全等三角形经典辅助线做法汇总.pdf

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1、 全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线)4.垂

2、直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与

3、角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法 4)（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理

4、或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。5)6)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”7)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 8)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一

5、对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.(一)中线倍长法:例 1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD 21(

6、AB+AC)分析：要证明 AD 21(AB+AC)，就是证明 AB+AC2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论 AB+AC2AD 中，出现了 2AD，即中线 AD 应该加倍。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连 CE，则 AE=2AD。在ADB 和EDC 中，ADBEDC(SAS)AB=CE 又 在ACE 中，AC+CEAE AC+AB2AD，即 AD 21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

7、它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角BAD 和CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习:ABC中，AD 是BAC的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC（例 2:中线一倍辅助线作法 DABC%ABC 中 方式 1：延长 AD 到 E，AD 是 BC 边中线 使 DE=AD，连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD 于 F，延长 MD 到 N，作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD 例 3：ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围 例 4：已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，D

8、E 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE :FEDCBANDCBAMFECABD 课堂练习：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交AC 于 F，求证：AF=EF 例 5：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作BADF/交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE 平分BAC 课堂练习：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE 作业：1、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。

9、试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 EDABCFEABCD 2、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE?3：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 4：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE 。D A B C M T E EDABC 5、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线

10、段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 -应用：1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由 FEABCD EDCBAPQCBA 二、截长补短 1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC 【

11、2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC。3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，P21DCBA求证：0180CA 5、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 已知，如图 1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑

12、把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2 BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，CDADDFDE RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180 例1.如图 2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.图 1-1 FEDCBA图 1-2 ADBCE#图 2-1求证：CD=AD+BC.例2.已知，如图 3-1，1=2，P为BN上

13、一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.(例3.已知：如图 4-1，在ABC中，C2B，12.ABCDP12N图 3-1 求证：AB=AC+CD.|作业：1、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE.求证：BE+DF=AE.%2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE DCBA12图 4-1 FEDCBA CEDBA 应用：三、平移变换 例 1 AD 为ABC 的角平分线，直线 MNAD 于为 MN 上一点，ABC 周长记为AP，EBC周长记为BP.求证BPAP.AD+AE.四、借助角平分线造全等 1

14、、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.应用：NMEFACBA1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如

15、图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。（1）.（2）当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（3）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。(第 23 题图)O P A M N E B C D；FA C E F B D 图 图 图 例 3 如图，ABC是边长为 3

16、的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为 ；BCDNMA 应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明 （图 1）A B C D E

17、 F M N（图 2）A B C D E F M N（图 3）A B C D E F M】N 图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时LQ ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图 1：已知 AD 为ABC 的中线

18、，且12,34,求证：BECFEF。!2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFABCDEFN1图1234 EF (练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 4，求证 EF2AD。:3、延长已知边构造三角形：例如：如图 6：已知 ACBD，ADAC 于 A，BCBD 于 B，求证：ADBC 2图ABCDEFM1234ABCDEF4图ABCDE6图O 4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7：ABCD，A

19、DBC 求证：AB=CD。5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。-例如：如图 8：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延长于 E。求证：BD2CE ABCD7图1234 6连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 9；AC、BD 相交于 O 点，且 ABDC，ACBD，求证：AD。】DCBA110 图O 九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10：ABDC，AD 求证：ABCDCB。参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 A

20、E2AD，连 BE，由三角形性质知*AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的10图DCBAMN 大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知 EGEF 在BEG 中，由三角形性质知 EGBG+BE 故：EFBE+FC！例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.解：延长 AE 至 G 使

21、AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC，GDC=ACD 由于 DC=AC，故 ADC=DAC 在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG 故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE 应用：RtABD和 等 腰1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图

22、所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由 ABC 解：（1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形 BGAC，180BACABG 又180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE AMDE2，EDABAG 延长MN交DE于H#90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 证明：如图，延长CA至 F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BF BADA，AFEA EADDAFBAF90 在FAB和EAD中 DABAEADBAFAEFA EADFAB（SAS）DEBF，AENF 90AENAPEFFPD DEFB :

23、又AFCA，MBCM FBAM/，且FBAM21 DEAM，DEAM21 G C H【B D M N E F C P B D M N E EDCBAPQCBA 二、截长补短,1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC 解：（截长法）在 AB 上取中点 F，连 FD ADB 是等腰三角形，F 是底 AB 中点，由三线合一知 DFAB，故AFD90 ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC 2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC 解：（截长法）在 AB 上取点 F，使 AFAD，连 FE ADE

24、AFE（SAS）ADEAFE，;ADE+BCE180 AFE+BFE180 故ECBEFB FBECBE（AAS）故有 BFBC 从而;ABAD+BC 3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法,计算数值法）延长 AB 至 D，使 BDBP，连 DP 在等腰BPD 中，可得BDP40【P21DCBA从而BDP40ACP ADPACP（ASA）故 ADAC 又QBC40QCB 故 BQQC BDBP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，

25、BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA 解：（补短法）延长 BA 至 F，使 BFBC，连 FD!BDFBDC（SAS）故DFBDCB ，FDDC 又 ADCD 故在等腰BFD 中 DFBDAF 故有BAD+BCD180 5、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 解：（补短法）延长 AC 至 F，使 AFAB，连 PD ABPAFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知 PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA 例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且

26、 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.D A C B D E C B F OEDCBA证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE=AC 证明(角平分线在三种添辅助线,计算数

27、值法)B=60度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.,又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.!2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2

28、）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接 BD，DC DG 垂直平分 BC，故 BDDC 由于 AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有 EDDF 故 RTDBERTDFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AE AE（a+b）/2 BE=(a-b)/2|应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数

29、量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。#解：（1）FE与FD之间的数量关系为FDFE (第 23 题图)O P A M N EB C D F A C E F B D 图图 图 又EAF+BAE+DAF=90 所以EAF=45 度 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。(1)当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。?解：(计算数值法)（1）连接 DC，D 为等腰R

30、t ABC斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDA CD 平分BCA90，ECDDCA45 由于 DMDN，有EDN90 由于 CDAB，有CDA90 从而CDEFDA 故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2,S四 DECF=SACD=1 例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为 ；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEB

31、M ABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DE MDN=EDN=60 DN=DN DMNDEN，MN=NE 在DMA 和DEF 中，DM=DE MDA=60-MDB=60-CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30 DMNDEN (AAS)，MA=FE AMN的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+E

32、F=AF=6$应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明(（图 1）A B C D E F M N（图 2）A B C D E F M N（图 3）A B:C D E F M N 、解：（1）ADAB，CDBC，BCAB，CFAE CBFABE（SAS

33、）；CBFABE，BFBE 120ABC，60MBN 30CBFABE，BEF为等边三角形 BFEFBE，BEAECF21 EFBECFAE（2）图 2 成立，图 3 不成立。）证明图 2，延长DC至点K，使AECK，连接BK 则BCKBAE BKBE，KBCABE 60FBE，120ABC 60ABEFBC 60KBCFBC 60FBEKBF EBFKBF EFKF EFCFKC 即EFCFAE 图 3 不成立，AE、CF、EF的关系是EFCFAE 2、（西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当A

34、PB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.分析：（1）作辅助线，过点A作PBAE 于点E，在PAERt中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在ABERt中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点K A B C D E F M N A顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求PD长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP 的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，

35、交PB于G，在AEGRt中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在PFGRt中，可求出PF，在PDFRt中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到ABP，PD的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB 解：（1）如图，作PBAE 于点E PAERt中，45APB，2PA 1222 PEAE 4PB 3PEPBBE 在ABERt中，90AEB 1022BEAEAB 解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，BP

36、PD，APPA 90PPA，45PAP，90PBP 2PP，2PA 52422222PBPPBPPD；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G 在AEGRt中，可得310coscosABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG 在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG 在PDFRt中，可得 523101510105102222FGAGADPFPD（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90,得到ABP，PD的最大值，即为BP的最大值 BPP 中，PBPPBP，22PAPP，4PB且P、D两点落在直线 AB 的

37、两侧 E P A D?B P P(C B D E G F P A C B D E P P A C B D P P A C B D 当P、P、B三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为 6 此时135180PAPAPB 3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时

38、，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时LQ ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）分 析：（1）如 果DNDM，DNMDMN，因 为DCBD，那 么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形MBD、NCD中，因 为DCBD，DNDM，根 据HL定 理，两 三 角 形 全 等。那 么NCBM，60DNCBMD，三角形NCD中，30NDC，NCDN2，在三角形DNM中，DNDM，6

39、0MDN，因 此 三 角 形DMN是 个 等 边 三 角 形，因 此BMNCNCDNMN2，三角形AMN的周长MNANAMQ ABACABNCMBANAM2，三角形ABC的周长ABL3，因此3:2:LQ（2）如果DNDM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使BMCE，连接DE（1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形MBD和 图 1 N M A D C B ECD中，有了一组直角，CEMB，DCBD，因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN三角形MDN和EDN中，有DEDM，60MDNEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN，至

40、此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作MDBCDH，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的90MBDCH，我们做的角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等（ASA）那么CHBM，DHDM，三角形MDN和NDH中，已知的条件有DHMD，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道HDNMDN，因为MDBCDH，因此120BDCMDH，因为60MDN，那么60120NDH 60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形M

41、DN和DNH就全等了那么BMACANNHNM，三角形AMN的周长BMABANMNAMANQ ABANBMACAN22 因 为xAN，LAB31，因 此 三 角 形AMN的 周 长LxQ322 解：（1）如图 1，BM、NC、MN之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立 证明：如图 2，延长AC至E，使BMCE，连接DE CDBD，且120BDC 30DCBDBC 又ABC是等边三角形 90NCDMBD 在MBD与ECD中 DCBDECDMBDCEBM ECDMBD（SAS）DEDM，CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中 DNDNEDNMDNDEDM EDNMDN（SAS）E 图 2 N M A D C B H 图 3 N M A D C B BMNCNEMN 故AMN的周长MNANAMQ ABACABNCANBMAM2 而等边ABC的周长ABL3 3232ABABLQ（3）如图 3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若xAN，则LxQ322（用x、L表示）点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。