新高考初高中衔接第7讲二次函数的图象和性质(原卷版+解析版).pdf

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1、【第 7 讲】二次函数的图象和性质【基础知识回顾】知识点 1 二次函数的图象与解析式 二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是(h，k)3 交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 知识点 2 二次函数的最值 二次函数2(0)yaxbxc a是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础 在初中阶段大家已经知道：当0a 时，函数在2bxa 处取得最小

2、值244acba，无最大值；当0a 时，函数在2bxa 处取得最大值244acba，无最小值 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题 【合作探究】探究一 求二次函数解析式【例 1-1】已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式 归纳总结：【例 1-2】已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式 归纳总结：【例 1-3】已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式 探究二 二次函数的最值【例 2-1】当22x

3、 时，求函数223yxx的最大值和最小值【例 2-2】当12x时，求函数21yxx 的最大值和最小值 归纳总结：【例 2-3】当0 x 时，求函数(2)yxx 的取值范围【例 2-4】当1txt 时，求函数225yxx的最小值(其中t为常数)【例 2-5】当02x时，求函数21yxtx的最小值(其中t为常数)【课后作业 1】1选择题：把函数 y(x1)24 的图象的顶点坐标是 （）（A）（1，4）（B）（1，4）（C）（1，4）（D）（1，4）2填空：（1）已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(2，0)，B(1，0)，且过点 C（2，4），则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过

4、点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 3根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与 y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（3，0），（5，0），且与 y 轴交于点（0，3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与 x 轴两交点间的距离为 4 4如图，某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为 6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5如图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 的边

5、上有一个动点 P，从点 A 出发沿折线 ABCD移动一周后，回到 A 点设点 A 移动的路程为 x，PAC 的面积为 y（1）求函数 y 的解析式；（2）画出函数 y 的图像；（3）求函数 y 的取值范围【课后作业 2】1抛物线2(4)23yxmxm，当m=_ 时，点在x轴图象的顶点在y轴上；当m=_ 时，图象的顶上；当m=_ 时，图象过原点 2 用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yx x A C B D P 图 2.210 4求二次函数2235yxx在22x 上的最大值和最小值，并求对应的x

6、的值 5对于函数2243yxx，当0 x 时，求y的取值范围 6求函数23532yxx的最大值和最小值 7已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为 0？8已知关于x的函数222yxax在55x 上 (1)当1a 时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值 9函数223yxx在0mx上的最大值为 3，最小值为 2，求m的取值范围 10设0a，当11x 时，函数21yxaxb 的最小值是4，最大值是 0，求,a b 11已知函数221yxax在12x 上的最大值为 4，求a的值 12求关于x的二次函数221yxtx在11x 上的最大值(t为常数)【第

7、 6 讲】一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点 1 一元二次方程的根的判断式 一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa(1)当240bac时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：242bbacxa (2)当240bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa (3)当240bac时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac 知识点 2 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程20

8、(0)axbxca的两个根为：2244,22bbacbbacxxaa 所以：22124422bbacbbacbxxaaa ，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa 韦达定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,x x，那么：1212,bcxxx xaa 【合作探究】探究一 与根个数之间的关系【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310 xx (2)24912yy (3)25(3)60 xx【解析】：(1)2(3)42 110 ，原方程有两个不相等的实数根 (2)原方程可化为：241290yy 2(12)4

9、490 ，原方程有两个相等的实数根 (3)原方程可化为：256150 xx 2(6)45 152640 ，原方程没有实数根 归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【练习 1-1】已知关于x的一元二次方程2320 xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4)方程无实数根【解析】：2(2)43412kk (1)141203kk；(2)141203kk；(3)141203kk；(4)141203kk【练习 1-2】已知实数x、y满足22210 xyxyxy，试求x、y的值【解析】：可以把所给

10、方程看作为关于x的方程，整理得：22(2)10 xyxyy 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222(2)4(1)300yyyyy ，代入原方程得：22101xxx 综上知：1,0 xy 探究二 一元二次方程的根与系数的关系【例 2-1】若12,x x是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12|xx【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxx x (1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxx x (2)121212112220072007xxxxx

11、x(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxx xxx (4)22212121212|()()4(2)4(2007)4 502xxxxxxx x 归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxx x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，2121212|()4xxxxx x，2212121212()x xx xx xxx，33312121212()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想【练习 2】若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求|x1x2

12、|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13x23【解析】：x1和 x2分别是一元二次方程2x25x30的两根，1252xx，1232x x （1）|x1x2|2x12+x222 x1x2(x1x2)24 x1x2253()4()22 2546494，|x1x2|72 （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x （3）x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2 (52)(52)23(32)2158【例 2-2】已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数【

13、解析】：法一 设这两个数分别是x，y，则412xyxy 1126xy 或2262xy 因此，这两个数是2 和 6 法二 由韦达定理知，这两个数是方程x24x120 的两个根 解方程得：x12，x26 所以，这两个数是2 和 6【例 2-2】关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值(1)方程两实根的积为 5；(2)方程的两实根12,x x满足12|xx【解析】：(1)方程两实根的积为 5 222121(1)4(1)034,412154kkkkx xk 所以，当4k 时，方程两实根的积为 5 (2)由12|xx得知：当10 x 时，12xx，所以方程有两相等实数根，故3

14、02k；当10 x 时，12120101xxxxkk ，由于 302k，故1k 不合题意，舍去 综上可得，32k 时，方程的两实根12,x x满足12|xx 探究三 一元二次方程的根的范围【例 3-1】若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围【解析】：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40，且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 a174 a 的取值范围是 a4【例 3-2】一元二次方程有两个实根，一个比 3 大，一个比 3 小，求的取042axxa值范围。【解析】：解一：由 解得：解二：设，则如图所示，只须，解得【练习 3-1】已知

15、一元二次方程一个根小于 0，另一根大于2，求的取值范围。【解析】：如图，设 则只须，解之得 0)3)(3(021xx3a)(xfaxx420)3(f3a065)9(222aaxaxa65)9()(222aaxaxxf0)2(0)0(ff38132aa382 a【课后作业】1一元二次方程2(1)210k xx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A2k B2,1kk且 C2k D2,1kk且 2若12,x x是方程22630 xx的两个根，则1211xx的值为()A2 B2 C12 D92 3已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方程2

16、2(21)30 xmxm的根，则m等于()A3 B5 C53或 D53 或 4若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac 和完全平方式2(2)Matb的关系是()AM BM CM D大小关系不能确定 5若实数ab，且,a b满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()A20 B2 C220或 D220或 6如果方程2()()()0bc xca xab的两根相等，则,a b c之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870 xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程22(1)30 xkxk的两根之差为 1，则k的值

17、是 _ 9 设12,x x是方程20 xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20 xqxp的两实根，则p=_，q=_ 10已知实数,a b c满足26,9ab cab，则a=_，b=_，c=_ 11对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于 10你是否同意他的看法？请你说明理由 12已知关于x的一元二次方程2(41)210 xmxm (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,x x，且满足121112xx，求m的值 13已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk 有两个不相等的实数根12,x x (1)

18、求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请你说明理由 14已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值 【参考答案】1 B 2 A 3A 4A 5A 62,acbbc且 7 3 8 9 或3 91,3pq 103,3,0abc 11正确 1221(1)1650 (2)2mm 1313(1)112kk且 (2)不存在 14解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得 m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230 x2930，302412930，不合题意，舍去 综上，m17