00高中数学第章数列.5等比数列的前n项和(第1课时)等比数列的前n项和学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 课时 等比数列的前n项和 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点）.2。会用错位相减法求数列的和(重点）。3。能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题 1。通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养。2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养。1等比数列前n项和公式 思考:类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn？提示 可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函学必求其心得，业必贵于专精 -2-数 2错位相减法（1)推导等比数列前n

2、项和的方法 一般地，等比数列an的前n项和可写为：Sna1a1qa1q2a1qn1,用公比q乘的两边，可得 qSna1qa1q2a1qn1a1qn,由,得（1q)Sna1a1qn，整理得Sn错误!（q1）（2）我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列anbn前n项和的求解，其中 an 为等差数列，bn 为等比数列，且q1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗?提示 根据等比数列的定义，有:错误!错误!错误!错误!q，再由合比定理，则得错误!q，即错误!q，进而可求Sn。1等比数列 1,x，x2，x3，(x0)的前n项和Sn为(）A错误!B错误!学必求其心得，业必贵于专精 -3-

3、C错误!D错误!C 当x1 时，数列为常数列，又a11,所以Snn。当x1 时，qx，Sn错误!错误!.2等比数列an中，a11，q2，则S5_ 31 S5错误!错误!31。3数列12，错误!,错误!，错误!,的前 10 项的和S10_ 错误!S10错误!错误!错误!错误!错误!，则12S10错误!错误!错误!错误!。两式相减得，错误!S10错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，所以S10错误!.4某厂去年产值为a，计划在 5 年内每年比上一年的产值增长10，从今年起 5 年内，该厂的总产值为_ 11（1。151)a 去年产值为a，从今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a，1.12a

4、，1。13a，1。14a，1.15a。所以 1。1a1.12a1。13a1。14a1。15aa1。11。1611.111(1.151)a.学必求其心得，业必贵于专精 -4-等比数列基本量的运算【例 1】在等比数列an中，（1）S230，S3155，求Sn；（2）a1a310,a4a6错误!,求S5；(3）a1an66,a2an1128,Sn126，求q。解（1）由题意知 错误!解得错误!或错误!从而Sn错误!5n1错误!或Sn错误!.(2)法一：由题意知错误!解得错误!从而S5错误!错误!.法二：由（a1a3)q3a4a6，得q3错误!,从而q错误!.又a1a3a1(1q2）10，所以a18，

5、从而S5错误!错误!.(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280 的两根 从而错误!或错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-又Sn错误!126，所以q为 2 或错误!.1在等比数列 an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用 2 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1 或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论 1在等比数列an中（1)若a1错误!,an16错误!，Sn11错误!，求n和q；(2）已知S41，S817，求an.解(1）由Sn错误!得 11错误

6、!错误!,q2，又由ana1qn1得 16错误!错误!（2）n1,n5.(2)若q1，则S82S4,不合题意，q1,S4错误!1，S8错误!17，两式相除得错误!171q4，q2 或q2，a1错误!或a1错误!,an错误!2n1或错误!（2)n1.学必求其心得，业必贵于专精 -6-等比数列前n项和公式的实际应用【例 2】借贷 10 000 元，以月利率为 1%，每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161。061，1.0151。051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本

7、金，在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为SP（1r)n,其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和（2）从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少 解 法一：设每个月还贷a元,第 1 个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元（1n6），则a010 000，a11。01a0a，a21.01a1a1.012a0(11。01）a，a61。01a5a1。016a011。011。015a.由题意,可知a60，学必求其心得，业必贵于专精 -7-即 1.016a011。011。015a0，a1.0161021。0161.1。

8、0161。061，a错误!1 739.故每月应支付 1 739 元 法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6个月，则它的本利和为 S1104（10.01)6104(1.01）6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分 6 个月还清，到贷款还清时,其本利和为 S2a(10。01）5a(10.01）4a 错误!a1。0161102（元)由S1S2，得a错误!.以下解法同法一，得a1 739,故每月应支付 1 739 元 解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意,达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问

9、题？是求an,还是求Sn？特学必求其心得，业必贵于专精 -8-别要注意准确弄清项数是多少 弄清题目中主要的已知事项(2）抓住数量关系，联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达（3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式 2一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%。这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗？解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意,得an1错误!an，因此，数列an是首项a125，公比q错误!的等比数列 热气球在前

10、n分钟内上升的总高度为Sna1a2an错误!错误!1251（错误!)n 125.故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m。错位相减法求和 探究问题 学必求其心得，业必贵于专精 -9-1对于S641248262263，用 2 乘以等式的两边可得 2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?提示 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64错误!2641.2由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗?该数列的前n项和Sn的表达式是什么？提示 由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比

11、数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n。3在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数列2n 的公比后，该等式的变形形式是什么?认真观察两式的结构特征,你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提示 在等式Sn121222323n2n，两边同乘以2n的公比可变形为 2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn1212223242nn2n1 学必求其心得，业必贵于专精 -10-(2122232n）n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列 2n的前n项和问题 我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方

12、法叫错位相减法 【例 3】已知等比数列an满足：a1错误!，a1,a2，a3错误!成等差数列，公比q（0，1），（1）求数列an的通项公式；(2)设bnnan,求数列bn的前n项和Sn.思路探究：(1）根据a1，a2,a318成等差数列求得公比q，写出通项公式;(2)由bnnan可知利用错位相减法求和 解（1)设等比数列an的公比为q，a1错误!,因为a1，a2,a3错误!成等差数列，所以 2a2a1a3错误!，即得 4q28q30，解得q错误!或q错误!,又因为q(0，1)，所以q12，学必求其心得，业必贵于专精 -11-所以an错误!错误!错误!错误!.（2）根据题意得bnnan错误!,S

13、n错误!错误!错误!错误!，错误!Sn错误!错误!错误!错误!，作差得错误!Sn错误!错误!错误!错误!错误!，Sn2（n2）错误!错误!。1本题中设cn错误!,求数列cn的前n项和Sn.解 由题意知cnn2n，所以Sn121222323（n2）2n2(n1)2n1n2n，2Sn122223324(n2）2n1（n1）2nn2n1，两式相减得:Sn1212223242n12nn2n1 错误!n2n1（1n)2n12，所以Sn(n1）2n12。2本题中设dn（2n1）an，求数列dn的前n项和Tn。解 由题意可得:学必求其心得，业必贵于专精 -12-Tn1错误!3错误!（2n1)错误!，12Tn

14、1错误!3错误!（2n3）错误!（2n1)错误!，两式相减得 错误!Tn1错误!2错误!2错误!（2n1）错误!错误!错误!错误!(2n1)错误!错误!错误!错误!，所以Tn3错误!错误!3错误!。错位相减法的适用题目及注意事项（1）适用范围:它主要适用于an 是等差数列,bn 是等比数列，求数列anbn的前n项和（2)注意事项:利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式 利用此法时要注意讨论公比q是否等于 1 的情况 1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n,q，Sn，其中首项a1和公比q为基本

15、量,且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即学必求其心得，业必贵于专精 -13-当q1 和q1 时是不同的公式形式,不可忽略q1 的情况 3一般地,如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和.1判断正误（1)求等比数列an 的前n项和时可直接套用公式Sn错误!来求(）（2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Snna.(）(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna（a0,q0 且q1，nN），则此数列一定是等比数列（）答案(1）（2)（3)提示(1）错误在求等比数列前n项和时，首先应看公比q

16、是否为 1，若q1，可直接套用,否则应讨论求和（2)正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列,所以前n项和为Snna.(3）正确根据等比数列前n项和公式Sn错误!(q0 且q1)变学必求其心得，业必贵于专精 -14-形为Sn错误!错误!qn（q0 且q1)，若令a错误!,则和式可变形为Snaaqn.2 已知等比数列an的首项a13，公比q2，则S5等于（）A93 B93 C45 D45 A S5错误!错误!93。3在公比为整数的等比数列an中,如果a1a418，a2a312,则这个数列的前 8 项之和S8_ 510 a1a4a1(1q3)18，a2a3a1(qq2)12，两式联立解得q2 或错误!，而q为整数，所以q2,a12,代入公式求得S8错误!510。4求和：错误!错误!错误!错误!错误!。解 设Sn错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，则12Sn错误!错误!错误!错误!错误!。，得错误!Sn错误!错误!错误!错误!错误!错误!12错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -15-错误!错误!，Sn3错误!.