高考文科数列知识点总结.pdf

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1、-高考文科数列知识点 一考纲要求 内容 4 要求层次 A B C 数列 数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列、等比数列 等差数列的概念 等比数列的概念 等差数列的通项公式与前n项和公式 等比数列的通项公式与前n项和公式 二知识点 (一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作na，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作 na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表

2、示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式 说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na=f n表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函 数()f n当 自 变 量n从1开 始 依 次 取 值 时 对 应 的 一 系 列 函 数 值(1),(2),(3),fff，()f n，通常用na

3、来代替 f n，其图象是一群孤立的点（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；-按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列 na的第 1 项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 （二）等差数列 1.等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n）；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN ，首项:1a，公差:d，末项:na 推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项 （1）如果a，A，b

4、成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项 即：2baA或baA2 （2）等差中项：数列 na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa 4等差数列的前 n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为 2n+1 的等差数列的中间项 12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1）定义法：若daann1或daann1(常数 Nn)na是等差数列 （2）等差中

5、项：数列 na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa （3）数列 na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列 na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若daann1或daann1(常数 Nn)na是等差数列 7.等差数列的性质：（1）当公差0d 时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函 数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。-（3）当mn

6、pq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（4）若 na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列 (5)若na是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列 （6）数列 na为等差数列,每隔 k(k*N)项取出一项(23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数 列 （7）设数列 na是等差数列，d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和 1.当项数为偶数n2时，121135212nnnn aaSaaaana奇 22246212nnnn aaSaaaana偶 11=nnnnSSnanan aand偶奇 11nnnnSn

7、aaSnaa奇偶 2、当项数为奇数12 n时，则 21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）（8）等差数列 na的前 n 项和mSn，前 m 项和nSm，则前 m+n 项和m nSmn (9)求nS的最值 法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性*nN。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当，001da 由001nnaa可得nS达到最大值时的n值 （2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值

8、是所有非正项之和。即 当，001da 由001nnaa可得nS达到最小值时的n值 或求 na中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若S p=S q则其对称轴-为2pqn（三）等比数列 1.等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比 2.通项公式：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq，首项：1a；公比：q 推广：n mnmaa q，从而得n mnmaqa或nn mmaqa 3.等比中项（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项

9、即：2Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列 na是等比数列211nnnaaa 4.等比数列的前 n 项和nS公式：(1)当1q 时，1nSna(2)当1q 时，11111nnnaqaa qSqq 5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na为等比数列 （2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）na为等比数列（3）通项公式：0nnaA BA B na为等比数列 （4）前 n 项和公式：,nnnnSAA BSA BA A B A B或为常数 na为 等比数

10、列 6.等比数列的证明方法 依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnaqa na为等比数列-7.等比数列的性质(1)当1q 时 等比数列通项公式1110nnnnaaa qqA BA Bq是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q 前 n 项和1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何 m,n*N,在等比数列 na中,有n mnmaa q,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 m+n=s+t(m,n,s,t*N),

11、则nmstaaaa.特别的,当 n+m=2k 时,得2nmkaaa 注：12132nnna aaaa a(4)列 na,nb为等比数列,则数列nka,nk a,kna,nnk abnnab(k 为非零常数)均为等比数列.(5)数列 na为等比数列,每隔 k(k*N)项取出一项(23,mm kmkmkaaaa)仍为等比数列(6)如果 na是各项均为正数的等比数列,则数列logana是等差数列(7)若 na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列 (8)若 na为 等 比 数 列,则 数 列12na aa,122nnnaaa,21223nnnaaa成等比数列(9)当1q 时，当1q 0时，1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列,1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列 当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列 na中,当项数为 2n(n*N)时,1SSq奇偶,.-(11)若 na是公比为 q 的等比数列,则nn mnmSSqS