2020届上海市建平中学高三下学期6月月考数学试题(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届上海市建平中学高三下学期 6 月月考数学试题 一、单选题 1已知 x，yR，则“xy”是“1xy”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】xy，不能得到1xy，1xy成立也不能推出xy，即可得到答案.【详解】因为 x，yR，当xy时，不妨取11,2xy ，21xy，故xy时，1xy不成立，当1xy时，不妨取2,1xy，则xy不成立，综上可知，“xy”是“1xy”的既不充分也不必要条件，故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代

2、建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来.若正四棱柱的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为()努力的你，未来可期!精品 A41 B42 C43 D44【答案】A【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为141364122，该球形容器体积的最小值为：4241()241.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问

3、题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.3在平面直角坐标系中，定义11nnnnnnxxyyxy（*nN）为点(,)nnnP xy到点111(,)nnnPxy的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P，222(,)P xy，333(,)P xy，是经过点变换得到一组无穷点列，设112nnnnnaP PP P，则满足不等式122020naaa最小正整数n的值为（）A9 B10 C11 D12【答案】C【解析】可以先求得1a（当然可求得234,a a a，然后归纳出na，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得22n

4、nnaxy，从而可以得12nnaa，说明数列na是等比数列，求得通项公式na后求和，由2020nS 得解【详解】努力的你，未来可期!精品 由定义知1110 xy，2211xy，330,2xy，即23(1,1),(0,2)PP 11223(0,1)(1,1)1aPP P P，观察可得，112,nnnnnaP PPP112121(,)(,)nnnnnnnnxxyyxxyy 11(,)(,)nnnnyxyx 2211()()nnnnnnnnnnnny yx xyxyxxyxy，222222111()()2()nnnnnnnnnaxyxyxyxy2na，数列na是等比数列，公比为 2，首项为 112n

5、na 2112122221nnnaaa，由212020n，解得11n即n的最小值为 11.故答案为：C【点睛】本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前n项和公式解题关键是求出22nnnaxy接着顺理成章地写出1na，观察两项之间的关系，问题得以解决属于难题 4 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16Cxyx y为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）（1）方程22322()16xyx y（0 xy），表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过 2；（3）曲线C构成的四叶玫瑰线面积

6、大于4；（4）曲线C上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）；A（1）（2）B（1）（2）（3）C（1）（2）（4）D（1）（3）（4）【答案】A【解析】因为0 xy，所以x与y异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）努力的你，未来可期!精品 利用基本不等式222xyxy即可判断（2）；将以O为圆心、2 为半径的圆的面积与曲线C围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C经过点(2,2)，再将2x，2y 的整点(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0 xy，所以x与y异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确 对于（2），因为

7、222(0,0)xyxy xy，所以222xyxy，所以22222 322222()()16164()4xyxyx yxy，所以224xy，即（2）正确；对于（3），以O为圆点，2为半径的圆O的面积为4，显然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即（4）错误；故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考

8、查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题 二、填空题 5已知集合1,0,|122xAaBx，若AB，则实数a的取值范围是_【答案】0,1【解析】根据指数函数2xy 是单调增函数解不等式122x，得到集合B,再根据交集的定义和空集的定义得,A B有公共元素,进而得到0,1a.【详解】努力的你，未来可期!精品 由122x，根据指数函数2xy 是单调增函数，可得01,|01xBxx 又集合1,0,Aa，AB，则,A B有公共元素，所以0,1a 故答案为：0,1.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式，属基础题.6 若一组样本数据 21，19，x，20，18 的平均数

9、为 20，则该组样本数据的方差为_.【答案】2【解析】根据平均数求出 x，再求数据的方差.【详解】21 192018205x，解得22x，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25.故答案为：2【点睛】本题考查样本数据的平均值与方差，属于基础题.7椭圆2221025xybb与双曲线2218xy有公共的焦点，则b _.【答案】4【解析】本题利用焦点相同，建立等量关系，即可求解【详解】由题意得两条曲线的2c值相等，2258 1b，求得216b，又因为0b，则4b.故答案为：4b.【点晴】本题考查了椭圆和双曲线的基本性质，属于基础题.8函数22yx

10、x（12x）的反函数是_【答案】211yx，0,1x 努力的你，未来可期!精品【解析】欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，求出原函数的值域即为反函数的定义域【详解】解：因为22yxx且12x，所以2212110,xxx 所以220,1yxx 又211yx，所以2211yx，所以2211xy，所以211xy x，y互换，得211yx，0,1x 故答案为：211yx，0,1x【点睛】本题主要考查了反函数，以及原函数的值域即为反函数的定义域，属于基础题 9 函数 2121xxf xxx，如果方程 f xb有四个不同的实数解1x，2x，3x，4x，则12

11、34xxxx_.【答案】4【解析】作出()f x的图象，可得()yf x和yb的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234xxxx，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出 2121xxf xxx，的图象，努力的你，未来可期!精品 方程 f xb有四个不同的实数解，等价为()yf x和yb的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x，2x，3x，4x且1234xxxx，由1x，2x关于原点对称，3x，4x关于点2,0对称，可得12=0 xx，344xx，则12344xxxx，故答案为：4【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思

12、想以及对称性的运用，属于中档题.10已知2323*01233333nnnxxxxaaxaxaxaxnN，且012nnAaaaa，则lim4nnnA_.【答案】43【解析】赋值法令4x 可得124444nnA，即可求解lim4nnnA.【详解】令4x 则120124444nnnaaaaA，所以4 1 44411 43nnnA 努力的你，未来可期!精品 所以4 414limlim43 43nnnnnnA，故答案为：43【点睛】本题主要考查考了利用赋值法求解二项展开式的系数和及数列极限的求解，属于基础题.11若 ABC 的内角,A B C满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是 【答案

13、】624【解析】试题分析：由正弦定理有22abc,所以22abc,22222312422cos22abababcCabab,由于222231316242422ababab,故62cos4C,所以cosC的最小值是624.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin2sin2sinABC化为22abc，再由余弦定理推论求出cosC的表达式，还用到用均值不等式求出222231316242422ababab，再算出结果来.12对任意实数,x y，定义运算xyaxbycxy，其中,a b

14、c是常数，等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算.已知1 23,2 34，并且有一个非零常数m，使得对任 意实数x,都有x mx，则m的值是_【答案】4 努力的你，未来可期!精品【解析】由定义可知1*2223,2*32364abcabc,所以53,12bab c,所以*()(53)2mbx maxbmcmxacm xbmbm xbmx恒成立，所以0,5312mbbmbm.0m,0,4bm.13 在平面直角坐标系xOy中，点集(,)|(|2|4)(|2|4)0Kx yxyxy所对应的平面区域的面积为_【答案】323【解析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以 4 得答案【详解】解

15、：(|2|4)(2|4)0 xyxy对应的区域关于原点对称，x轴对称，y轴对称，只要作出在第一象限的区域即可 当0 x，0y时，不等式等价为(24)(24)0 xyxy，即24 024 0 xyxy或24 024 0 xyxy，在第一象限内对应的图象为，则(2,0)A，(4,0)B，由240240 xyxy，解得4343xy，即4 4(,)3 3C，则三角形ABC的面积1442233S ，则在第一象限的面积48233S，则点集K对应的区域总面积832433S 故答案为：323 努力的你，未来可期!精品 【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对

16、称性是解决本题的关键，属于中档题 14 设复数z满足|1z，使得关于x的方程2220zxzx有实根，则这样的复数z的和为_【答案】32【解析】设zabi，（,a bR且221ab），将原方程变为 222220axaxbxbx i，则2220axax且220bxbx；再对b分类讨论可得；【详解】解：设zabi，（,a bR且221ab）则原方程2220zxzx变为 222220axaxbxbx i 所以2220axax，且220bxbx，；（1）若0b，则21a 解得1a，当1a 时无实数解，舍去；从而1a，此时13x ，故1z 满足条件；（2）若0b，由知，0 x 或2x，显然0 x 不满足，

17、故2x，代入得14a ，154b 所以11544z 综上满足条件的所以复数的和为1151153144442 努力的你，未来可期!精品 故答案为：32【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.15已知函数 231sinsin0222xfxx，xR.若 f x在区间,2内没有零点，则的取值范围是_.【答案】11 70,126 12【解析】首先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，由函数在区间,2内没有零点，可得2T，则1，设 f x的零点为kx，得到6kkx，再分类讨论，分别求出参数的取值范围；【详解】解：131311 cossinsincossin222226f xxxxx

18、x.在区间,2内没有零点，2T，1，设 sin6f xx的零点为kx，则6kxk，6kkx，（i）当002x时，有：026，得：1012；（ii）当012xx时，有：266，得：17612；（iii）当1x时，有：6，得：76，与1矛盾，舍去.综上：11 70,126 12.故答案为：11 70,126 12【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16在平面直角坐标系xOy中，点集(,)|,1,0,1Qx yx y，在Q中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过 2 的概率为_ 努力的你，未来可期!精品【答案】514【解析】点集Q中有 9

19、 个点，从而在Q中随机取出三个点的方式数为3984C，当取出的三个点两两之间的距离不超过 2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6 种情况，三点是 1，1，2的等腰直角三角形的顶点，有4 416种情况，三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，有 8 种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过 2的概率【详解】在平面直角坐标系xOy中，点集(,)|,1,0,1Qx yx y，Q中有 9个点，在Q中随机取出三个点的方式数为3984C，当取出的三个点两两之间的距离不超过 2 时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有 6种情况，三点是边长为 1，1，2的等腰直角三角形的顶点，

20、有4 416种情况，三点是边长为2，2，2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有 4 个，直角顶点位于(1,0)，(0,1)的各有 1 个，共有 8 种情况，综上，选出的三点两两之间距离不超过 2 的情况数为616830，这三个点两两之间距离均不超过 2的概率为3058414P 故答案为：514【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 三、解答题 17直三棱柱111ABCABC中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，2ABAC，14AA，M是侧棱1CC上一点，设MCh(1)若1BMAC，求h的值；(2)若2h，求直线1BA与平面

21、ABM所成的角 努力的你，未来可期!精品 【答案】（1）1h（2）10sin5arc【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、1AA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出BM，1AC，利用10BM AC，求出h的值；（2）求出直线1BA的方向向量与平面ABM的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、1AA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则2,0,0B,10,0,4A，0,2,0C，0,2,Mh 2,2,BMh，10,2,4AC 由1BMAC得10BM AC，即2 240h 解得1h (2)解法一：此时0,2,

22、2M 12,0,0,0,2,2,2,0,4ABAMBA 设平面ABM的一个法向量为,nx y z 努力的你，未来可期!精品 由00n ABn AM得00 xyz 所以0,1,1n 设直线1BA与平面ABM所成的角为 则11410sin5220n BAnBA 所以直线1BA与平面ABM所成的角为10sin5arc 解法二：联结1AM，则1AMAM，1,ABAC ABAA，AB平面11AAC C 1ABAM 1AM平面ABM 所以1ABM是直线1BA与平面ABM所成的角；在1Rt ABM中，112 2,2 10AMAB 所以1112 210sin52 10AMABMAB 所以110arcsin5A

23、BM 所以直线1BA与平面ABM所成的角为10sin5arc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为 0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sincos,m n.18方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图 1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图 2 中所示多边形ABCDEFGH，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴80AFB

24、E米，两根竖轴60CHDG米，记整个方舱医院的外围隔离线（图 2 实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为L，CH与AF、BE的交点为M、N，DG与AF、BE的交点为P、Q，CBN（02）.努力的你，未来可期!精品 （1）若6，且两根横轴之间的距离30ABEF米，求外围隔离线总长度L；（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度L不超过 240 米，当整个方舱医院（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此设计方案中的大小与BC的长度.【答案】（1）34060 3；（2）4，1010 2BC.【解析】（1）根据条件，求出外围隔离线每边的长度，再求和即可；（2）先得到当外围隔离线总长度为 240米时

25、，整个方舱医院的面积最大，再将整个方舱医院的面积用表示出来，观察题中出现sincos和sincos，可用两者之间的联系化简求最值成立的条件.【详解】解：（1）由题260NCMN，得23060NC，得15NC ，由6，则315 3BNNC，30BC，故8030 3CD，则L422BCABCD4302302(8030 3)34060 3（2）设BCx，则sinNCx,cosBNx,则602 sinABx，802 cosCDx，则L422BCABCD42(602 sin)2(802 cos)xxx 28044 sin4 cosxxx.当240L 会使整个方舱医院的面积最大，则28044 sin4 c

26、os240 xxx，得10sincos1x,整个方舱医院的面积180604cossin2Sxx248002sincosx，得S2200sincos4800(sincos1)，02 令sincos1t2sin()14，02，则(2,12t，且1sincost，得22sincos2tt 努力的你，未来可期!精品 则22100(2)20048004700ttStt，(2,12t 当12t 时，S最大，即2sin()1412，此时4，10(21)x，即整个方舱医院的面积最大时，4，10(21)BC 【点睛】本题是应用问题，考查了理解、分析能力，将实际问题转化成数学问题，并利用sincos与sincos

27、之间的关系求最值成立的条件是解决问题的关键.19已知曲线22:136xyC，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P和2P.（1）当Q运动到(3,2 3)时，求12QP QP的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若SMMT，SNNT，且1，求证T为定点.【答案】（1）23；（2）证明见解析；【解析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q到两条渐近线的距离，再计算1QP与2QP夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SMMT，SNNT，将,表示出

28、来，代入1化简即可证得T为定点.【详解】解：（1）由曲线22:136xyC，得渐近线方程为20 xy，作示意图如图所示：设1POx，tan2，则2222cossincos2cossin221tan1tan13 则121coscos23PQP ，又1QP|3 22 3|33 22 33，2QP|3 22 3|33 22 33 努力的你，未来可期!精品 12QP QP1212cosQP QPPQP1812 12333.（2）设1122(,),(,)M x yN xy，(,0),(0,)T mSn，0m，设直线l的斜率为k，则:()l yk xm，又22136xy，得22222(2)260kxk m

29、xk m 得212222k mxxk，2212262k mx xk 由SMMT，则1111(,)(,)x ynmxy，即1111()()xmxyny，得11xmx，同理，由22xSNNTmx，则1212xxmxmx121221212()21()m xxx xmxx mx x 得212122()3m xxx xm，则222222223(6)22mk mk mmkk，得29m，又0m，得3m，即T为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.20已知数列na满足：10a，221nnaa，2121

30、nnaan，*nN.（1）求4a、5a、6a、7a的值；（2）设212nnnab，212333nnnSbbb，试求2020S；（3）比较2017a、2018a、2019a、2020a的大小关系.【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037 398S；（3）2017201820202019aaaa.【解析】（1）由递推公式直接代入求解.（2）由2121nnaan变形得2112nnaan，得1121212nnnaa 观察分析得112nnbb，再得到通项公式nb，再用错位相减法求得2020S（3）由递推式221nnaa，2121nnaan，得到212nnaan，努力的你，未来可期!精

31、品 再分别作差20192018aa，20182017aa，20202018aa，利用递推公式判断与0的大小，从而得到2017a、2018a、2019a、2020a的大小关系【详解】解:（1）由10a，则21211aa，31222aa，42213aa，522215aa，63215aa，73248aa.（2）由2121nnaan，则2112nnaan，得11212122nnnaa，得1212111222nnnnaa，即112nnbb，且112ab 0，故12nnb，故123202020201(031 32320193)2S，则2320202021202013(03232018320193)2S，两

32、式相减2320202021202012(33320193)2S，2019202120201 9(13)2(20193)22S，化简得202120204037 398S（3）由221nnaa，2121nnaan，则212nnaan 则2019201810090aa，即20192018aa；2018201710091008(21)(21009)aaaa100910082()1008aa 2 50410080，即20182017aa；2020201810101009(21)(21)aaaa5055042(21)(2505)aa 5055044()1008425210080aa,即20202018aa

33、；综上可得：2017201820202019aaaa【点睛】本题考查了递推公式的理解与应用，利用递推公式构造新数列求通项公式，还考查了错位相减法，学生的运算能力，作差法比较数的大小，对递推公式的变形和变活运用是解题的关键.努力的你，未来可期!精品 21 已知x为实数，用 x表示不超过x的最大整数，例如1.21，1.22，11，对于函数()f x，若存在mR，mZ，使得()()f mfm，则称函数()f x是“函数”.（1）判断函数21()3f xxx，()|sin|g xx是否是“函数”；（2）设函数()f x是定义在R上的周期函数，其最小正周期是T，若()f x不是“函数”，求T的最小值；（

34、3）若函数()af xxx是“函数”，求a的取值范围.【答案】（1）()f x是，()g x不是；（2）1；（3）0a，且2 am，(1)amm.【解析】（1）举例说明函数21()3f xxx是函数，证明函数()g x不是“函数”；（2）假设1T，得到矛盾，再证明1T 得证；（3）对a分0,0,0aaa三种情况讨论得解.【详解】（1）对于函数21()3f xxx是函数，设13m，0m 则1()()03f mf，()(0)0fmf，所以存在mR，mZ，使得()()f mfm，所以函数()f x是“函数”.对于函数()sing xx，函数的最小正周期为21=12,函数的图象如图所示，不妨研究函数在

35、0,1这个周期的图象.设01m，0m,则()|sin|0,()(0)0g mmg mg,所以()()g mg m，所以函数()g x不是“函数”.努力的你，未来可期!精品 综合得函数()f x是“函数”，函数()g x不是“函数”.（2）T的最小值为 1 因为()f x是以T为最小正周期的周期函数，所以()(0)f Tf 假设1T，则 0T，所以()(0)fTf，矛盾 所以必有1T.而函数()l xxx的周期为 1，且显然不是函数，综上所述，T的最小值为 1 （3）当函数()af xxx是“函数”时，若0a，则()f xx显然不是函数，矛盾 若0a，则2()10afxx，所以()f x在(,0)，(0,)上单调递增，此时不存在0m，使得()()f mfm，同理不存在0m，使得()()f mfm，又注意到 0m m，即不会出现0mm的情形，所以此时()af xxx不是函数 当0a 时，设()()f mfm，所以 aammmm，所以有am m，其中0m，当0m 时，因为1mmm，所以2 (1)mm mmm，所以2(1)mamm，当0m时，0m，因为1mmm，所以2 (1)mm mmm，所以2(1)mamm，综上所述，0a，且2 am，(1)amm.【点睛】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度 努力的你，未来可期!精品