2018届中考数学复习专题三圆的证明与计算试题(含答案).pdf

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1、 专题三 圆的证明与计算 类型一 切线的判定 判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的 交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直(2016黄石)如图，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上(异于 A，B)，ADCD，(1)若 BC3，AB5，求 AC 的值；(2)若 AC 是DAB 的平分线，求证：直线 CD 是O 的切线 【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求 AC 的长；(2)连接 OC，利用 AC 是DAB 的 平分线，证得OACCAD，再结合半径 相等，可得 OCAD，进而结论得证 1(2016六盘水)如图，在O 中，AB 为直径，

2、D，E 为圆上两点，C 为圆外一点，且EC90.(1)求证：BC 为O 的切线；3(2)若 sin A5，BC6，求O 的半径 2(2017 济宁)如图，已知O 的直径 AB12，弦 AC10，D 是 BC 的中点，过点 D 作 DEAC，交 AC 的 延长线于点 E.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)求 AE 的长 类型二 切线的性质 已知某 条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性 质：圆的切线垂直于过 切点的半 径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题(2016资阳)如图，在O 中，点 C 是直径 AB 延长线上一点，过点 C

3、 作O 的切线，切点为 D，连接 BD.(1)求证：ABDC；(2)若 CM 平分ACD，且分别交 AD，BD 于点 M，N，当 DM1 时，求 MN 的长 【分析】(1)连接 OD，由切线的性质可得CDBODB90，由 AB 是直径，可得ADB90，进而 可得AABD90，进而求得ABDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得 AACMBDCDCM，即DMNDNM，再根据勾股定理求得 MN 的长 3(2016 南平)如图，PA，PB 是O 切线，A，B 为切点，点 C 在 PB 上，OCAP，CDAP 于点 D.(1)求证：OCAD；(2)若P50，O 的半径为 4，求四边形 AOCD 的周

4、长(精确到 0.1，参考数据 sin 500.77，cos 500.64，t an 501.19)CD CE 4(2017 长沙)如图，AB 与O 相切于点 C，OA，OB 分别交O 于点 D，E，.(1)求证：OAOB；(2)已知 AB4 3，OA4，求阴影部分的面积 类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合 切线的判定及性质综合考查，求线段 长或半径一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进 而构造相似三角形，利用相似三角形对应 边成比例求出所求线段或半径(2016荆门)如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC

5、 平分FAB 交O 于点 C，过点 C 作 CEDF，垂足为点 E.(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若 AE1，CE2，求O 的半径 【分析】(1)连接 CO，证得OCACAE，由平行线的判定得到 OCFD，再证得 OCCE 即可；(2)连接 BC，由圆周角定理得到BCA90，再证得ABCACE，根据相似三角形的性质即可求得半径 5(2017 德州)如图，已知 RtABC，C90，D 为 BC 的中点以 AC 为直径的O 交 AB 于点 E.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长 6(2017 黄冈)如图，已知 MN 为O 的直径，ME 是O 的弦

6、，MD 垂直于过点 E 的直线 DE，垂足为点 D，且 ME 平分DMN.求证：(1)DE 是O 的切线；(2)ME MDMN.7(2016 丹东)如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，CEAD，交 AD 的延长线于点 E.(1)求证：BDCA；(2)若 CE4，DE2，求 AD 的长 2 参考答案【例 1】(1)AB 是O 的直径，点 C 在O 上，ACB90，AC AB2BC24.(2)如图，连接 OC，AC 平分DAB，OACCAD.OAOC，OACOCA，OCACAD，OCAD.ADCD，OCCD.OC 是O 的半径，直线 CD 是O 的切线

7、【变式训练】BD 1(1)证明：A 与E 所对的弧都是，AE.EC90，AC90，ABC180AC 90.即 ABBC.AB 是直径，BC 为O 的切线 BC 3(2)解：sin AAC5，BC6，AC10.在 RtABC 中，AB AC2BC28，1 AO2AB4，即O 的半径是 4.2(1)证明：如图，连接 OD.D 是 BC BD DC 的中点，BODBAE，ODAE.DEAC，AED90，ODE90.ODDE，DE 是O 的切线(2)解：如图，过点 O 作 OFAC 于点 F.AC10，1 1 AFCF2AC2105.OFEDEFODE90，四边形 OFED 是矩形，1 FEOD2AB

8、6，AEAFFE5611.【例 2】(1)如图，连接 OD，CD 是O 的切线，ODC90，BDCODB90.AB 是O 的直径，ADB90，AABD90.OBOD，OBDODB，AODB90，ABDC.(2)CM 平分ACD，DCMACM.ABDC，AACMBDCDCM.即DMNDNM.ADB90，DM1，DNDM1，MN DM2DN2 2.【变式训练】3(1)证明：PA 是O 的切线，A 为切点，OAPA，即OAD 90.OCAP，COA180OAD 1809090.CDPA，CDAOADCOA90，四边形 AOCD 是矩形，OCAD.(2)解：PB 切O 于点 B，OBP90.OCAP，

9、BCOP50.OB 在 RtOBC 中，sinBCO OC，OB4，4 OCsin 505.22，矩形 OADC 的周长为 2(OAOC)2(45.22)18.4.4(1)证明：如图，连接 OC.AB 与O 相切于点 C，ACO 90.CD CE ，AOCBOC，AB，OAOB.(2)解：由(1)可知OAB 是等腰三角形，1 BC 3 BC2AB2 3，sinCOBOB COB60，B 30，2，1 60 4 2 OC2OB2，S 扇形 OCE 360 3，1 SOCB22 322 3，2 S 阴影 S OCB S 扇形 OCE 2 3 3.【例 3】(1)如图，连接 CO，OAOC，OCAO

10、AC.AC 平分FAB，OACFAC，OCAFAC，OCFD.CEFD，CEOC.OC 是O 的半径，CE 是O 的切线(2)如图，连接 BC，在 RtACE 中，AC AE2EC2 5.AB 是O 的直径，BCA90，BCACEA.CAEBAC，ACEABC，CA AE 5 1 ABAC，即 AB 5，AB5，1 AO2AB2.5 即O 的半径是 2.5.【变式训练】5(1)证明：如图，连接 OE，CE.AC 是O 的直径，AECBEC90.D 是 BC 的中点，1 ED2BCDC，12.OEOC，34，1324，即OEDACD.ACD90，OED90，即 OEDE.又E 是O 上一 点，D

11、E 是O 的切线 (2)解：由(1)知BEC90.在 RtBEC 与 RtBCA 中，B 为公共角，BECBCA，BE BC BC BA，即 BC BEBA.AEEB12，设 AEx，则 BE2x，BA3x.又BC6，6 2x3x.x 6，即 AE 6.6证明：(1)ME 平分DMN，OMEDME.OMOE，OMEOEM，DMEOEM，OEDM.DMDE，OEDE.OE 是O 的半径，DE 是O 的切线(2)如图，连接 EN，DMDE，MN 为O 的直径，MDEMEN90，NMEDME，MDEMEN，ME MN MDME，ME 2 MDMN.7(1)证明：如图，连接 OD，CD 是O 的切线，2 2 ODC90.即ODBBDC90.AB 为O 的直径，ADB90.即ODBADO90.BDCADO.OAOD，ADOA，BDCA.(2)解：CEAE，E90，DBEC，DCEBDC.BDCA，ADCE.又EE，AECCED，CE AE DECE，CE DEAE，即 162(2AD)AD6.2