=点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用 8（2012济宁)如图，AB

25、是O 的直径，AC 是弦，ODAC 于点 D,过点 A 作O 的切线AP,AP 与 OD 的延长线交于点 P，连接 PC、BC（1）猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系,并证明你的结论（2)求证:PC 是O 的切线 第17页（共31页）考点:切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理 分析：（1)根据垂径定理可以得到 D 是 AC 的中点,则 OD 是 ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到 OD BC，CD=BC；（2）连接 OC，设 OP 与O 交于点 E,可以证得 OAP OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OC

26、P=90,即 OCPC，即可等证 解答:(1）猜想：OD BC,OD=BC 证明：ODAC,AD=DC AB 是O 的直径，OA=OB2 分 OD 是 ABC 的中位线，OD BC，OD=BC （2)证明：连接 OC,设 OP 与O 交于点 E ODAC,OD 经过圆心 O，即 AOE=COE 在 OAP 和 OCP 中,，OAP OCP，OCP=OAP PA 是O 的切线，OAP=90 OCP=90,即 OCPC PC 是O 的切线 第18页（共31页）点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理,三角形的中位线定理，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题 9(2

27、012德阳）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的O 上一点,CHAB 于点 H，过点 B 作O 的切线交直线 AC 于点 D,点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F,直线 CF 交AB 的延长线于 G(1)求证：AEFD=AFEC；（2）求证：FC=FB;（3)若 FB=FE=2，求O 的半径 r 的长 考点：切线的判定与性质;等腰三角形的性质;等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理;圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题：证明题；几何综合题;压轴题 分析：(1)由 BD 是O 的切线得出 DBA=90，推出 CH BD，证 AEC AFD，得出比例式即

28、可；（2）连接 OC，BC,证 AEC AFD，AHE ABF,推出 BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出 CF=DF=BF 即可;(3）求出 EF=FC,求出 G=FAG，推出 AF=FG，求出 AB=BG,求出 FCB=CAB推出 CG 是O 切线,由切割线定理得出（2+FG)2=BGAG=2BG2,在 Rt BFG 中，由勾股定理得出 BG2=FG2BF2，推出 FG24FG12=0,求出 FG 即可 解答:(1）证明：BD 是O 的切线，DBA=90，CHAB，CH BD，AEC AFD,=，AEFD=AFEC 第19页（共31页）（2)证明：连接 OC，BC，CH BD,AE

29、C AFD，AHE ABF，=，=,=，CE=EH（E 为 CH 中点），BF=DF，AB 为O 的直径,ACB=DCB=90，BF=DF,CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，即 CF=BF （3）解:BF=CF=DF（已证），EF=BF=2,EF=FC，FCE=FEC，AHE=CHG=90，FAH+AEH=90，G+GCH=90,AEH=CEF，G=FAG，AF=FG，FBAG,AB=BG，BF 切O 于 B，FBC=CAB,OC=OA，CF=BF,FCB=FBC,OCA=OAC，FCB=CAB，ACB=90，ACO+BCO=90，FCB+BCO=90，即 OCCG，C

30、G 是O 切线，GBA 是O 割线，AB=BG（已证），FB=FE=2,由切割线定理得：（2+FG)2=BGAG=2BG2，在 Rt BFG 中,由勾股定理得：BG2=FG2BF2，FG24FG12=0，解得：FG=6,FG=2（舍去），由勾股定理得：AB=BG=4,第20页（共31页）O 的半径是 2 点评:本题考查了切线的性质和判定,相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线的性质,圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强,有一定的难度 10(2012黔南州）已知：如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，点 D 在 AB 的延长线上，BCD=A（

31、1）求证：CD 为O 的切线;(2）过点 C 作 CEAB 于 E若 CE=2，cosD=，求 AD 的长 考点:切线的判定与性质；圆周角定理;解直角三角形 分析：（1）先连接 CO,根据 AB 是O 直径，得出 1+OCB=90，再根据 AO=CO，得出 1=A，最后根据 4=A，证出 OCCD,即可得出 CD 为O 的切线；（2）根据 OCCD，得出 3+D=90，再根据 CEAB，得出 3+2=90，从而得出 cos 2=cosD，再在 OCD 中根据余弦定理得出 CO 的值，最后根据O 的半径为，即可得出 AD 的长 解答：证明：（1）连接 CO,AB 是O 直径 1+OCB=90,A

32、O=CO，1=A 4=A，4+OCB=90 即 OCD=90 OCCD 又 OC 是O 半径,CD 为O 的切线 第21页（共31页）（2）OCCD 于 C,3+D=90 CEAB 于 E，3+2=90 2=D cos 2=cosD，在 OCD 中，OCD=90，cos 2=，cosD=，CE=2，=，tanD=，CO=，O 的半径为 OD=,AD=点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径），再证垂直即可,同时考查了三角函数的知识 11（2012广安）如图,在 ABC 中，ABC=ACB,以 AC 为直径的O 分别交 AB、BC于点 M

33、、N，点 P 在 AB 的延长线上,且 CAB=2 BCP（1）求证：直线 CP 是O 的切线（2）若 BC=2,sin BCP=，求点 B 到 AC 的距离（3）在第（2）的条件下，求 ACP 的周长 第22页（共31页）考点：切线的判定与性质;等腰三角形的性质；勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形 专题：几何综合题；压轴题 分析：(1）根据 ABC=ACB且 CAB=2 BCP,在 ABC中 ABC+BAC+BCA=180，得到 2 BCP+2 BCA=180，从而得到 BCP+BCA=90，证得直线 CP 是O 的切线（2）作 BDAC 于点 D,得到 BD PC,从而利用 s

34、in BCP=sin DBC=,求得 DC=2，再根据勾股定理求得点 B 到 AC 的距离为 4(3）先求出 AC 的长度,然后利用 BD PC 的比例线段关系求得 CP 的长度,再由勾股定理求出 AP 的长度，从而求得 ACP 的周长 解答:解:（1）ABC=ACB 且 CAB=2 BCP,在 ABC 中，ABC+BAC+BCA=180 2 BCP+2 BCA=180，BCP+BCA=90,又 C 点在直径上，直线 CP 是O 的切线 （2）如右图，作 BDAC 于点 D，PCAC BD PC PCB=DBC BC=2，sin BCP=，sin BCP=sin DBC=，解得：DC=2,由勾

35、股定理得:BD=4，点 B 到 AC 的距离为 4 （3）如右图，连接 AN，AC 为直径，ANC=90，第23页（共31页）Rt ACN 中，AC=5,又 CD=2,AD=ACCD=52=3 BD CP,CP=在 Rt ACP 中，AP=，AC+CP+AP=5+=20，ACP 的周长为 20 点评:本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大 12(2012黄冈）如图,在 ABC 中,BA=BC，以 AB 为直径作半圆O，交 AC 于点 D,过点D 作 DEBC，垂足为点 E(1）求证:DE 为O 的切线；(2）求证：BD2=ABBE 考点：切线的判定与性质;圆周角定理；相

36、似三角形的判定与性质 专题:证明题 分析:（1）连接 OD、BD，根据圆周角定理可得 ADB=90，继而得出点 D 是 AC 中点,判断出 OD 是三角形 ABC 的中位线，利用中位线的性质得出 ODE=90，这样可判断出结论（2)根据题意可判断 BED BDC,从而可得 BD2=BCBE，将 BC 替换成 AB 即可得出结论 第24页（共31页）解答：证明：(1）连接 OD、BD，则 ADB=90(圆周角定理)，BA=BC，CD=AD（三线合一），又 AO=OB，OD 是 ABC 的中位线，OD BC,DEB=90,ODE=90，即 ODDE，故可得 DE 为O 的切线；（2)EBD=DBC

37、,DEB=CDB，BED BDC，=，又 AB=BC，=,故 BD2=ABBE 点评：此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，解答本题的关键是得出点 D 是 AC 中点，求出 ODE 是直角,有一定难度 13(2011芜湖）如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O上一点,且 AC 平分 PAE，过 C 作 CD 丄 PA,垂足为 D(1）求证：CD 为O 的切线;（2）若 DC+DA=6,O 的直径为 10，求 AB 的长度 考点：切线的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质；垂径定理 专题：几何综合题 分析:（1）连接 O

38、C，根据题意可证得 CAD+DCA=90，再根据角平分线的性质，得 DCO=90，则 CD 为O 的切线；第25页（共31页）（2）过 O 作 OFAB,则 OCD=CDA=OFD=90，得四边形 OCDF 为矩形,设AD=x，在 Rt AOF 中,由勾股定理得（5x）2+（6x）2=25，从而求得 x 的值，由勾股定理得出 AB 的长 解答：（1）证明:连接 OC，OA=OC，OCA=OAC,AC 平分 PAE，DAC=CAO，DAC=OCA，PB OC，CDPA,CDOC，CO 为O 半径,CD 为O 的切线；（2）解：过 O 作 OFAB，垂足为 F，OCD=CDA=OFD=90，四边形

39、 DCOF 为矩形，OC=FD，OF=CD DC+DA=6,设 AD=x,则 OF=CD=6x,O 的直径为 10，DF=OC=5,AF=5x，在 Rt AOF 中，由勾股定理得 AF2+OF2=OA2 即(5x）2+（6x)2=25,化简得 x211x+18=0，解得 x1=2，x2=9 CD=6x 大于 0，故 x=9 舍去，x=2，从而 AD=2，AF=52=3，OFAB，由垂径定理知,F 为 AB 的中点，AB=2AF=6 点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握 14（2011凉山州）如图，已知 ABC,以 BC 为直径，O 为圆

40、心的半圆交 AC 于点 F，点 E为的中点，连接 BE 交 AC 于点 M，AD 为 ABC 的角平分线，且 ADBE，垂足为点 H 第26页（共31页）(1）求证：AB 是半圆 O 的切线;（2）若 AB=3,BC=4,求 BE 的长 考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题:几何综合题；压轴题 分析：（1）连接 EC，AD 为 ABC 的角平分线，得 1=2,又 ADBE，可证 3=4，由对顶角相等得 4=5,即 3=5，由 E 为的中点,得 6=7，由 BC 为直径得 E=90,即 5+6=90，由 AD CE 可证 2=6，从而有 3+7=90，证明结

41、论;（2）在 Rt ABC 中，由勾股定理可求 AC=5，由 3=4 得 AM=AB=3，则 CM=ACAM=2,由(1）可证 CME BCE，利用相似比可得 EB=2EC，在 Rt BCE 中，根据 BE2+CE2=BC2，得 BE2+（）2=42,可求 BE 解答:(1)证明：连接 EC,ADBE 于 H,1=2,3=4(1 分）4=5，4=5=3,(2 分）又 E 为的中点，=，6=7，(3 分），BC 是直径,E=90,5+6=90，又 AHM=E=90,AD CE，2=6=1,3+7=90，又 BC 是直径，AB 是半圆 O 的切线;（4 分)（2）解：AB=3，BC=4，由（1）知

42、,ABC=90,AC=5（5 分）第27页（共31页）在 ABM 中，ADBM 于 H,AD 平分 BAC，AM=AB=3，CM=2（6 分）6=7，E 为公共角,CME BCE，得=，（7 分)EB=2EC，在 Rt BCE 中,BE2+CE2=BC2,即 BE2+（）2=42，解得 BE=（8 分）点评：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质,圆周角定理，勾股定理的运用关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系,由勾股定理求解 15（2011乐山)如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=C

43、BD （1）求证：CD 是O 的切线;(2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=6,tan CDA=，求 BE 的长 考点：切线的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质 专题：几何综合题；压轴题 分析：（1）连 OD，OE，根据圆周角定理得到 ADO+1=90，而 CDA=CBD,CBD=1,于是 CDA+ADO=90;（2）根据切线的性质得到 ED=EB，OEBD,则 ABD=OEB,得到tan CDA=tan OEB=，易证 Rt CDO Rt CBE,得到=，求得CD,然后在 Rt CBE 中，运用勾股定理可计算出 BE 的长 解答：（1）证明：连 OD，

44、OE，如图，AB 为直径，第28页（共31页）ADB=90，即 ADO+1=90，又 CDA=CBD，而 CBD=1，1=CDA,CDA+ADO=90，即 CDO=90，CD 是O 的切线；（2）解:EB 为O 的切线，ED=EB，OEDB，ABD+DBE=90，OEB+DBE=90,ABD=OEB，CDA=OEB 而 tan CDA=,tan OEB=,Rt CDO Rt CBE，=，CD=6=4，在 Rt CBE 中,设 BE=x，(x+4）2=x2+62，解得 x=即 BE 的长为 点评:本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三

45、角形相似的判定与性质 16(2011广安）如图所示，P 是O 外一点，PA 是O 的切线，A 是切点,B 是O 上一点，且 PA=PB，连接 AO、BO、AB，并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q(1)求证:PB 是O 的切线；(2）求证:AQPQ=OQBQ;（3）设 AOQ=,若,OQ=15，求 AB 的长 第29页（共31页）考点：切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质;解直角三角形 专题：几何综合题；压轴题 分析:（1）连接 OP，与 AB 交于点 C欲证明 PB 是O 的切线，只需证明 OBP=90即可；(2）根据相似三角形的判定定理 AA 证明

46、 QAO QBP,然后由相似三角形的对应边成比例求得=，即 AQPQ=OQBQ；（3）在 Rt OAQ 中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得 QB=27，利用(1）的结论求得 PQ=45，即 PA=36,又由勾股定理知 OP=12;然后由切线的性质求 AB的长 解答：(1)证明：连接 OP，与 AB 交于点 C PA=PB,OA=OB，OP=OP，OAP OBP（SSS），OBP=OAP,PA 是O 的切线,A 是切点，OAP=90，OBP=90，即 PB 是O 的切线;(2）证明:Q=Q，OAQ=QBP=90,QAO QBP，=,即 AQPQ=OQBQ；(3）连 OP 并交 AB 于点

47、 C，在 Rt OAQ 中，OQ=15,cos=，OA=12，AQ=9，QB=27;=，PQ=45，即 PA=36，OP=12；APO=APO,PAO=PCA=90 PAC POA,第30页（共31页）=,PAOA=OPAC，即 3612=12AC,AC=，故 AB=点评:本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理图形中的线段的求法，可以通过特殊角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解 17(2012达州)如图,C 是以 AB 为直径的O 上一点,过 O 作 OEAC 于点 E，过点 A 作O的切线交 OE 的延长线于点 F，连接 CF 并

48、延长交 BA 的延长线于点 P(1)求证:PC 是O 的切线(2)若 AF=1，OA=，求 PC 的长 考点：切线的判定与性质;勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题：几何综合题；压轴题 分析：(1)连接 OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明 FAC=FCA，然后根据切线的性质得出 FAO=90,然后即可证明结论（2)先证明 PAF PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt PCO中，利用勾股定理可得出 x 的值,继而也可得出 PC 得长 解答：（1）证明:连接 OC,OEAC，AE=CE，FA=FC,FAC=FCA，OA=OC（圆的半径相等），OAC=OCA，OAC+FAC=OCA+FCA，即 FAO=FCO，FA 与O 相切,且 AB 是O 的直径，FAAB，FCO=FAO=90,CO 是半径,PC 是O 的切线;(2)解:PC 是O 的切线，第31页（共31页）PCO=90,又 FPA=OPC,PAF=90，PAF PCO，CO=OA=,AF=1,PC=PA，设 PA=x,则 PC=在 Rt PCO 中，由勾股定理得:,解得：，PC=2=点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度