《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套).pdf

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1、初等数论试卷 一、单项选择题：（1 分/题20 题=20 分）设x为实数，x为x的整数部分，则()1xxx；1xxx；1xxx；1xxx 下列命题中不正确的是()整数12,na aa的公因数中最大的称为最大公因数；整数12,na aa的公倍数中最小的称为最小公倍数 整数a与它的绝对值有相同的倍数 整数a与它的绝对值有相同的约数 设二元一次不定方程axbyc（其中,a b c是整数，且,a b不全为零）有一整数解00,x y da b，则此方程的一切解可表为()00,0,1,2,;abxxt yyt tdd 00,0,1,2,;abxxt yyt tdd 00,0,1,2,;baxxt yyt

2、tdd 00,0,1,2,;baxxt yyt tdd 下列各组数中不构成勾股数的是()，；，；，；，下列推导中不正确的是()11221212mod,modmod;abmabmaabbm 11221212mod,modmod;abmabma abbm 111212modmod;abma abam 112211modmod.abmabm 模的一个简化剩余系是()0,1,2,9;1,2,3,10;5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;1,3,7,9.modabm的充分必要条件是();m ab ;ab m;m ab .ab m 设 43289f xxxx，同余式 0 mod5f x 的所有解为()

3、1x 或1;1x 或4;1x 或1 mod5;无解 9、设f(x)=10nna xa xa其中0,modiaxxp是奇数 若为 f(x)0 mod p的一个解，则:()Amod()0 mod,1pf xp 一定为的一个解 B0mod,1,()0 modpf xp 一定为的一个解 C00(),()0 modmod,modpf xf xpxxpxxp当 不整除时一定有解其中 D00mod()0 mod,modxxpf xpxxp若为的一个解 则有 1010(),0 mod,nninf xa xa xaaapnp设其中 为奇数则同余式 ()0 modf xp的解数：（）A有时大于 p 但不大于 n;

4、B可超过 p C等于 p D等于 n 11若 2 为模 p 的平方剩余，则 p 只能为下列质数中的:()A3 B11 C13 D23 12若雅可比符号1am，则 ()A2mod,xam同余式一定有解 B2,1,moda mxap当时同余式有解;C2(,modmpxap当奇数)时同余式有解;D2(),modapxap当奇数 时同余式有解 132mod 2,3,2,1,xaa若同余式有解 则解数等于()A 4 B 3 C 2 D 1 14 模 12 的所有可能的指数为;()A1，2，4 B1，2，4，6，12 C1，2，3，4，6，12 D无法确定 15 若模 m 的单根存在，下列数中，m 可能等

5、于:()A 2 B 3 C 4 D 12 16对于模 5，下列式子成立的是:()A322ind B 323ind C 350ind D 3331025indindind 17下列函数中不是可乘函数的是:()A茂陛鸟斯(mobius)函数 w(a);B 欧拉函数 a；C不超过 x 的质数的个数 x；D除数函数 a；18 若x对模m的指数是ab，a0，ab0，则x对模m的指数是()Aa Bb Cab D无法确定 19 f a，g a均为可乘函数，则()A f a g a为可乘函数；B f ag a为可乘函数 C f ag a为可乘函数；D f ag a为可乘函数 20设 a为茂陛乌斯函数，则有()

6、不成立 A 11 B 11 C 21 D 90 二填空题：（每小题 1 分，共 10 分）21 3 在 45!中的最高次 n _；22 多元一次不定方程：1 122nna xa xa xN，其中1a，2a，na，N 均为整数，2n，有整数解的充分必要条件是_；23 有 理 数ab，0ab，,1a b，能 表 成 纯 循 环 小 数 的 充 分 必 要 条 件 是_；24 设0modxxm为一次同余式modaxbm，a0 modm的一个解，则它的所有解为_；25 威尔生（wilson）定理：_；26 勒让德符号5031013=_；27 若,1a p，则a是模p的平方剩余的充分必要条件是_(欧拉判

7、别条件)；28 在模m的简化剩余系中，原根的个数是_；29 设1，g为模p的一个原根，则模2p的一个原根为_；30 48_。三简答题：（5 分题4 题20 分）31命题“任意奇数的平方减 1 是 8 的倍数”对吗？说明理由。32“若,1a m，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。33求模 17 的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。34设1212kkappp为a的标准分解式，记 S a为a的正因数的和，a为a的正因数的个数，则 S a？a？为什么？四计算题。（7 分题4 题28 分）35 求不定方程 6x+93y=75 的一切整数解。

8、36 解同余方程组1 mod53 mod62 mod7xyz 37解同余式2x11(mod125)38求模 13 的所有原根。五、证明题：（7 分/题2 题=14 分）39、试证：2222xyz，（x，y）=1 y 是偶数的整数解可写成：22(2)xab 2yab 222zab 这里0ab，,1a b，并且一为奇数，一为偶数。40、设 a 为正整数，试证：|()()d ad aadad 其中|d a表示展布在 a 的一切正因数上的和式。六、应用题：（8 分）41、求 30！中末尾 0 的个数。参考答案：一单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。二 填空题：21 21；2212

9、,|na aaN；23,101b；240,0,1,2,mxtta m；251p！+10 mod,pp为素数；261；27121 modpap；28 m；29g与gp中的单数；3016 三简答题：31答：命题正确。2211211mm 211m 22241mmm m 而1m m必为 2 的倍数。86 页 32正确证明见教材47P。33 在 摸p的 简 化 剩 余 系 中 与22211,2,2p同 余 的 数 是 数p的 平 方 剩 余，117,182pp，222211,24,39,416，222258,62,715,813 故 1，2，4，8，9，13，15，16 为摸 17 的平方剩余，而 3，

10、5，6，7，10，11，12，14 为摸 17的平方非剩余。34 1211111iikkiiiiiips apppp 12111ka 证明：若 f a为可乘函数，则|11ikiiaiffpfp 分别令 .1f aa f a，它们为可乘函数，即得出。四计算题 35解：因为6,933|75，故原不定方程有解。又原方程即 23125xy，而易见方程2311xy有解 0016,1xy。所以原方程的一个解是00400,25xy 所以，原方程的一切整数解是：（）40031252xtrt t 是整数 36解：因为模 5，6，7 两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模 567210 有唯一解，分别解同余方

11、程：421 mod5x，351 mod6x，301 mod7x，得 3 mod5x，1 mod6x ，4 mod7x 因此所给同余方程组的解是：42 3 1 351 3 30 4 2 mod210 x 即：26151 mod210 x 37解：从同余方程211 mod51 mod5xx得，222111 511 mod5,1010 mod5tt再从得，2111 mod5,16 mod5tt因此于是，是22223211 mod5,6511 mod5t的解 又从 得32230025 mod5,121 mod5tt 因此 即222 mod5,65256tx所以 是所给方程的一个解，于是所解为：56 m

12、od125x 解毕。38解：2131223,122,3gg 为其质因数 13136,423，故 g 为模 13 的原根的主要条件是：61 mod13g ，41 mod13g 用 g=1，2，12 逐一验证，得：2，6，7，11 为模 13 的原根，因为 124，故模 13 原根只有 4 个，即为所求。五、证明题：39证明：易验证所给的解为原方程的解，因 y 为偶数，原方程可化为：2222zx zxr 但 ,|,2222zx zxzx zxz ,|,2222zx zxzx zxx 而，所以（2zx，2zx）=1 由书中引理，我们可假设 2zx=2a，2zx=b2 显然ab，(a，b)=1，于是

13、X=2ab2，z=2a+2b，y=2ab 因子为奇数，所以a，b 一定是一为奇，一为偶，证毕 40证明：假定1d，-，kd为a的所有正约数，那末 1ad，-，kad也是a的所有正约数，于是 ()d ad=()d aad 再因为在a的完全剩余系中任一数a的最大公约数 必定是1d，-，kd中某一个数，而完全剩余系中与a的最 大公约数为id的数有()imd，所以：()d amd=m 证毕 六应用题：41解：5 在 30！中的最高次幂=305+2305+3305 =6+1+0=7 2 在 30！的最高次幂=302+2302+3302+4302+5302 =15+7+3+1+0=26 10=25，故 3

14、0！的末尾有 7 个零。2007 年 4 月广东省高等教教育育自学考试 初等数论试卷 一、单项选择题。（本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）1-36，420，48 三个数的公因数是（）A1，3，4，5，6，12 B.1,2,3,4,6,12 C.2,3,4,6 D1,2,3,4,5,6,12 2.设 a,bZ(整数集)，p 是素数，且p ab。则（）A a,b 中恰有一个是 p 的倍数 B.a,b 中没有 p 的倍数 C.a,b 中必有一个是 p 的倍数 D.a,b 都是 p 的倍数 3.设 a,b 是非零整数,d=(a,b),则下列成立的是()A,a babd d B.,ab

15、a bd dd C.2,a babd dd D.2,aba bd dd 4.设且,1,a b c vZaubv则对于任意dZ(正整数集)()A.(,)ad bdd B.(,)ad bdabd C.(,)ad bdab D.,ad bdd 5.对任意实数,必有()A.1 B.C.D.6.下列不定方程中,有整数解的是()A.27753348xyz B.27756572xyz C.42701433xyz D.100204532xyz 7.设 a,b,(mod)Z mZabm则()A.(a,b)=(a,m)B.(a,b)=(b,m)C.(a,m)=(m,b)D.(a-b,m)=(a,m)8.下列集合中

16、,是模 15 的简化剩余系的是()A.1,2,3,5,7,8,11,13 B.1,2,37,8 C.1,4,8,7,11,13,14 D.29,14,2,2,19,19,7,8 9.下列同余式中成立的是()A.48361(mod 49)B.20271(mod25)C.7244(mod 72)D.41351(mod 41)10.设同余式(mod)axbm有解,则下述断语中正确的是()A.该同余式有模 m 的 m-1 个解 B.在模 m 的一组完全剩余系中,有(b,m)个数满足该同余式 C.在模 m 的一组完全剩余系中,有(a,m)个数满足该同余式 D.在模 m 的一组完全剩余系中,有(ab,m)

17、个数满足该同余式 11.设素数 p2,a,b 分别是模 p 的平方剩余和平方非剩余,则下列成的是()A.ab 是模 p 的平方非剩余 B.2ab是模 p 的平方非剩余 C2a b是模 p 的平方剩余 D.2 2a b是模 p 的平方非剩余 12.设对模 m 的指数为 k.,则()A.k m B.m k C.k a D,()km 13.若模 m 的原根存在,则 m 可能是()A.15 的倍数 B.16 的倍数 B.81 的 2 倍 D.42 的倍数 14.若 x 对模 m 的指数是 ab,a0,b0,则bx对模 m 的指数是()A.abm B.b C.ab D.a 15.设 g 是模 m 的一个

18、原根,()cm.K 是模 c 的一个非负完全剩余系,则 L=,tg tK是()A.模 m 的一个完全剩余系 B 模 m 的一个简化全剩余系 C 模 c 的一个完全剩余系 D 模 c 的一个简化全剩余系 二.填空题（本大题共 10，每小题 2 分，共 2 分）16.设4532264223511,25713,ab35335713c,则,a b c=17.若 a,b,是两个整数,b0,设,aamrbb,则用 m,r 表达的 b 除 a 的带余式是 .18.100!32!的标准分解中 7 的指数为 .19.有理数(0,(,)1)aab a bb能表示成纯循环小数的充分必要条件是 .20.设1212ka

19、akmppp,12,kp pp是 m 的互不相同的素数,则()m .21.设 a,b,c,m 都是整数,(mod)abacm,则当 时,(mod)bcm.22.设1212kaakmppp,ip为互异的奇素数(i=1,2.,k),(,)1a m,则同余式2(mod)xam有解时,解数为 .23.设 m 是偶数,则模 m 有原根的充分必要条件是 .24.设 a 对模 m 的指数为 t,则1(mod)kam成立的充分必要条件是 .25若12,ta aa是与 m 互素的 t 个整数，则12(,)tind a aa (mod()m 三、计算题。（本大题共 4 题，第 26，27 小题各 5 分，第 28

20、，29 小题各 7 分，共 24 分）26解不定方程的整数解12357531.xy 27.求 3 对模 52 的指数.28.解同余方程组2(mod3)3(mod4)3(mod5)xxx 29对哪些奇素 p,3 是模 p 的二次剩余?四、应用题（本题 10 分）30今天是星期三，试求经过2003100 1999(20012)t天后是星期几？五、证明题（本大题共 2 题，每小题 8 分，共 30 分）31求证 3 是模 17 的原根.32.已知 383 是素数，求证有解2219(mod 383)x。2007 年 4 月广东省高等教教育育自学考试 初等数论试题答案及评分参考 一、单项选择题 15BC

21、DAB 610ACDBC 1115ADCDB 二、填空题 16.45652323571113 17.或()aaabbabmbrbb 18.12 19.或存在一个正整数t,(,10)1b使得成立101(mod)tb。2011121111122()()()kkkkpppppp或12111(1)(1)(1)kmppp 21（a,m）=1 22.2k 23.m=2,4 或2p，其中为正整数，p 为素数 24t k 2512tindaidnaidna 三、计算题 26解：（123，57）=3 531，所以方程有整数解。化简方程得 4119177y.(1 分)解得 411923 19361 于是11936

22、19(41192)6 41(6)1913 故41(6177)1916177177 知方程有特解 006177,13177xy（3 分）一般解为6177191317741xtyt（0,1,2,t）（5 分）27、解：（）5224，24 的正因数为 1，2，3，4，6，8，12，24 （2 分）依次检验：，（123433 39 327 329 mod 52)631(mod 52)（4 分）故 3 对模 52 的指数是 6 （5 分）28、解：1233,4,5,60mmmm 12320,15,12MMM 而1232,3,3MMM （3 分）故此同余组的解为 220231533123(mod60)x

23、23(mod60)（7 分）29、解：显然5p，由二次互反律，有 3 1112223(1)(1)33ppppp （1 分）由于如p 1(mod3)，如p 2(mod3)1,13p 如 p 1(mod4)，如 p3(mod4)11,21(1)p (3 分)所以 1231(1)3ppp 1(mod 3)1(mod 4)pp 或21(mod 3)31(mod 4)pp （5 分）1(mod12)p 所以只有当(mod12)p时，3 是模 p 的二次剩余 （7 分）四、应用题 30、解：要求t模 7 的余数 2004(mod7),125(mod7)由欧拉定理 6641(mod 7),51(mod 7)

24、（2 分）于是20032003333 65520044442(mod 7)（5 分）1001006 16441255552(mod 7)（7 分）于是199966 33314444(mod 7)t （9 分）于是再过t天就是星期日 （10 分）五 证明题 31、证：求得4(17)162，其不同素因数只有 2 （2 分）(17)82 （4 分）而(17)8233161(mod17)（6 分）所以 3 是模 17 的一个原根 （8 分）32、证：219373，于是 219373383383383 （1 分）由二次互转律 3 1 383 1223383383(1)38332 21(1)133 （4 分）2733831823238373737373 27318(1)1 （7 分）所以 2191383 故同余方程2219(mod 383)x 有解 （8 分）