2021年江苏省无锡市中考数学试卷（含解析）.docx

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1、2021年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1（3分）（2021无锡）-13的相反数是（）A-13B13C3D32（3分）（2021无锡）函数y=1x-2中自变量x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx23（3分）（2021无锡）已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（）A54，55B54，54C55，54D52，554（3分）（2021无锡）方程组x+y=5x-y=3的解是（）Ax=2y=3Bx=3y=2Cx=4y=1D

2、x=1y=45（3分）（2021无锡）下列运算正确的是（）Aa2+aa3B（a2）3a5Ca8a2a4Da2a3a56（3分）（2021无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD7（3分）（2021无锡）如图，D、E、F分别是ABC各边中点，则以下说法错误的是（）ABDE和DCF的面积相等B四边形AEDF是平行四边形C若ABBC，则四边形AEDF是菱形D若A90，则四边形AEDF是矩形8（3分）（2021无锡）一次函数yx+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=mx（m0）的图象交于点A（1，m），且AOB的面积为1，则m的值是（）A1B2C3D49（3分）（2021无

3、锡）在RtABC中，A90，AB6，AC8，点P是ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A点P是ABC三边垂直平分线的交点B点P是ABC三条内角平分线的交点C点P是ABC三条高的交点D点P是ABC三条中线的交点10（3分）（2021无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”；函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”；0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”；

4、2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”其中，正确的有（）ABCD二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11（2分）（2021无锡）分解因式：2x38x 12（2分）（2021无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 13（2分）（2021无锡）用半径为50，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 14（2分）（2021无锡）请

5、写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称： 15（2分）（2021无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米16（2分）（2021无锡）下列命题中，正确命题的个数为 所有的正方形都相似所有的菱形都相似边长相等的两个菱形都相似对角线相等的两个矩形都相似17（2分）（2021无锡）如图，在RtABC中，BAC90，AB22，AC6，点E在线段AC上，且AE1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF 18（2分）（2021无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，

6、点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数yx2的图象交于A、B两点，且CB3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x0），写出y关于x的函数表达式为： 三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）19（8分）（2021无锡）计算：（1）|-12|（2）3+sin30；（2）4a-a+82a20（8分）（2021无锡）（1）解方程：（x+1）240；（2）解不等式组：-2x+31x-1x3+121（8分）（2021无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，ABDC，ABODCO求证：（1）ABODCO；（2）O

7、BCOCB22（8分）（2021无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（1）取出的2张卡片数字相同；（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”23（8分）（2021无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调

8、查所得的数据整理如下：某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表锻炼次数x（代号）0x5（A）5x10（B）10x15（C）15x20（D）20x25（E）25x30（F）频数10a68c246频率0.05b0.34d0.120.03（1）表格中a ；（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？24（8分）（2021无锡）如图，已知锐角ABC中，ACBC（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB的平分线CD；作ABC的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=485，O的半径为5，则sinB （如

9、需画草图，请使用图2）25（8分）（2021无锡）如图，四边形ABCD内接于O，AC是O的直径，AC与BD交于点E，PB切O于点B（1）求证：PBAOBC；（2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE26（8分）（2021无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过

10、10件，则共有哪几种购买方式？27（10分）（2021无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数yax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数yax2+2x+c的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标28（10分）（2021无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等

11、腰直角三角形AEF，AEF90，设BEm（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，当m=13时，求线段CF的长；在PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式2021年江苏省无锡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1（3分）（2021无锡）-13的相反数是（）A-13B13C3D3【分析】求一个数

12、的相反数就是在这个数前面添上“”号【解答】解：-13的相反数是13故选：B【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆2（3分）（2021无锡）函数y=1x-2中自变量x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案【解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故选：A【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键3（3分）（2021无锡）已知一组

13、数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（）A54，55B54，54C55，54D52，55【分析】根据众数和中位数的定义求解即可【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58，中位数为54，55出现的次数最多，众数为55，故选：A【点评】本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键4（3分）（2021无锡）方程组x+y=5x-y=3的解是（）Ax=2y=3Bx=3y=2Cx=4y=1Dx=1y=4【分析】将两个方程相加，可消去y，得到x的一元一次方程，从而解得x4，再将x4代入解出y的值，即得答案【解

14、答】解：x+y=5x-y=3，+得：2x8，x4，把x4代入得：4+y5，y1，方程组的解为x=4y=1故选：C【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法5（3分）（2021无锡）下列运算正确的是（）Aa2+aa3B（a2）3a5Ca8a2a4Da2a3a5【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案【解答】解：Aa2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B（a2）3a6，故此选项不合题意；Ca8a2a6，故此选项不合题意；Da2a3a5，故此选项符合题意故选：D【点评】此题主要考查了合并同

15、类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法、除法运算法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键6（3分）（2021无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意故选：A【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，

16、旋转180度后与原图重合7（3分）（2021无锡）如图，D、E、F分别是ABC各边中点，则以下说法错误的是（）ABDE和DCF的面积相等B四边形AEDF是平行四边形C若ABBC，则四边形AEDF是菱形D若A90，则四边形AEDF是矩形【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可【解答】解：A连接EF，D、E、F分别是ABC各边中点，EFBC，BDCD，设EF和BC间的距离为h，SBDE=12BDh，SDCE=12CDh，SBDESDCE，故本选项不符合题意；BD、E、F分别是ABC各边中点，DEAC，DFAB，DEAF，DFAE，四边形AEDF是平行四边形，故本选项不符

17、合题意；CD、E、F分别是ABC各边中点，DE=12AC，DF=12AB，若ABBC，则DEDF，四边形AEDF是平行四边形，四边形AEDF是菱形，故本选项符合题意；D四边形AEDF是平行四边形，若A90，则四边形AEDF是矩形，故本选项不符合题意；故选：C【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键8（3分）（2021无锡）一次函数yx+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=mx（m0）的图象交于点A（1，m），且AOB的面积为1，则m的值是（）A1B2C3D4【分析】由已知得B（n，0），而A（1，m）在一次函数yx+

18、n的图象上，可得nm1，即B（1m，0），根据AOB的面积为1，可列方程12|1m|m1，即可解得m2【解答】解：在yx+n中，令y0，得xn，B（n，0），A（1，m）在一次函数yx+n的图象上，m1+n，即nm1，B（1m，0），AOB的面积为1，m0，12OB|yA|1，即12|1m|m1，解得m2或m1（舍去），m2，故选：B【点评】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是根据AOB的面积为1列方程9（3分）（2021无锡）在RtABC中，A90，AB6，AC8，点P是ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A点P是ABC三边垂直平分线的

19、交点B点P是ABC三条内角平分线的交点C点P是ABC三条高的交点D点P是ABC三条中线的交点【分析】过P作PDAC于D，过P作PEAB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设ADPEx，AEDPy，则AP2+CP2+BP23（x2）2+3（y-83）2+2003，当x2，y=83时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时ADPE2，AEPD=83，由AMPD=ACCD，得AM4，M是AB的中点，同理可得AN=12AC，N为AC中点，即P是ABC三条中线的交点【解答】解：过P作PDAC于D，过P作PEAB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：A90，PDAC，PEAB，四边形

20、AEPD是矩形，设ADPEx，AEDPy，RtAEP中，AP2x2+y2，RtCDP中，CP2（6x）2+y2，RtBEP中，BP2x2+（8y）2，AP2+CP2+BP2x2+y2+（6x）2+y2+x2+（8y）23x212x+3y216y+1003（x2）2+3（y-83）2+2003，x2，y=83时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时ADPE2，AEPD=83，A90，PDAC，PDAB，AMPD=ACCD，即AM83=64，AM4，AM=12AB，即M是AB的中点，同理可得AN=12AC，N为AC中点，P是ABC三条中线的交点，故选：D【点评】本题考查直角三角形中的最小值，涉及勾

21、股定理、二次函数的最大值、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是求出ADPE2，AEPD=8310（3分）（2021无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”；函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”；0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”；2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”其中，正确的有（）ABCD【分析】根据当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近

22、函数”，axb为“逼近区间”，逐项进行判断即可【解答】解：y1y22x7，在1x2上，当x1时，y1y2最大值为9，当x2时，y1y2最小值为11，即11y1y29，故函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”不正确；y1y2x2+5x5，在3x4上，当x3时，y1y2最大值为1，当x4时，y1y2最小值为1，即1y1y21，故函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”正确；y1y2x2+x1，在0x1上，当x=12时，y1y2最大值为-34，当x0或x1时，y1y2最小值为1，即1y1y2-34，当然1y1y21也成立，故0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”正确；y1y2x

23、2+5x5，在2x3上，当x=52时，y1y2最大值为54，当x2或x3时，y1y2最小值为1，即1y1y254，故2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”不正确；正确的有，故选：A【点评】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11（2分）（2021无锡）分解因式：2x38x2x（x2）（x+2）【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式【解答】解：2x38x，2x（x24），2x（x+

24、2）（x2）【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式12（2分）（2021无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 3.2108【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【解答】解：

25、3200000003.2108，故选：3.2108【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值13（2分）（2021无锡）用半径为50，圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 503【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2r=12050180，解得r=503故答案为：503【点评】本题考查了圆锥的计算圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长14（2分）（2021无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二

26、、四象限且关于原点对称：y=-1x答案不唯一【分析】根据反比例函数的性质得到k0，然后取k1即可得到满足条件的函数解析式【解答】解：若反比例函数y=kx（k是常数，且k0）的图象在第二、四象限，则k0，故k可取1，此时反比例函数解析式为y=-1x故答案为：y=-1x答案不唯一【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=kx（k0）的图象是双曲线；当k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限15（2分）（2021无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 102米【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平

27、距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案【解答】解：设上升的高度为x米，上山直道的坡度为1：7，水平距离为7x米，由勾股定理得：x2+（7x）21002，解得：x1102，x2102（舍去），故答案为：102【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键16（2分）（2021无锡）下列命题中，正确命题的个数为 1所有的正方形都相似所有的菱形都相似边长相等的两个菱形都相似对角线相等的两个矩形都相似【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意；所有的菱形都相似，错误，不符合题

28、意；边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，正确的有1个，故答案为：1【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大17（2分）（2021无锡）如图，在RtABC中，BAC90，AB22，AC6，点E在线段AC上，且AE1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF263【分析】由折叠的性质可得ABFG22，AEEF1，BACEFG90，在RtEFG中，由勾股定理可求EG3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在RtAHF中，由勾股定理可求AF【解

29、答】解：如图，过点F作FHAC于H，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，ABFG22，AEEF1，BACEFG90，EG=EF2+FG2=1+8=3，sinFEG=HFEF=FGEG，HF1=223，HF=223，cosFEG=EHEF=EFEG，EH1=13，EH=13，AHAE+EH=43，AF=AH2+HF2=169+89=263，故答案为：263【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键18（2分）（2021无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数yx2的图象

30、交于A、B两点，且CB3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x0），写出y关于x的函数表达式为：y=83x2【分析】过A作ADy轴于D，过B作BEy轴于E，又CB3AC，得CE3CD，BE3AD，设ADm，则BE3m，A（m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（32m，6m2），即可得y=83x2【解答】解：过A作ADy轴于D，过B作BEy轴于E，如图：ADy轴，BEy轴，ADBE，ACBC=CDCE=ADBE，CB3AC，CE3CD，BE3AD，设ADm，则BE3m，A、B两点在二次函数yx2的图象上，A（m，m2），B（3m，9m2），O

31、Dm2，OE9m2，ED8m2，而CE3CD，CD2m2，OC3m2，C（0，3m2），P为CB的中点，P（32m，6m2），又已知P（x，y），x=32my=6m2，y=83x2；故答案为：y=83x2【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）19（8分）（2021无锡）计算：（1）|-12|（2）3+sin30；（2）4a-a+82a【分析】（1）根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求

32、出答案（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案【解答】解：（1）原式=12+8+121+89（2）原式=82a-a+82a=-a2a =-12【点评】本题考查分式的运算以及实数的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及绝对值的意义，乘方的意义和特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型20（8分）（2021无锡）（1）解方程：（x+1）240；（2）解不等式组：-2x+31x-1x3+1【分析】（1）利用直接开平方求解即可（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：（1）（x+1）240，（x+1）24，x+12，解得：x11，x23（2）-2x+31x-1x3+1，由得

33、，x1，由得，x3，故不等式组的解集为：1x3【点评】本题考查的是解一元二次方程以及一元一次不等式组，熟练掌握平方根的定义以及求不等式解集的原则是解答此题的关键21（8分）（2021无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，ABDC，ABODCO求证：（1）ABODCO；（2）OBCOCB【分析】（1）由已知条件，结合对顶角相的可以利用AAS判定ABODCO；（2）由等边对等角得结论【解答】证明：（1）AOBCOD，ABODCO，ABDC，在ABO和DCO中，AOB=CODABO=DCOAB=DC，ABODCO（AAS）；（2）由（1）知，ABODCO，OBOCOBCOCB【点评】此题考查了全等

34、三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用证明三角形全等是解答本题的关键22（8分）（2021无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（1）取出的2张卡片数字相同；（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结

35、果有7种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）画树状图如图：共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，取出的2张卡片数字相同的概率为416=14；（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为716【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件23（8分）（2021无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传

36、发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表锻炼次数x（代号）0x5（A）5x10（B）10x15（C）15x20（D）20x25（E）25x30（F）频数10a68c246频率0.05b0.34d0.120.03（1）表格中a42；（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？【分析】（1）根据B组所占的百分比是21%，即可求得a的值；（2）根据其他各组的频率求出D

37、组的频率得出C组、D组所占的百分比，补全扇形统计图即可（3）利用总人数1500乘以对应的频率即可求得【解答】解：（1）a20021%42（人），故答案为：42；（2）b21%0.21，C组所占的百分比c0.3434%，D组所占的百分比是：d10.050.210.340.120.030.2525%，扇形统计图补充完整如图：；（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500（0.34+0.25+0.12+0.03）1110（人）答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图表，从不同的统计图中得到必要的信息是解决

38、问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小24（8分）（2021无锡）如图，已知锐角ABC中，ACBC（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB的平分线CD；作ABC的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=485，O的半径为5，则sinB45（如需画草图，请使用图2）【分析】（1）利用尺规作出ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作O即可（2）连接OA，设射线CD交AB于E利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论【解答】解：（1）如图，射线CD，O即为所求（2）连接OA，设射线CD交AB

39、于ECACB，CD平分ACB，CDAB，AEEB=245，OE=OA2-AE2=52-(245)2=75，CEOC+OE5+75=325，ACBC=AE2+EC2=(245)2+(325)2=8，sinB=ECBC=3258=45故答案为：45【点评】本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题25（8分）（2021无锡）如图，四边形ABCD内接于O，AC是O的直径，AC与BD交于点E，PB切O于点B（1）求证：PBAOBC；（2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质证得ACB+BACP

40、BC+ABO90，结合等腰三角形的性质即可证得结论；（2）由三角形外角的性质求出AOBACB+OBC40，得到AOBACD，由圆周角的性质得到CDEBAO，根据相似三角形的判定即可证得OABCDE【解答】证明：（1）AC是O的直径，ABC90，ACB+BAC90，PB切O于点B，PBA+ABO90，OAOBOC，BAOABO，OBCACB，OBC+ABOPBC+ABO90，PBAOBC；（2）由（1）知，PBAOBCACB，PBA20，OBCACB20，AOBACB+OBC20+2040，ACD40，AOBACD，BC=BC，CDECDBBACBAO，OABCDE【点评】本题主要考查了相似三角

41、形的判定，圆周角定理，切线的性质，根据根据圆周角定理和切线的性质证得ACB+BACPBC+ABO90是解决问题的关键26（8分）（2021无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，根据数量总价单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入4x，3x中即可求出结论；（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，利用总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且4m10，即可得出各购买方案【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，依题意得：6004x+1