2021年四川省乐山市中考数学试卷（含解析）.docx

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1、2021年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1（3分）（2021乐山）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作A5元B元C元D7元2（3分）（2021乐山）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是类型健康亚健康不健康数据（人3271A32B7CD3（3分）（2021乐山）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为A（元B（元C（元D（元4（3分）（2021乐山）如图，已知直线、两两相交，且，若，则的度数为ABC

2、D5（3分）（2021乐山）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为ABCD6（3分）（2021乐山）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转后，其主视图是ABCD7（3分）（2021乐山）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图” ，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为A3BC2D8（3分）（2021乐山）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长

3、线的垂线，垂足分别为点、若，则的值为ABC2D9（3分）（2021乐山）如图，已知，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为A4BCD510（3分）（2021乐山）如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点直线过原点和点若直线上存在点，满足，则的值为AB3或C或D3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11（3分）（2021乐山）12（3分）（2021乐山）因式分解： 13（3分）（2021乐山）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？（填“甲”或“乙” 14（3分）（2021乐山）如图，为了测

4、量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石碑顶点的仰角为，那么石碑的高度的长米（结果保留根号）15（3分）（2021乐山）在中，有一个锐角为，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为16（3分）（2021乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，于点，连接若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17（9分）（2021乐山）当取何正整数值时，代数式与的值的差大于118（9分）（2021乐山）如图已知，与相交于点，求证：19（9分）（2021乐山）已知，求、的值四、本大题共3个小题，

5、每小题10分，共30分.20（10分）（2021乐山）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解21（10分）（2021乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的，其余学生不参加捐款请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元

6、？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率22（10分）（2021乐山）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点若，且的面积为4（1）求的值；（2）当点的横坐标为时，求的面积五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23（10分）（2021乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反

7、比例函数的一部分（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由24（10分）（2021乐山）如图，已知点是以为直径的半圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25（12分）（2021乐山）在等腰中，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，则；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结在图2中补全图形；探究与的数

8、量关系，并证明；（3）如图3，若，且试探究、之间满足的数量关系，并证明26（13分）（2021乐山）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围2021年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1（3分）（2021乐山）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作A5元B元C元D7元【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答【解答】解：如果规定收入为正，

9、那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作元故选：【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示2（3分）（2021乐山）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是类型健康亚健康不健康数据（人3271A32B7CD【分析】根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率频数总数，进而得出答案【解答】解：抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果

10、为“健康”的有32人，测试结果为“健康”的频率是：故选：【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键3（3分）（2021乐山）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为A（元B（元C（元D（元【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答【解答】解：根据题意，得：（元，故选：【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格4（3分）（2021乐山）如图，已知直线、两两相交，且，若，则的度数为ABCD【分析】先求出的对顶角等于，再根据三角形的外角性质求出的度数【解答】解：如图，根据对顶角相等得：，是三角形的外角，故选：【点评】本题考查了对顶角和三角

11、形外角的性质，比较简单，属于基础题5（3分）（2021乐山）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为ABCD【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出，则的中点为，所以经过的中点，直线把平分，然后利用待定系数法求的解析式；【解答】解：如图，当，解得，则；当，则，的中点坐标为，直线把面积平分以经过的中点；直线过的中点，设直线的解析式为，把代入得，解得，的解析式为，故选：【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线过的中点是解题的关键6（3分）（2021乐山）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转后，其主视图是ABCD【分析】顺时

12、针旋转后，找到从正面看到的图形即可【解答】解：顺时针旋转后，从正面看第一列有一层，第二列有两层，故选：【点评】本题考查了三视图以及旋转的知识，考查了学生对立体图形的空间想象能力7（3分）（2021乐山）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图” ，图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为A3BC2D【分析】分别求出阴影部分平行四边形，三角形的面积可得结论【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积，阴影部分的三角形的面积，阴

13、影部分的面积，故选：【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题8（3分）（2021乐山）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、若，则的值为ABC2D【分析】设交于，根据已知可得，而，即可得到答案【解答】解：设交于，如图：菱形，中，中，中，故选：【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出，把转化为9（3分）（2021乐山）如图，已知，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为A4BCD5【分析】设点的坐标为，由点、的坐标得，则，由，得到，进而求解【解答】解：

14、设与、分别相切于点、，连接、，设圆的半径为，则，由题意知，则直线与轴的夹角为，则，由点、的坐标得，直线的表达式为，则点的坐标为，由点、的坐标得，则，与、分别相切于点、，故，在中，则，即，解得，故点的坐标为，将点的坐标代入得，故选：【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中10（3分）（2021乐山）如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点直线过原点和点若直线上存在点，满足，则的值为AB3或C或D3【分析】如图，作的外接圆，交直线于，连接，则满足条件想办法求出点的坐标，可得结论【解答】解：如图

15、，作的外接圆，交直线于，连接，则满足条件由题意，轴，是直角三角形，是的中点，直线的解析式为，此时，根据对称性可知，点关于点的对称点，综上所述，的值为或，故选：【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11（3分）（2021乐山）1【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案【解答】解：故答案为：1【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键12（3分）（2021乐山）因式分解：【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可【解答

16、】解：故答案为：【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键13（3分）（2021乐山）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？甲（填“甲”或“乙” 【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案【解答】解：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的方差为，乙的方差为，甲的成绩较稳定故答案为：甲【点评】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差14（3分）（2021乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石碑顶点的仰角为，那么石碑的高度的长米（

17、结果保留根号）【分析】设石碑的高度的长为米，和中，分别用含的代数式表示和，用列方程，即可解得，得到答案【解答】解：设石碑的高度的长为米，中，中，即，解得，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是用含的代数式表示和15（3分）（2021乐山）在中，有一个锐角为，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为2或【分析】分、两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可【解答】解：（1）当时，则，当点在线段上时，故，则；当点在的延长线上时，则为的等腰三角形则，（2）当时，同理可得，；故答案为2或【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是

18、本题解题的关键16（3分）（2021乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，于点，连接若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为【分析】当的值最大时，则值最大，即当最大时，的值最大，设，由，得到，进而求解【解答】解：过点作轴于点，作交于点，直线轴，故，当的值最大时，则值最大，故最小，即最大时，最大，即当最大时，的值最大，设，则，即，故当时，取得最大值，故，故答案为：【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定的值最大时，即最大，题目综合性强，难度适中三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17（9分）（2021乐山）当取何正整数值时，代数式与的

19、值的差大于1【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可【解答】解：依题意得：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：【点评】本题考查了解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为118（9分）（2021乐山）如图已知，与相交于点，求证：【分析】先证明出，进而得出，根据等腰三角形的性质得出结论【解答】证明：在与中，【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论

20、的关键19（9分）（2021乐山）已知，求、的值【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可【解答】解：，解得【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20（10分）（2021乐山）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解【分析】（1）由即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案【解答】解：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，即，；（2）二次函数图

21、象的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点关于直线对称，由图可知抛物线与轴一个交点为，另一个交点为，一元二次方程的解为，【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性21（10分）（2021乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的，其余学生不参加捐款请你估计周五这一天该校可

22、能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率【分析】（1）由加权平均数和众数的定义求解即可；（2）把零花钱多于15元的列式计算即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）这组数据的平均数（元，其中20元出现的次数最多，这组数据的众数为20元；（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：（元；（3）把捐款最多的两人记为、，另一个学校选出的两人记为、，画树状

23、图如图：共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，两人来自不同学校的概率为【点评】本题考查了利用列表或树状图求概率、条形统计图、加权平均数以及众数等知识；用的的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22（10分）（2021乐山）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点若，且的面积为4（1）求的值；（2）当点的横坐标为时，求的面积【分析】（1）由题意求得的面积为2，作轴于，证得，即可求得的面积为1，从而求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值；（2）由，求得，得到为，把代入反比例函数解析式求得的坐标，根据待定系数法求得直线解析式，然后解析式联立，解方程组求得的

24、坐标，最后根据即可求得【解答】解：（1），且的面积为4，的面积为2，作轴于，即，的面积为1，；（2）点的横坐标为，即，把代入得，设直线为，把、的坐标代入得，解得，直线为，解得或，【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出的面积；（2）求得点的坐标五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23（10分）（2021乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间（分钟）

25、变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；（2）求出解析式，得到时，由反比例函数可得时，根据，即可得到答案【解答】解：（1）设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为，当时，即对应的指标值为20；（2）设当时，的解析式为，将、代入得：，解得，的解析式为，当时，解得，由（1）得反比例函数的解析式为，当时，

26、解得，时，注意力指标都不低于36，而，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式24（10分）（2021乐山）如图，已知点是以为直径的半圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【分析】（1）连接，由，可得，而，可得，故可证，是的切线；（2）连接，设的半径为，由，可得，从而可用的代数式表示和，再根据是的切线用切割线定理列方程，即可解得的半径【解答】解：（1）连接，如图：，是的切线；（2）连接，如图：，中

27、，设的半径为，则，是的切线，解得或（舍去），的半径为【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25（12分）（2021乐山）在等腰中，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，则；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结在图2中补全图形；探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且试探究、之间满足的数量关系，并证明【分析】（1）由，可得，点关于直线的对称点为点，可得，即可得到答案；（2）根据题意补全图形即可；由已知得，从而

28、可得，即可得；（3）连接，根据已知可证，从而可得，又，即可得到【解答】解：（1），是等边三角形，点关于直线的对称点为点，；故答案为：；（2）补全图形如下：，证明如下：，是等边三角形，线段绕点顺时针旋转得到线段，即，在和中，；（3），证明如下：连接，如图：，即，在和中，而，即【点评】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于的等腰三角形是等边三角形26（13分）（2021乐山）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围【分析】（1）把,代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论（2）由题意，或时，取得最大值1,由此构建方程求解即可（3）把问题转化为不等式组，可得结论【解答】解：（1）二次函数的图象开口向上，经过点，,二次函数,在时，的最大值为1,时，时，,或,解得 (舍弃）或线段向右平移2个单位得到线段,线段与抛物线仅有一个交点,解得，或不等式组无解，【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题