三角函数与解直角三角形.pdf

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1、 锐角三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222abc 2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定 义 表达式 取值范围 正弦 斜边的对边AAsin 1sin0A(A 为锐角)余弦 斜边的邻边AAcos 1cos0A(A 为锐角)正切 的邻边的对边AtanAA 0tanA(A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 30 45 60 sin cos tan 5、正弦、余弦的增减性：当 090时，sin

2、随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切、余切的增减性：当 090时，tan随的增大而增大 注意：一定要记住上面的公式与特殊三角函数的值。)90cos(sinAA)90sin(cosAA BAcossinBAsincosA90B90得由BA 对边 邻边 斜边 A C B b a c 解直角三角形 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：222cba；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。斜边的对边AAsin 斜边的邻边AAcos 的邻边的对边AtanAA 2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的

3、角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i 等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向），南偏东 45（东南方向），南偏西 60（西南方向），北偏西 60（西北方向）。:ihlhl 45的直角三角

4、形:口诀（1）斜边是直角边的2倍，（2）直角边是斜边 倍 300的直角三角形:口诀 (1)斜边是短直角边的 2 倍 （2）长直角边是短直角边的 倍 （3）短直角边是长直角边的 33 倍 223基础练习：1在 Rt ABC 中，C=90，sinA=45，则 cosB 的值等于()A35 B45 C34 D55 2.在ABC中，,1312sin,900AC则Atan的值为 A 1312 B 135 C 512 D 1213 3在 ABC 中，C=90，cosA=53，那么 tanB 的值等于 A35 B.45 C.34 D.43 4.一人乘雪橇沿坡度为:3的斜坡滑下，滑下距离（米）与时间 t（秒）

5、之间 的关系为2210tt,若滑动时间为 4 秒，则他下降的垂直高度为（）A、72 米 B、36 米 C、336米 D、318米 5如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D 已知 AC=5，BC=2，那么 sinACD（）A53 B23 C2 55 D52 6如图，小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30 角，且此时测得 1 米杆的影长为 2米，则电线杆的高度为()A9 米 B28 米 C73米 D3214 米 7如果是锐角，且54sin，则)90cos(（）。A.54 B.43 C.53

6、D.51 8在ABC 中，A，B 为锐角，且有 BAcossin，则这个三角形是 （）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 9.当009045 A时，下列不等式中正确的是（）。A.AAAsincostan B.AAAsintancos C.AAAcostansin D.AAAcossintan 10如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）。Asin A的值越大，梯子越陡 Bcos A的值越大，梯子越陡 Ctan A的值越小，梯子越陡 D陡缓程度与A的函数 11如图，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD，使点 D

7、落在 BC 边的点 F 处。已知 AB8，BC10，则 tanEFC 的值为（）。A34 B43 C35 D45 12.如图，已知直线1l2l3l4l，相邻两条平行直线间的 距离都是 1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直 线上，则sin 13.如图，将两张宽度都为 1 的纸条叠放成如图所示的图形，如果所成四边形的锐角为，那么这个四边形的面积是（）A11.tan.tan.cossinBCD A B C D A 1l 3l 2l 4l 14如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点.如果MCn，CMN.那么P点与B

8、点的距离为 .15.如图，在正方形网格中，AOB的正切值是 16.如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点 P，那么CDAB 等于（）AsinBPD BcosBPD CtanBPD D1/tanBPD 17在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 分别是2、3，则BAC 的度数为 _.18如图，在 RtABC 中，CAB=90，AD 是CAB 的 平分线，tanB=21，则 CDDB=19将直角边为 12cm 的等腰直角三角形 ABC 绕点 A 顺时针旋转 15 后得到ABC，那么图中阴影部分面积是_cm2 BCBCAA B C D M N 20.已知：如图，在ABC

9、中，A=30,tanB=34，AC=18，求 BC、AB 的长.21.如图，某同学在测量建筑物 AB 的高度时，在地面的 C 处测得点 A 的仰角为 30，向前走 60 米到达 D 处，在 D 处测得点 A 的仰角为 45，求建筑物 AB 的高度.22.已知：如图，等腰ABC 中，AB=BC，AEBC 于点 E，EFAB 于点 F，若 CE=1，4cos5AEF，求 EF 的长.23如图，AD 是ABC 的角平分线，且 AD=16315，C=90，AC=85，求 BC 及 AB CBAABCD4530 24.如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC

10、上 如果 CD 与地面成 45，A=60，CD=4m，BC=（4622）m，求电线杆 AB 的长 25.日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估如图上午 9 时,海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5，海检船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观测到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？（参考数据：sin36.935，tan36.934，sin67

11、.51213，tan67.5125）67.536.9ACBP 创新练习：1.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5的角的正切值是 ECDABF A.3+1 B.2+1 C.2.5 D.5 2.在 RtABC 中，ACB=90，BCAC，若214BC ACAB，则A=3.在ABC中，A、B、C 的对边分别为a、b、c三边，它的外接圆半径为R。求证：CcBbAasinsinsin=2R 4.观察与思考：阅读下列材料

12、，并解决后面的问题 在锐角 ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，过 A 作 ADBC 于 D(如图)，则 sinB=cAD，sinC=bAD，即AD=csinB，AD=bsinC，于是 csinB=bsinC，即CcBbsinsin.同理有：AaCcsinsin，BbAasinsin，所以CcBbAasinsinsin 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，ABC 中，B=450，C=750，BC=60，则A=；AC=；（2）如图，

13、一货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30的方向上，随后货轮以 60 海里时的速度按北偏东 30的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得灯塔 A 在货轮的北偏西 75的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB.综合练习 1.如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点 M）位于海滨城市（记作点 A）的南偏西 15，距离为61 2千米，且位于临海市（记作点 B）正西方向60 3千米处台风中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心 60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此

14、次台风的侵袭？请说明理由（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？2.当600，下列关系式中有且仅有一个正确。A.3sin)30sin(2 B.3sin2)30sin(2 C.cossin3)30sin(2（1）正确的选项是_（2）如图 1，ABC中，1AC，30B，A，请利用此图证明（1）中的结论。（3）两块分别含45和30的直角三角板如图 2 方式放置在同一平面内，28BD，求ADCS ABCDABC图 1 图 2 反馈与提高：1.如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为 A12 B55 C1010 D2 55 2.如图，在四边形 ABCD

15、中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，若 EF=2，BC=5，CD=3，则 tanC等于 A.43 B.34 C.53 D.54 3.如图，直径为 10 的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC 的余弦值为().A12 B 34 C 32 D45 C B A 3.如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，以 E 为圆心，EC 为半径的半圆与以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为（）A、43 B、34 C、45 D、35 D C A B 4、如图，已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，A=75o，C=45o，那么 sinA

16、EB 的值为（）A.21 B.33 C.22 D.23 5.如图，将 45的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读书恰为 2 厘米，若按相同的方式将 37的AOC 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数为 厘米.（结果精确到 0.1 厘米，参考数据 sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）E CBAO43216.如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC的平分线BD交AC于点 D，则AD的长是 ，cosA 的值是 .7.已知：如图，在ABC中，BCAD

17、 于点D，ABCE 于点E，AEBE2，且62AD，31sinBCE，求CE的长。8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图 7 所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为 8.8m在阳光下某一时刻测得 1 米的标杆影长为 0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m已知斜坡CD的坡比i=1：3，求树高 AB。（结果保留整数，参考数据：3 1.7）_ D _ C_ B_ Ai=1：3 图 7 9.某市规划局计划在一坡角为16的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架 AC 与斜坡 AB 的夹角为 28，支架 BDAB 于点 B，且 AC、BD 的延长线均过O 的

18、圆心，AB=12cm，O 的半径为 1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到0.01m）(参考数据：cos280.9,sin62 0.9,sin440.7,cos46 0.7)A P C B 36.9 67.5 10.如图 10，2012 年 4 月 10 日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东 60o方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民。此时，C 地位于中国海监船的南偏东45o方向的 10 海里处，中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（21.41，31.73，62.45）11.如图某天上午 9 时,向阳号轮船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西67.5，轮船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时该船到达 B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西 36.9方向，求此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离？（参考数据：sin36.935，tan36.934，sin67.51213，tan67.5125）图 10