九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形3相似三角形的周长与面积习题课件新人教版20200326528.ppt

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1、27.2.3相似三角形的周长与面积 1.1.掌握相似三角形的掌握相似三角形的对应线对应线段段(角平分角平分线线、中、中线线、高、高线线)的比等的比等于相似比于相似比.(.(重点重点)2.2.理解并掌握相似三角形周理解并掌握相似三角形周长长的比等于相似比的比等于相似比,面面积积的比等于的比等于相似比的平方相似比的平方.(.(难难点点)3.3.能能应应用相似三角形的性用相似三角形的性质进质进行行证证明或明或计计算及解决算及解决简单简单的的实际实际问题问题.(.(重点、重点、难难点点)一、相似三角形中重要线段的比一、相似三角形中重要线段的比【总结总结】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应相似

2、三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于中线的比都等于_.相似比相似比二、相似图形周长的比与面积的比二、相似图形周长的比与面积的比已知：已知：ABCABCABCABC，ABCABC与与ABCABC的相似比的相似比为为k.k.【思考思考】(1)ABC(1)ABC与与ABCABC周长的比和相似比周长的比和相似比k k有何有何关系？关系？提示提示:ABCABC,=k,ABCABC,=k,AB=AB=_,BC=,BC=_,AC=,AC=_,kABkABkBCkBCkACkAC(2)ABC(2)ABC与与ABCABC的面积之比和相似比的面积之比和相似比k k有何关系？有何关系？提示提示:若

3、若CDCD，CDCD分别是分别是ABAB，ABAB边上的高，则边上的高，则 =k.=k.SSABCABC=AB=ABCD,SCD,SABCABC=AB=ABCD.CD.(3)(3)对于两个相似的多边形，可以转换为相似三角形的问题，对于两个相似的多边形，可以转换为相似三角形的问题，得到它们的周长的比与面积的比得到它们的周长的比与面积的比.【归纳归纳】1.1.相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于_，面积比等于相似，面积比等于相似比的平方比的平方.2.2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似比相似比 （打（打“”“”或

4、或“”）（1 1）两个相似三角形的相似比为）两个相似三角形的相似比为3 3，则它们面积的比为，则它们面积的比为6.6.（）（2 2）如果把一个多边形的各边都扩大）如果把一个多边形的各边都扩大5 5倍，则这个多边形的面倍，则这个多边形的面积扩大积扩大2525倍倍.（）（3 3）ABCABC与与DEFDEF的相似比为的相似比为2323，则，则DEFDEF与与ABCABC的周长的周长之比为之比为49.49.（）知识点知识点 1 1 相似相似图图形的周形的周长长与面与面积积【例例1 1】(2013(2013内江中考内江中考)如如图图,在在ABCDABCD中中,E E为为CDCD上一点上一点,连连接接A

5、E,BD,AE,BD,且且AE,BDAE,BD交于点交于点F,F,S SDEFDEFS SABFABF=425,=425,则则DEEC=(DEEC=()A.25A.25 B.23 B.23C.35C.35 D.32 D.32【思路点拨思路点拨】平行四边形性质平行四边形性质ABCDDEFBAF ABCDDEFBAF 的值的值 的值的值.【自主解答自主解答】选选B.B.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCDABCD，ABABCDCD，DEFBAFDEFBAF，【总结提升总结提升】相似图形的周长与面积的计算相似图形的周长与面积的计算1.1.常见图形结构：常见图形结构：“A

6、A”型图与型图与“X X”型图，应用平行线构造相型图，应用平行线构造相似三角形，常与平行四边形联系在一起似三角形，常与平行四边形联系在一起.2.2.解题关键：一是准确把握相似三角形的周长的比与面积的比解题关键：一是准确把握相似三角形的周长的比与面积的比和相似比的关系；二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积和相似比的关系；二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积之间的相等关系之间的相等关系.知识点知识点 2 2 相似三角形中的重要线段相似三角形中的重要线段【例例2 2】如图，在如图，在ABCABC中，中，C=45C=45，BC=10BC=10，高，高AD=8AD=8，矩形，矩形EFPQEFPQ的一

7、边的一边QPQP在在BCBC边上，边上，E E，F F两点分别在两点分别在ABAB，ACAC上，上，ADAD交交EFEF于于点点H.H.（1 1）求证：）求证：（2 2）设）设EF=xEF=x，当，当x x为何值时，矩形为何值时，矩形EFPQEFPQ的的面积最大？并求其最大值面积最大？并求其最大值.【思路点拨思路点拨】(1)(1)矩形的性质矩形的性质EFBCAEFABCEFBCAEFABC结论结论.(2)(2)相似的性质相似的性质AHAH与与EFEF的关系的关系列函数关系式列函数关系式配方求最大配方求最大值值.【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形EFPQEFPQ是矩形是矩形,EFQP,

8、EFQP,EFBC,AEFABC.EFBC,AEFABC.又又ADBC,AHEF,ADBC,AHEF,(2)(2)由由(1)(1)得得 ,AH=x,AH=x,EQ=HD=AD-AH=8-x,EQ=HD=AD-AH=8-x,SS矩形矩形EFPQEFPQ=EF=EFEQ=x(8-x)=-xEQ=x(8-x)=-x2 2+8x=-(x-5)+8x=-(x-5)2 2+20.+20.-0,-0,当当x=5x=5时时,S,S矩形矩形EFPQEFPQ有最大值有最大值,最大值为最大值为20.20.【总结提升总结提升】运用相似三角形对应边上高的比的两注意运用相似三角形对应边上高的比的两注意1.1.图形：相似三

9、角形对应边上高的比常见图形如下，即三角形图形：相似三角形对应边上高的比常见图形如下，即三角形中存在一个矩形中存在一个矩形.2.2.方法：习惯上，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比方法：习惯上，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解列方程求解.题组一题组一:相似图形的周长与面积相似图形的周长与面积1.1.三角形的一条中位线将这个三角形分成两部分，这两部分中三角形的一条中位线将这个三角形分成两部分，这两部分中较小部分与较大部分的面积之比是较小部分与较大部分的面积之比是()()A.12 B.13 C.14 D.23A.12 B.13 C.14 D.23【解析解析】选选B.B.利用相似三

10、角形的面积比等于相似比的平方，较利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，较小部分是三角形，与原三角形相似，相似比是小部分是三角形，与原三角形相似，相似比是1212，它们的面，它们的面积比是积比是1414，故较小部分与较大部分的面积比是，故较小部分与较大部分的面积比是13132.2.已知两个相似三角形的相似比已知两个相似三角形的相似比为为23,23,面面积积之差之差为为25cm25cm2 2,则较则较大三角形的面大三角形的面积为积为()A.45cmA.45cm2 2B.50cmB.50cm2 2C.65cmC.65cm2 2D.75cmD.75cm2 2【解析解析】选选A.A.因为相似三角形的面

11、积比等于相似比的平方因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,则则根据已知条件知这两个相似三角形的面积比为根据已知条件知这两个相似三角形的面积比为49,49,因此因此,可设可设这两个三角形的面积分别为这两个三角形的面积分别为4k4k和和9k,9k,再由已知可得再由已知可得9k-4k=25,9k-4k=25,解出解出k=5,k=5,则较大三角形的面积为则较大三角形的面积为45cm45cm2 2.3.3.如如图图,DE,DE是是ABCABC的中位的中位线线,M,M是是DEDE的中点的中点,CM,CM的延的延长线长线交交ABAB于于点点N,N,则则S SDMNDMNSS四四边边形形ANMEANME等于

12、等于()A.15A.15 B.14 B.14 C.25 C.25 D.27 D.27【解析解析】选选A.A.由由NDMNBC,MNDMNBC,M为为DEDE的中点的中点,NDNB,NDNB=DMBC=14,=DMBC=14,所以所以NDDA=NDDB=13,NDDA=NDDB=13,则则S SDMNDMNSSDAEDAE=16,=16,故故S SDMNDMNSS四边形四边形ANMEANME=15.=15.4.(20124.(2012宜宜宾宾中考中考)如如图图,在四在四边边形形ABCDABCD中中,DCAB,CB,DCAB,CBAB,AB=AD,CD=AB,AB,AB=AD,CD=AB,点点E,

13、FE,F分分别为别为AB,ADAB,AD的中点的中点,则则AEFAEF与多与多边边形形BCDFEBCDFE的面的面积积之比之比为为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.连接连接BD,BD,得得EFEF为为ABDABD的中位线的中位线,故故AEFAEFABD,SABD,SABDABD=4S=4SAEFAEF,由由AB=2CDAB=2CD且且ABCDABCD得得S SABDABD=2S=2SBCDBCD,SS梯形梯形ABCDABCD=6S=6SAEFAEF,故故AEFAEF与多边形与多边形BCDFEBCDFE的面积比为的面积比为15,15,故选故选C.C.5.(20135.(

14、2013重庆中考重庆中考)已知已知ABCDEFABCDEF，若，若ABCABC与与DEFDEF的相的相似比为似比为3434，则，则ABCABC与与DEFDEF的面积之比为的面积之比为()()A.43 B.34 C.169 D.916A.43 B.34 C.169 D.916【解析解析】选选D.ABCDEFD.ABCDEF，且相似比为，且相似比为3434，ABCABC与与DEFDEF的面积比为的面积比为3 32 2442 2，即，即ABCABC与与DEFDEF的面积比的面积比为为916.916.6.(20136.(2013台州中考台州中考)如如图图,在在ABCABC中中,点点D,ED,E分分别别

15、在在边边AB,ACAB,AC上上,且且 ,则则S SADEADESS四四边边形形BCEDBCED的的值为值为()A.1A.1 B.12 B.12 C.13 C.13 D.14 D.14【解析解析】选选C.C.因为因为 ,A=A,A=A,所以所以ADEACBADEACB且且相似比为相似比为12,12,所以面积比为所以面积比为14,14,所以所以S SADEADESS四边形四边形BCEDBCED的值为的值为13.13.7.7.已知已知ABCABC的三的三边长边长分分别为别为5,12,13,5,12,13,与其相似的与其相似的ABCABC的最大的最大边长为边长为26,26,求求ABCABC的面的面积

16、积S.S.【解析解析】设设ABCABC的三边依次为的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,BC=5,AC=12,AB=13,则则ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2,C=90,C=90.又又ABCABC,C=C=90ABCABC,C=C=90.又又BC=5,AC=12,BC=5,AC=12,BC=10,AC=24.BC=10,AC=24.S=ACS=ACBC=BC=242410=120.10=120.题组二题组二:相似三角形中的重要线段相似三角形中的重要线段1.1.两个相似三角形对应高之比为两个相似三角形对应高之比为1212，那么它们对应中线之比，那么它们对应中线之比为为(

17、)()A.12 B.13 C.14 D.18A.12 B.13 C.14 D.18【解析解析】选选A.A.两个相似三角形对应高之比为两个相似三角形对应高之比为1212，两个相似三角形的相似比为两个相似三角形的相似比为1212，它们对应中线之比为它们对应中线之比为12.12.2.2.如图，电灯如图，电灯P P在横杆在横杆ABAB的正上方，的正上方，ABAB在灯光下的影子为在灯光下的影子为CDCD，ABCDABCD，AB=2 mAB=2 m，CD=5 mCD=5 m，点，点P P到到CDCD的距离是的距离是3 m3 m，则，则P P到到ABAB的的距离是距离是()()A.m B.m C.m D.m

18、A.m B.m C.m D.m【解析解析】选选C.C.相似三角形的对应边上高的比等于相似相似三角形的对应边上高的比等于相似比，比，即，即解得解得P P到到ABAB的距离的距离=m.=m.3.3.已知，已知，ABCDEFABCDEF，BGBG，EHEH分别是分别是ABCABC和和DEFDEF的角平分的角平分线，线，BC=6 cmBC=6 cm，EF=4 cmEF=4 cm，BG=4.8 cm.BG=4.8 cm.求求EHEH的长的长.【解析解析】ABCDEFABCDEF，BGBG，EHEH分别是分别是ABCABC和和DEFDEF的角平的角平分线，分线，,即即解得解得EH=3.2 cm.EH=3.2 cm.【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知已知:如如图图,平行四平行四边边形形ABCDABCD中中,AEEB=12.AEEB=12.(1)(1)求求AEFAEF与与CDFCDF的周的周长长的比的比.(2)(2)如果如果S SAEFAEF=6=62 2,求求S SCDFCDF.提示提示:面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方.