2021-2022学年新教材人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试.pdf

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1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是(D)A若 ab，则1ab0，cd，则 acbd C若 ab，则 ac2bc2 D若 ac2bc2，则 ab 解析 由题意，对于选项 A 中，当 a0b 时，此时1a1b，所以 A 是错误的；对于选项B 中，当 0cd 时，此时不等式不一定成立，所以 B 是错误的；对于选项 C 中，当 c0 时，不等式不成立，所以 C 是错误的 根据不等式的性质，可得若 ac2bc2时，则 ab 是成

2、立的，所以 D 是正确的 2若集合 Ax x2x10，Bx|1x2，则 AB(C)Ax|2x2 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 解析 由题意，Ax|x2x10 x|2x1，Bx|1x2，则 ABx|1xB CA2baab2，即 A2，Bx24x2(x24x4)2(x2)222，即 B2，所以 AB 4已知 2x3y3，若 x，y 均为正数，则3x2y的最小值是(C)A53 B83 C8 D24 解析 因为 2x3y3，x，y 均为正数，则3x2y13(3x2y)(2x3y)13(129yx4xy)1229yx4xy38，当且仅当9yx4xy且 2x3y3，即 x34，y12时取等号，

3、所以3x2y的最小值是 8.5若不等式 4x2ax40 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是(D)Aa|16a0 Ba|16a0 Ca|a0 Da|8a0 的解集为 R，所以 a24440，解得8a8，所以实数 a 的取值范围是a|8a0 时，不等式 x2mx90 恒成立，则实数 m 的取值范围是(A)Am|m6 解析 当x0时，不等式x2mx90恒成立当x0时，不等式mx9x恒成立m0 时，x9x2x9x6(当且仅当 x3 时取“”)，因此(x9x)min6，所以m6.7中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a，b，c，三角形的面积 S 可由公

4、式 S ppapbpc求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ab12，c8，则此三角形面积的最大值为(C)A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 解析 由题意，p10，S 1010a10b10c 2010a10b 2010a10b28 5，当且仅当 ab6 时取等号，所以此三角形面积的最大值为 8 5.8 已知关于 x 的不等式1ax2bxc1)的解集为空集，则 T12ab1ab2cab1的最小值为(D)A 3 B2 C2 3 D4 解析 易知 a0，则原不等式的解集为空集等价于 x2abxac0 的解集为x 12x0 Bb0 Cc0

5、 Dabc0 解析 因为不等式 ax2bxc0 的解集为x 12x2，故相应的二次函数 f(x)ax2bxc 的图象开口向下，所以 a0，故 A 错误；易知 2 和12是方程 ax2bxc0 的两个根，则有ca10，又 a0，c0，故 BC 正确；由二次函数的图象可知 f(1)abc0，f(1)abc0，故 D 正确，故选 BCD 10使不等式 x2x60 成立的充分不必要条件是(AC)A2x0 B3x2 C0 x3 D2x4 解析 由 x2x60 得2x3，若使不等式 x2x60 成立的充分不必要条件，则对应范围是x|2x3的真子集，故选 AC 11设 a，b 为非零实数，且 aab Ba2

6、b2 C1ab21a2b Da3b3 解析 对于 A，当 a2，b3 时，ab，但 2223，故 A 中不等式不恒成立；对于 B，当 a2，b1 时，a12，故 B 中不等式不恒成立；对于 C，1ab21a2babab20 恒成立，故 C 中不等式恒成立；对于 D，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(a12b)234b2，ab，ab0，a32abab Ba|ab|b Ca2b24ab3b2 Dab2ab2 解析 对于 A，ab2abab12 ababab2 ab，当 ab0 时，不等式不成立，故 A中不等式错误；对于 B，ab|ab|a|ab|b，故 B 中不等式正确；对于 C，a2b2

7、4ab3b2a24b24ab0(a2b)20，当 a2b 时，不等式不成立，故 C 中不等式错误；对于 D，ab2ab2 22，故 D 中不等式正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中横线上)13若 xx|x1，则 y3x1x1的最小值是_32 3_.解析 x1，x10，因此 y3x1x13(x1)1x1323x11x1332 3，当且仅当 3(x1)1x1，即 x331 时取等号，因此 y3x1x1的最小值是 32 3.14不等式 ax25xc0 的解集为x 13x12，则 a_6_，c_1_.解析 由题意知 ab0，且 m1aab，na21ab，则

8、mn 的最小值是_4_.解析 由已知可得，ab0，所以 mn1a2aba21ab1a2ab(a2ab)1abab4，当且仅当 a 2，b22时，等号成立 16已知 ab，不等式 ax22xb0 对一切实数 x 恒成立存在 x0R，使 ax202x0b0 成立，则a2b2ab的最小值为_2 2_.解析 已知不等式 ax22xb0 对一切实数 x 恒成立，当 a0 时，2xb0，不符合题意；当 a0 时，依题意知 a0，44ab0 a0，ab1.又存在 x0R，使 ax202x0b0 成立，44ab0ab1，因此 ab1，且 a0，从而 b0，又 ab0，a2b2abab22abab(ab)2ab

9、2 2，当且仅当 ab 2，即 a6 22，b6 22时，等号成立 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知关于 x 的不等式(k24k5)x24(1k)x30 的解集为 R，求实数 k 的取值范围 解析 当 k24k50 时，k1 或 k5.若 k1，则原不等式为 30，恒成立，符合题意；若 k5，原不等式为 24x30，不恒成立，不符合题意当 k24k50 时，依题意得，k24k50，161k24k24k530，解得 1k19.因此，1k19.故实数 k 的取值范围为k|1k0；(2)若关于 x 的不等式 f(x)

10、0 可得 3x2x20，解可得 x23或 x23或 x1(2)因为不等式 f(x)0 的解集为 R，所以 3mx2mx20 恒成立 m0 时，20 恒成立，符合题意，m0 时，根据二次函数的性质可知，解得24m0，综上可得，实数 m 的取值范围为m|24m0 19(本小题满分 12 分)已知函数 y ax22ax1的定义域为 R.(1)求 a 的取值范围；(2)解关于 x 的不等式 x2xa2a0，4a24a0，解得 0a1.综上，a 的取值范围为a|0a1(2)由 x2xa2a0 得(xa)x(1a)a，即 0a12时，ax1a；当 1aa，即 a12时，(x12)20，不等式无解；当 1a

11、a，即12a1 时，1axa.综上所述，当 0a12时，解集为x|ax1a；当 a12时，解集为，当12a1 时，解集为x|1axa 20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x22x8，g(x)2x24x16，(1)求不等式 g(x)2，均有 f(x)(m2)xm15 成立，求实数 m 的取值范围 解析(1)g(x)2x24x160，所以(2x4)(x4)0，所以2x4，所以不等式 g(x)0 的解集为x|2x2 时，f(x)(m2)xm15 恒成立，所以 x22x8(m2)xm15，即 x24x7m(x1)因为对一切 x2，均有不等式x24x7x1m 成立，而x24x7x1(x1)4x

12、122x14x122(当且仅当 x3 时等号成立)，所以实数 m 的取值范围是m|m2 21(本小题满分 12 分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为 400 万元，每生产 1万部还需另投入 160 万元设公司一年内共生产该款手机 x(x40)万部并且全部销售完，每万部的收入为 R(x)万元，且 R(x)74 000 x400 000 x2.(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(万部)的函数关系式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 解析(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为WxR(x)(160 x400)x(74 000

13、x400 000 x2)(160 x400)74 000400 000 x160 x400 73 600400 000 x160 x(x40)(2)由(1)可得 W73 600400 000 x160 x 73 6002400 000 x160 x 73 60016 00057 600，当且仅当400 000 x160 x，即 x50 时取等号，所以当年产量为 50 万部时，公司在该款手机的生产中取得最大值 57 600 万元 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x2mxn(m，nR)(1)若 mn0，解关于 x 的不等式 f(x)x(结果用含 m 式子表示)；(2)若存在实数 m，使得当 xx|1x2时，不等式 xf(x)4x 恒成立，求负数 n 的最小值 解析(1)由题得：xx2mxm，即(xm)(x1)0；m1 时可得 xR；m1，可得不等式的解集为x|x1 或 xm；m1 时，m1，可得不等式的解集为x|xm 或 x1(2)xx|1x2时，xx2mxn4x 恒成立，即为 1xnxm4 对 xx|1x2恒成立，即存在实数 m，使得xnx1mxnx4 对 xx|1x2恒成立，所以(xnx1)maxm(xnx4)min，即(xnx1)max(xnx4)min.由 yxnx(n0)在1,2上递减，所以n2n2，即 n4，所以负数 n 的最小值为4.