2021届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试数学(文)试题(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2021 届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合2|20Mx xx，|3Nx x，则集合M与N的关系是()AMN BMNR CMNN DMNN【答案】D【解析】化简集合A，根据交集定义，即可求解.【详解】由2|20|0Mx xxx x或2x，|3Nx x，得|3MNx xN，|0MNx x或2xM，故选:D.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2已知i为虚数单位，若复数22i zi，则z（）A1 B2 C32 D52【答案】D【解析】先根据复数代数形式的四则运算求出复数z，再根据复数的几何意义求出复数的模【详解】解：

2、22i zi，2222i iizi12i，215122z，故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模，属于基础题 努力的你，未来可期!精品 3如图，网格纸的正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B18 C12 D36【答案】A【解析】根据三视图可得几何体的直观图（如图所示），从而可求其体积【详解】作一个长，宽，高分别为4,3,3的长方体，根据三视图得该几何体为三棱锥ABCD（如图），因为三棱锥ABCD的四个顶点，都在同一个长方体中，所以三棱锥ABCD体积为114 3 3632A BCDV ,故选 A.【点睛】本题考察三视图，要

3、求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系 三棱锥体积的计算应该选择合适的底面（以顶点到该底面的距离的计算容易求为宜）.4已知等差数列的前 15 项和1530S，则2139aaa（）A7 B15 C6 D8【答案】C【解析】【详解】设等差数列的等差为,nda前15项的和1530S，11515302aa，可得172ad，则 2913111812aaaadadad1376ad.努力的你，未来可期!精品 故选：C.5已知函数 42xxafx是奇函数，则 f a的值为（）A52 B52 C32 D32【答案】C【解析】由 fxf x 求出1a，然后可算出答案.【详解】因为函数 42xxafx

4、是奇函数，所以 fxf x，即4422xxxxaa，即14422xxxxaa，所以1a 所以 412xxfx，所以 11413122f af 故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.6在正方形 ABCD 中，E为 BC的中点，2DAEDDF，则DF（）A1324ABAD B1223ABAD C1334ABAD D1323ABAD【答案】A【解析】利用基底向量,AB AD表达2DAEDDF再根据向量的线性运算化简即可.【详解】由题,1322DAEDADDCCEAABDADADAB .即3132224DFADDABFAABD.努力的你，未来可期!精品 故选

5、：A【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及基底向量的用法,需要根据题意确定基底向量,再化简运算即可.属于基础题.7某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散 500 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 甲，乙 乙，丙 丙，丁 丁，戊 甲，戊 疏散乘客时间（s）120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A甲 B乙 C丁 D戊【答案】C【解析】先阅读题意，再结合简单的合情推理计算可得解【详解】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为 a、b、c、d、e，则 a+b120，b+

6、c220，c+d160，d+e140，a+e200，解得：a60，b60，c160，d0，e140，则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，故选 C【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题 8 已知，为平面，l是直线，若 l，则“，”是“l”的()努力的你，未来可期!精品 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可 【详解】由，在 内任取一点 P，过 P 作 a 垂直于，的交线，则 a，又l，则 al，同理，在 内过 P 作 b 垂直于，的交线，则 bl，可推出l，反过

7、来，若l，l，根据面面垂直的判定定理，可知，故“，”是“l”的充要条件，故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间线面垂直关系是解决本题的关键 9在ABC中，5,6ABAC，若2BC，则向量BC在BA上的投影是（）A75 B77125 C77125 D75【答案】B【解析】由正弦定理得，653cossinsinsin2sin5ACABCBCCC,由余弦定理得，22211cos25BCACABCBCAC BC,则77cos125BC ，故选 B.10已知点(,)M x y是抛物线24yx上的动点，则226210 xxyy2221xxy的最小值为 A3 B4 C5 D6【答案】B

8、【解析】由题意：2222621021xxyyxxy表示 A（3，1）和F（1，0）与在抛物线24yx上的动点 P的距离之和，利用抛物线的定义将到 F 的距离转到到准线的距离即可求解.【详解】由题意知：2222621021xxyyxxy=223(1)xy 努力的你，未来可期!精品 221xy表示 A（3，1）和 F（1，0）与在抛物线24yx上的动点 P的距离之和，又 F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点 P 到 F（1，0）的距离等于到x=-1 的距离，只需要过 A作 x=-1 的垂线交抛物线于 P，交准线于 M，则 AM=4 即为所求.故选 B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用

9、，考查了两点之间的距离公式，属于基础题 11若双曲线2222:1(0,0)xyEabab的一条渐近线被圆22(3)9xy所截得的弦长为 3，则E的离心率为（）A2 B3 C2 D2 33【答案】C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为0bxay，则可求出圆心到该渐近线的距离 d，代入弦长公式，可得,a c关系，即可得答案.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为0bxay，则圆心(3,0)到该直线的距离22|3|3bbdcab，由题意得，2332 9bc，化简得2234bc，所以22222314caacc，所以2214ac，即2cea 故选：C【点睛】本题考查求双曲线的离心率的求法，考查直线与圆相交的弦

10、长问题，解题关键是求出圆心到渐近线的距离，进而表示出弦长.考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.12 已知 ,f xg x都是定义在 R上的函数，0g xf x gxfx g x，努力的你，未来可期!精品 且 (0 xf xa g xa且1)a，115112ffgg，对于有穷数列 (1,2,f nng n,10)，任取正整数110kk，则前k项和大于1516的概率是（）A310 B25 C12 D35【答案】D【解析】【详解】由 20fxfx g xgx fxg xgx，f xg x单调递减，又 xf xag x，故01a，所以由 115112ffgg，得12a f ng n是首项为 111

11、2fg，公比为12的等比数列，其前n项和1151216nnS 5n，所以，63105P.故选：D.二、填空题 13函数 lnxf xex在1x 处的切线斜率为_.【答案】e【解析】求出()lnxxefxexx即可.【详解】因为()lnxxefxexx，所以(1)ef 即函数()lnxf xex在1x 处的切线斜率为e 故答案为：e【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查的是导数的计算及其几何意义，较简单.14已知函数 32153f xxxax在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围为_.【答案】3,1【解析】求导函数，先考虑其反面函数单调时a的范围，再求结论的补集即可得到结论.【详解】222

12、11fxxxaxa，若函数 32153f xxxax在区间1,2上单调，则 0fx或 0fx在1,2上恒成立，即10a 或 130fa，1a 或3a ，于是满足条件的实数a的范围为3,1，故答案为：3,1.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.15圆22:(1)(2)4Cxy关于直线21yx的对称圆的方程为_.【答案】22(3)4xy【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解.【详解】22:(1)(2)4Cxy的圆心为(1,2)，关于21yx对称点设为(,)x y，则有:2121222112yxyx，解得30 xy，所以对称后的圆心为(

13、3,0)，故所求圆的方程为22(3)4xy.故答案为：22(3)4xy【点睛】努力的你，未来可期!精品 此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.16已知()f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b满足(2)(2)()()(),(2)2,(*),(*)2nnnnnfff a baf bbf afanNbnNn，有以下结论：(0)(1)ff；()f x为偶函数；数列 na为等比数列；数列 nb为等差数列.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】逐项排除，对于特殊值排除，对构造等差数列求通项.【详解】已知()f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对

14、任意实数,a b满足，有以下结论：对于，令0ab，则(0)0f，令1ab，则(1)2(1)ff，(1)0f，正确；对于，若()f x为偶函数，则(1)(1)0ff，(1 2)(2)2(1)(2)2(2)fffff ，错误；对于，令12,2nab，得111(2)2(2)2(2)2(2)2nnnnnffff，所以1(2)(2)122nnnnff，由(2)nnfan，(*)nN，得11(1)122nnnnnana，1(2)2af，2nnna是等差数列，所以 2nna，正确；对于，由知(2)nnfan，2nna，所以(2)(*)22nnnnnnafbn nN，正确.故答案为：.【点睛】本题考查函数与数

15、列的结合，构造数列求通项公式.三、解答题 17已知等差数列 na，记nS为其前n项和(*nN)，且33a ，315S .（1）求该等差数列 na的通项公式；（2）若等比数列 nb满足14b ，34bS，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）29nan，*nN；（2）答案见解析.努力的你，未来可期!精品【解析】（1）由条件建立方程组求解即可；（2）设等比数列 nb的公比为q，由条件可求出2q或2，然后分两种情况讨论即可.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，则11naand，112nnnSnad，由题意，得1123,3 23152adad ，解得172ad，na的通项公式72(1)29n

16、ann ，*nN.（2）设等比数列 nb的公比为q，由（1）得44 3742162S ，3416bS，2311644bqb，2q或2，当2q时，12141 24211 2nnnnbqTq，当2q 时，241(2)(2)41(2)33nnnT .【点睛】本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.18 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如表：男 女 需要 40 m 不需要 n 270 若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为 14%.（1）求 m，n的值；（2）能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前

17、提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提努力的你，未来可期!精品 供帮助与性别有关？参考公式：K22()()()()()()abcdadbcab cdac bd.P（K2k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）30,160mn（2）答案见解析【解析】（1）根据该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例，结合列联表中的数据，即可得出 m，n的值；（2）计算2K，再由独立性检验的知识进行判断即可.【详解】（1）40500 14%m，30m 500(4030270)160n（2）22500(40270160 30)9.976.635(40160)

18、(30270)(4030)(160270)K 即在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关【点睛】本题主要考查了完善列联表以及独立性检验解决实际问题，属于中档题.19如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900 努力的你，未来可期!精品（1）求证：PCBC（2）求点 A 到平面 PBC 的距离【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1），要证明 PCBC，可以转化为证明 BC 垂直于 PC 所在的平面，由 PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=

19、90，容易证明 BC平面 PCD，从而得证；（2）连接 AC，则三棱锥 P-ACB 与三棱锥 A-PBC 体积相等，而三棱锥 P-ACB 体积易求，三棱锥 A-PBC 的地面 PBC 的面积易求，其高即为点 A 到平面 PBC 的距离，设为 h，则利用体积相等即求 试题解析：（1）证明：PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，PDBC 由BCD90知，BCDC，PDDCD，BC平面 PDC，BCPC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，ABDC，BCD90，ABC90，连接 AC（图略），AB2，BC1，SABC12ABBC1，PD平面 ABCD，PD1，VPABC13SABCPD13，P

20、D平面 ABCD，PDDC，PDDC1，PC2，PCBC，BC1，SPBC12PCBC22，VAPBCVPABC，13SPBCh13，h2，点 A 到平面 PBC 的距离为2 【考点】1点、线、面间的距离计算；2空间中直线与平面之间的位置关系 20在直角坐标系xOy中，曲线C：26xy与直线l：3ykx交于M，N两点.（1）若MON的面积为18，求k；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2k （2）存在，方程为2239()24xy（或2230 xyy）【解析】（1）联立直线与抛物线方程，设出M，N

21、两点坐标，结合韦达定理，由弦长努力的你，未来可期!精品 公式求出MN，由点到直线距离公式求出O到l的距离，再由1182Sd MN即可求出结果；（2）OPMOPN等价于直线PM，PN倾斜角互补，所以只需求出使直线PM，PN斜率之和为0的P点坐标即可，进而可求出结果.【详解】解：（1）将3ykx代入26xy，得26180 xkx，设11,M x y，22,N xy，则126xxk，1218x x ，从而22121214MNkxxx x 226 12kk.因为O到l的距离为231dk，所以MON的面积219 2182Sd MNk，解得2k .（2）存在符合题意的点，证明如下：设0,Pb为符合题意的点

22、，直线PM，PN的斜率分别为1k，2k.从而121212ybybkkxx 12121223kx xbxxx x 123663kkbx x.当3b时，有120kk，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点0,3P符合题意.故以线段OP为直径的圆的方程为223924xy（或2230 xyy）【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，以及圆的方程，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式和韦达定理等，即可求解；求圆的方程时，只需求出圆心和半径即可求出结果，属于常考题型.21已知函数 ln21f xaxax.（1）讨论函数 f x的单调性；努力的你，未来可期!精品（2）对任

23、意的1x，不等式 10 xf xe恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1a【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设 1()xg xf xe问题转化为求min()0g x，通过讨论 a的范围，求出()g x的最小值即可【详解】（1）12axfxx 当0a 时，令 1100,022fxxfxx，所以此时 f x在区间10,2递增，1,2递减；当0a 时，令 110,0022fxxfxx，所以此时 f x在区间1,2递增，10,2递减；（2）令 11ln21xxg xf xea xaxe，1x，112,2xxaag xaegxaex

24、x，令 21122,xxax eah xaeh xxx，令 21xxx ea，显然 x在1x时单调递增，11xa；当1a时，10,0,xh xh x在1,上递增，所以 110h xha，则 0gx，g x在1,上递增，1220g xga，此时符合题意；当1a 时，10，此时在1,上存在0 x，使 x在01,x上值为负，此时 0h x，h x在01,x上递减，此时 110h xha，g x在01,x上递减，1220g xga，此时不符合题意；综上：1a 努力的你，未来可期!精品【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x 就可讨

25、论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min()0f x，若()0f x 恒成立，转化为max()0f x.22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知点1 cos,sinP，0,，点Q在曲线C：102sin4上.（）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（）求PQ的最小值.【答案】（1）点 P的轨迹方程为2211xy，曲线C方程为100 xy；（2）11 212.【解析】(1)利用题中所给的条件求解点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程即可；(2)求解直线与圆心距离的最小值，然后减去半径可得PQ的最小值为11 212.【详解】（1）由题意可知点 P的轨迹方程为：1 cos(si

26、nxy 为参数，0)，消去参数得点P的轨迹方程为2211xy，由1010sincos2sin4，曲线C方程为100 xy（2）2sin111cossin10422PQ min11 212PQ.努力的你，未来可期!精品 23已知函数 11.fxxm x（）当2m 时，求不等式 4f x 的解集；（）若0m时，2fxm恒成立，求m的最小值 【答案】（）51,3 x；（）1.【解析】（）作出函数的图象，结合函数图象可得不等式的解集为51,3（）先化简式子可得1|1|1|2xxm，然后画出|1|2yx及1|1|yxm 的图象，可得m的最小值为1.【详解】（）法一：当2m，即解不等式1214xx时，1

27、3,1()3,1131,1x xf xxxxx ，作出图象：结合图象及()f x的单调性，又5()(1)43ff 努力的你，未来可期!精品 所以()4f x 的解集为5(1,)3x 法二：1214xx等价于 11 34xx 或1134xx 或1314xx 解得x或(1,1x 或5(1,)3x，即5(1,)3x （）方法一：由()2f xm得|1|(2|1|)xmx 由0m，所以1|1|1|2xxm，画出|1|2yx及1|1|yxm 的图象 根据图象性质可得11m，综上10m 故的m最小值为1 方法二：(1)1,1()(1)1,11(1)1,1mxmxf xmxmxmxmx ，要使得()2f xm恒成立，即min()2f xm 则()f x必有最小值 努力的你，未来可期!精品 因此()f x在(,1)必单调递减或为常函数，在(1,)必单调递增或为常函数 即10m 且10m 即1m 又0m，故()f x在上 1,1是增函数，即min()(1)2f xfm解(1)2fm恒成立 综上10m 故m的最小值为1【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.