反比例函数----动点、面积专题(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上反比例函数 -动点、面积专题一、解答题（共7小题）1、已知反比例函数y=的图象经过点A（，1）（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M若线段PM上存在一点Q，使得OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n22n+9的值2、已知：反比例函数y=（k0）经过点B（1，1）（1）求该反比例函数解析式；（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将OAB绕点O按顺时针方向旋转

2、135得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，）（其中m0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FMx轴于点M，连接EM，使OEM的面积是，求代数式的值3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数y=mx的图象的一个交点（1）求这两个函数的解析式；（2）在反比例函数y=mx的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ的面积是OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由4、如图，已

3、知：一次函数：y=x+4的图象与反比例函数：y=2x（x0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA

4、垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象

5、限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值7、如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个动点（ab，ac），且始终有OP=OQ（1）求证：a=d，b=c；（2）P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M、N求证：PQP1Q1；求四边形PQNM的面积S能否等于85？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由反比例动点与面积 答案与评分标准一、解答题（共7小题）1、已知反比例函数y=kx的图象经过点A（3，1）（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点

6、，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，3m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M若线段PM上存在一点Q，使得OQM的面积是12，设Q点的纵坐标为n，求n223n+9的值考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。专题：综合题。分析：（1）由于反比例函数y=kx的图象经过点A（3，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，AOC的大小，然后根据旋转的性质得出AOB=30，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是

7、否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m，3m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由OQM的面积是12，根据三角形的面积公式及m0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n223n+9的值解答：解：（1）由题意得1=k3，解得k=3，反比例函数的解析式为y=3x；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C在RtAOC中，OC=3， AC=1，OA=OC2+AC2=2，AOC=30，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB，AOB=30，OB=OA=2，BOC=60过点B作x轴的垂线交x轴于点D在RtBOD中，BD

8、=OBsinBOD=3，OD=12OB=1，B点坐标为（1，3），将x=1代入y=3x中，得y=3，点B（1，3）在反比例函数y=3x的图象上（3）由y=3x得xy=3，点P（m，3m+6）在反比例函数y=3x的图象上，其中m0，m（3m+6）=3，m2+2m+1=0，PQx轴，Q点的坐标为（m，n）OQM的面积是12，12OMQM=12，m0，mn=1，m2n2+23mn2+n2=0，n223n=1，n223n+9=8点评：本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=1作为一个整体代

9、入，有一定的技巧性，使计算简便2、已知：反比例函数y=kx（k0）经过点B（1，1）（1）求该反比例函数解析式；（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将OAB绕点O按顺时针方向旋转135得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，32m1）（其中m0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FMx轴于点M，连接EM，使OEM的面积是22，求代数式n2+2n23的值考点：反比例函数综合题。分析：（1）函数式y=kx，且过（1，1）点，代入可确定k的值，从而求出函数式（2）因为OAB是等腰直角三角形，旋转

10、后求出A和B的坐标，从而求出AB中点的坐标，可判断是否在双曲线线上（3）因为EH=n，0M=m，OEM的面积是22，从而可求出n和m的关系式，因为F在反比例函数图象上，代入函数式，可求出结果解答：解：（1）反比例函数解析式：y=1x；（1分）（2）已知B（1，1），A（2，0）OAB是等腰直角三角形顺时针方向旋转135，B（0，2），A（2，2）中点P为（22，2）（2分）（22）（2）=1（3分）点P在此双曲线上（4分）（3）EH=n，0M=m SOEM=12OMEH=12mn=22，m=2n（5分）又F（m，32m1）在函数图象上 m（32m1）=1（6分）将m=2n代入上式，得32（2n

11、）22n=1，n2+2n=3，n2+2n23=3（7分）点评：本题考查反比例函数的综合应用，关键是知道用已知点确定反比例函数式k的值，进而确定函数式，以及反比例函数上的点，和由这点做顶点的三角形的面积的关系3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数y=mx的图象的一个交点（1）求这两个函数的解析式；（2）在反比例函数y=mx的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ的面积是OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。分析：（1）从图象上可看到正

12、比例函数y=kx和反比例函数y=mx都过（1，2）点，从而可求出函数式（2）P是反比例函数上的一点，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，所以OPA的面积是12m，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，Q点的坐标为（x，kx），所以根据OBQ的面积是OPA的面积的2倍可列方程求解解答：解：（1）y=kx过（1，2）点，k=2，y=2xy=mx过（1，2）点，m=2y=2x；（2）OPA的面积是12m=1，Q点的坐标为（x，2x），12|x|2x|=2，x=2，因为在第二象限所以Q点的坐标为（2，22），或（2，22）点评：本题考查反比例函数的综合运用，关键能够熟练确定函数式，并能够掌握由

13、函数图象上的点作为顶点的三角形面积和函数坐标之间的关系4、如图，已知：一次函数：y=x+4的图象与反比例函数：y=2x（x0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小考点：反比例函数综合题；一次函数的图象。专题：计算题。分

14、析：（1）已知M点坐标，根据M点在一次函数：y=x+4的图象上，代入把M点纵坐标用x表示出来，从而表示出矩形MM1OM2的面积为S1；（2）观察图形S1、S2，观察反比例函数在一次函数上方还是下方，从而比较其大小解答：解：（1）M的坐标为（x，y），M点在还函数y=x+4的图象上，y=x+4，S1=xy=x（x+4）=x2+4x=（x2）2+4，当x=2时，S1最大值=4；（2）设N（x1，y1），点N在反比例函数：y=2x图象上，S2=x1y1=2，由S1=S2可得：x2+4x=2，即x24x2=0，x=22，通过观察图象可得：当x=22时，S1=S2，当0x22或x2+2时，S1S2，当2

15、2x2+2时，S1S2点评：此题考查一次函数和反比例函数的性质及应用，学会通过图象比较面积的大小，比较简单5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题。专题：代数综合题。分析：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，正比例函数的解析式为y=kx把点M（2，1）分别代入其函数解析

16、式，运用待定系数法即可求出对应的函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，12x），使得OBQ与OAP面积相等，则B（0，12x）根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，正比例函数的解析式为y=kx正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），1=k2，1=2k，k=2，k=12正比例函数的解析式为y=12x，反比例函数的解析式为y=2x（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，12x），使得OBQ与OAP面积相等，则B（0，12x）SOBQ=SOAP，12x12x=1

17、221，解得x=2当x=2时，12x=1；当x=2时，12x=1故在直线MO上存在这样的点Q（2，1）或（2，1），使得OBQ与OAP面积相等点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式及三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如

18、图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值考点：反比例函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（2）因为P（1，2）为双曲线Y=2X上的一点，所以OBQ、OAP面积为2，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长

19、的最小值就只需求OQ的最小值解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（2，1）坐标代入得k=12，所以正比例函数解析式为y=12x，同样可得，反比例函数解析式为y=2x；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，12m），于是SOBQ=12|OBBQ|=1212mm=14m2，而SOAP=12|（1）（2）|=1，所以有，14m2=1，解得m=2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（2，1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分

20、）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，2n），由勾股定理可得OQ2=n2+4n2=（n2n）2+4，所以当（n2n）2=0即n2n=0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（5+2）=25+4（10分）点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强要注意对各个知识点的灵活应用7、如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个动点（ab，ac），且始终有OP=OQ（1）求证：a=d，

21、b=c；（2）P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M、N求证：PQP1Q1；求四边形PQNM的面积S能否等于85？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定。专题：证明题；探究型。分析：（1）由于点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个点，所以可用含a、c的代数式分别表示b、d，然后由OP=OQ，列出等式，将式子变形，即可得出结果；（2）首先求出点P1、Q1的坐标，根据（1）的结论，把点P1、Q1、P、Q四点的坐标都用含a、b的代数式

22、分别表示，然后运用待定系数法分别求出直线PQ与直线P1Q1的解析式，发现它们的斜率相同，因而得出PQP1Q1如果设PP1与y轴交于点A，QQ1与x轴交于点B，过点P作PDx轴于点D，则SOPQ=S梯形PDBQ=12（a+b）（ba）设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出SOMN的值，再根据四边形PQNM的面积S等于85，列出方程，求出解即可解答：解：（1）点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个动点（ab，ac），ab=1，cd=1，即b=1a，d=1c又OP=OQ，a2+b2=c2+d2，即a2+（1a）2=（

23、1d）2+d2，（ad1）（ad）=0ad1，a=d，同理可得b=c；（2）P1是点P（a，b）关于y轴的对称点，P1（a，b），由（1）知，a=d，b=c，Q（c，d）即为Q（b，a），Q1是点Q关于x轴的对称点，Q1（b，a），运用待定系数法求得直线PQ的解析式为y=x+a+b，直线P1Q1的解析式为y=x+ba，PQP1Q1如图，设PP1与y轴交于点A，QQ1与x轴交于点B，过点P作PDx轴于点D则SOPQ=S五边形OAPQBSOAPSOQB=S五边形OAPQBSOAPSOPD=S梯形PDBQ=12（a+b）（ba）设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C则C（0，a+b），E（0，ba）SOMN：SOPQ=（OE：OC）2=（baa+b）2，SOMN=12（a+b）（ba）（baa+b）2=12（ba）3a+b，S四边形PQNM=SOPQSOMN=12（a+b）（ba）12（ba）3a+b=12（ba）（a+b）2（ab）2a+b=12（ba）4a+b=85，解得b=9a，ab=1，a=13，b=3P（13，3）点评：本题综合考查了运用待定系数法求函数的解析式，反比例函数、相似三角形的性质等知识，难度很大专心-专注-专业