小船渡河数学模型.pdf

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1、 .1/5 小船过河 数 学 模 型 .2/5 1.问题与背景 一只小船度过宽度为 d 的河流，目标是起点 A 正对着的另一岸的 B点。建立小船渡河航线模型，并分析研究小船的渡河航行时间。2.问题假设和分析 假设河水流速 v1 与船在静水中的速度 v2 之比为 K。在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉与到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度方向的运动；另一个是受水流作用使得小船具有速度方向的运动。3.模型建立 以 B 为坐标原点，BA 所在的线段为 x 轴的正半轴建立如图一所示的坐标系。设小船航迹为 y=y(x)，由运动力学知，小船实际速度 v=

2、v1+v2，设小船与 B 点连线与 x 轴正方向夹角为，则 V=iv2cosj(v1v2sin)即 .3/5=v2cos，=v1v2sin 设小船 t 时刻位于点（x，y）处，显然有 cos=，sin=即=v2，=v1v2 所以=(v1v2)/(v2)于是初值问题(x2+y2)1/2=k，0 xd y(d)=0 即为小船航迹应满足的数学模型，它是一阶齐次微分方程。4.模型求解 假设 d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s 令=u，则 y=ux，=x u，把它们带入初值问题，整理，得 x=k(1u2)1/2 对上式分离变量并积分，得 arshu=ln(u(1u2)1/2)=k(lnxlnC)带入初始条件 x=d，u=0，得 C=，所以 .4/5 ln(u(1u2)1/2)=kln=ln()k 从而 u=sh(ln()k)=()k()k 带入 u=，得 y=()k()k=()1k()1+k，0 xd 5.结果分析 小船航线的参数方程为=，x(0)=d=1，y(0)=0 由 Matlab 求解数值和画图,Matlab 程序如下：.5/5 通过数值解求出小船渡河的时间为 66.65s 6.参考文献 司守奎.数学建模算法与应用.国防工业,2013.1