高一数学数列解题方法.pdf

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1、-数学高考总复习：数列的应用 编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅 知识网络：目标认知考试大纲要求：1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；2.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点：1.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项与前 n 项和的关系 任意数列的前 n 项和；注意：由前 n 项和求数列通项时，要分三

2、步进行：（1）求，（2）求出当 n2 时的，-（3）如果令 n2 时得出的中的 n=1 时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法，则，则，知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，

3、恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导 1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；-（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.精析类型一：迭加

4、法求数列通项公式1在数列中，求.解析：，当时，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式 故.总结升华：1.在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法 举一反三：【变式 1】已知数列，求.【答案】【变式 2】数列中，求通项公式.-【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2 设是首项为 1 的正项数列，且，求它 解析：由题意，又，当时，当时，符合上式 .总结升华：1.在数列中，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关数列不是等比数列.2若数列有形如的解析关系，而的积是可求的

5、，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式 1】在数列中，求.【答案】【变式 2】已知数列中，求通项公式.-【答案】由得，当时，当时，符合上式 类型三：倒数法求通项公式3数列中，,思路点拨：对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为 d=5，首项，.总结升华：1两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：-【变式 1】数列中，求.【答案】【变式 2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法

6、求通项公式4已知数列中，求.法一：设，解得 即原式化为 设，则数列为等比数列，且法二：由得：设，则数列为等比数列 法三：，-，总结升华：1一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造这两种方法均是常用的方法.2若数列有形如（k、b 为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式 1】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式 2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，-数列是以为首项，3 为公比的等比数列，.类型五：和的递推关系的应用

7、5已知数列中，是它的前 n 项和，并且,(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前 n 项和.解析：（1）因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为，所以 由此可知，数列是公比为 2 的等比数列.由,所以,所以,所以.（2），所以 -将 代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，故.（3），所以 当 n2 时，由于也适合此公式，故所求的前 n 项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知

8、关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这的常见策略.举一反三：【变式 1】设数列首项为 1，前 n 项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求的通项公式.【答案】（1），又，是一个首项为 1 公比为的等比数列；（2）是一个首项为 1 公比为的等差比数列 -【变式 2】若,()，求.【答案】当 n2 时，将代入,整理得 两边同除以得（常数）是以为首项，公差 d=2 的等差数列，.【变式 3】等差数列中，前 n 项和，若.求数列的前 n 项和.【答案】为等差数列，公差设为,若，则,.，,-得类型六：数列的应用题6.在一直线上共插 13 面小旗，相邻两面间

9、距离为小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？少？思路点拨：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一程，然后求和.解析：设将旗集中到第 x 面小旗处，则 从第一面旗到第面旗处，共走路程为了，回到第二面处再到第面处是，回到第三面处再到第面处是，从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为，从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为 202，总的路程为：，答：将旗集中到第 7 面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函

10、数求最短路程.举一反三：【变式 1】某企业 2007 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的倍，则该企业 2007 年年度产值的月平均增长率为（-A B C D【答案】D；解析：从 2 月份到 12 月份共有 11 个月份比基数（1 月份）有产值增长，设为，则 【变式 2】某人 2006 年 1 月 31 日存入若干万元人民币，年利率为，到 2007 年 1 月 31 日取款时被银行扣除利息税（共计元，则该人存款的本金为（）A1.5 万元 B2 万元 C3 万元 D2.5 万元 【答案】B；解析：本金利息利率，利息利息税税率 利息（元），本金（元）【变式 3】根据市场调查结果，预测某种家用

11、商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()A5 月、6 月 B6 月、7 月 C7 月、8 月 D9 月、10 月 【答案】C；解析：第个月份的需求量超过万件，则 解不等式，得，即.【变式 4】某种汽车购买时的费用为 10 万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元，汽车的维修费平均为第一年4 千元，第三年 6 千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.-当且仅当，即（年）时等到号成立.因此该汽车使用 10 年报废最合算.【变式 5】某市

12、 2006 年底有住房面积 1200 万平方米，计划从 2007 年起，每年拆除 20 万平方米的旧住房.假定该市每年新建年年底住房面积的 5%.（1）分别求 2007 年底和 2008 年底的住房面积；（2）求 2026 年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到 0.01）【答案】（1）2007 年底的住房面积为 1200(1+5%)20=1240（万平方米），2008 年底的住房面积为 1200(1+5%)220(1+5%)20=1282（万平方米），2007 年底的住房面积为 1240 万平方米；2008 年底的住房面积为 1282 万平方米.（2）2007 年底的住房面积为

13、1200(1+5%)20万平方米，2008 年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20万平方米，2009 年底的住房面积为1200(1+5%)320(1+5%)220(1+5%)20万平方米，2026 年底的住房面积为1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)20 万平方米 即 1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)1820(1+5%)20 2522.64（万平方米），2026 年底的住房面积约为 2522.64 万平方米.高考题萃 1（2008 四川）设数列的前项和为.（）求；（）证明：是等比数列；-（）求的通项公式.解析：（）因为，由

14、知，得 所以，（）由题设和式知 所以是首项为 2，公比为 2 的等比数列.（）2（2008 全国 II）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围 解析：（）依题意，即，由此得 因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，-，当时，又 综上，所求的的取值范围是 3（2008 天津）已知数列中，且 （）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项 解析：（）由题设，得，即 又，所以是首项为 1，公比为的等比数列 （）由（），将以上各式相加，得 所以当时，上式对显然成立 （）由（），当时，显然不是与的等差中项，故

15、 由可得，-由得 整理得，解得或（舍去），于是 另一方面，由可得 所以对任意的，是与的等差中项 4（2008 陕西）已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：解析：（），又，是以为首项，为公比的等比数列 ，（）由（）知，-，原不等式成立 另解：设，则，当时，；当时，当时，取得最大值 原不等式成立 （）由（）知，对任意的，有 令，则，原不等式成立 学习成果测评基础达标：1若数列中，且(n 是正整数)，则数列的通项=_.2对正整数 n，设曲线在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为，则数列的前 n 项和的公式是_-3.设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是，且，

16、则数列的前 10 项和为_.4.如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则 _ 5已知数列中，,()，求通项公式.6已知数列中，求的通项公式.7已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式.8设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和 能力提升：9数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和 10数列的前 n 项和为,已知是各项为正数的等比数列，试比较与的大小关系.-曲线在 x=2 处的切线的斜率为，切点为（2，-2n）,所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得,令.数列的前 n 项和为 2+22+23+2n=2n+1-2 3.答案：978 4.答案：5

17、 解析：将递推关系整理为 两边同除以得 当时，将上面个式子相加得到：，即，（）.当时，符合上式 故.6.解析：由题设 所以数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，-7.解析：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去 因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为 8.解析：（），当时，-在中，令，得符合上式 （），-得 即，9 解析：-（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足上式，10.解析：为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为,则有,，(),，即 （1）当时，,-而,时，（2）当时，,时，当时，当时，综上，（1）在时

18、恒有 （2）在时，若则；若则；若则.11.解析：（）（），对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得 ，得-即 如果记，则 其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列.12.解析：（1）设 2007 年底非绿化面积为 b1，经过 n 年后非绿化面积为.于是 a1+b1=1，依题意，是由两部分组成：一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积，另一部分是新绿化的面积，.（2），.数列是公比为，首项的等比数列.（3）由，得，-，至少需要 7 年的努力，才能使绿化率超过 60%.13.解析：（）由题可得 所以曲线在点处的切线方程是：即 令，得，即 显然，（）由，知，同理 故 从而，即 所以，数列成等比数列 故，即 从而，所以 （）由（）知，当时，显然-当时，综上，