线性代数作业答案.doc

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1、第一章 行列式1.1 二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、2、3、二、解方程1、解：计算行列式得，因此2、解：计算行列式得，得，因此1.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、2、3、4、5、 将第2、3、4列乘以-1加到第一列得6、 将第2、3、4行全部加到第1行 将第1行乘以-1加到第2、3、4行二、计算下列行列式1、 第1行加到第2、3行2、 按第1列展开3、 按第4行展开4、 按第1行展开5、 第1列乘以-1加到第2、3、4列 第2列乘以-1加到第3、4列计算下列n阶行列式：1、 按第1列展开2、 将第2、3、n行全部加到第1行 第1行乘以-1加到以下各行3、 范德蒙行列式4、

2、已知，计算 和 .解：将上式设为，此式设为，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做：题目中的原行列式设为由行列式的性质得：则：三、解下列方程1、解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得将1、2、3列加到第4列得将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此，因此，2、解：此行列式是范德蒙行列式，得因此，3、解：由行列式的加法则，再相加，此行列式为范德蒙行列式得因此1.4 克莱姆法则一、解线性方程组1、解：，解得2、解：，解得二、求一个二次多项式使得解：设，解得三、已知线性方程组只有零解，求的取值范围解：系数行列式为，因此四、设线性方程组有非零解，则应取何值？若线性方程组的右端变为

3、2，3，2，则为何值时，新的线性方程组有唯一解？解：系数行列式为则当时方程组有非零解；若线性方程组的右端变为2，3，2，则当时方程组有唯一解第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵，且，则.说明：2、的充分必要条件是.二、选择题1、设都是阶矩阵，则的充分必要条件是（ C ）.(A) (B) (C) AB=BA (D) 2、设都是阶矩阵，则（ C ）.(A) (B) (C) (D) 3、设为阶矩阵，若，则等于（ C ）.(A) (B) (C) (D) 说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称

4、矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵 (D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此四、1、已知，求结果为2、已知，求结果为 3、已知，求，结果为 4、计算，结果为0 5、计算 五、设 证明：当且仅当证：必要性，已知，即，则，得充分性，已知，则，因此2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，说明：，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 说明：3、设为矩阵，则是可逆的 充分必要 条件4、已知，且可逆，则=说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则说明：二、选择题1、若由必能推出

5、其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A） （B） （C） （D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A） （B） （C） （D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题说明：由于，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对说明：（B）为定理，正确；（A

6、）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，则必有（ C ）（A） （B） （C） （D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中， 将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此四、已知，求矩阵解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得 （1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此五、已知，其中，求矩阵解：由得：，即因此，由，则，六、设，为三阶可逆矩阵,求解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、 在秩是的矩阵中，所有的阶

7、子式都 为0 2、设是矩阵，则 3 说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为4、设, 秩，则 -3 说明： 将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子 将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，但时显然，因此5、设, 秩，则 1 说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）解：则当时，；当时，；当时，四、讨论矩阵的秩解：当且、时，；其它情况，第三章 向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求， 及.结果： 2、已知,满足 ，求.结果：3、设，其中，求结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1）

8、 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，则向量可以由向量线性表示，3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关包含零向量的向量组都是线性相关的2）线性无关两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例3），因此向量组线性无关4）线性相关5）线性相关向量个数大于向量维数，必线性相关2、填空题1） 设向量组线性相关，则 2 说明：，则2） 设向量组线性无关，则必满足关系式说明：3） 若 维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C） 向

9、量组中必有两个向量的分量对应不成比例 向量组中不含零向量 向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示 存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C） 向量组总线性相关 向量组总线性相关 向量组总线性无关 向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关证法2：由，得线性相关5、已知 ，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，因此可由向量组唯一线性表示，3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性 无关 说明：由知线性无关，线性无

10、关的向量组减少向量个数还是线性无关（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ） 向量组线性无关 向量组线性相关 存在一个向量可以由其余向量线性表示 任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C） 3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3（2） （要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线

11、性无关组线性表示（1）解：为极大线性无关组，且（2）,解：为极大线性无关组，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示解：（1），（2）为极大线性无关组，6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关7、设，证明：线性无关证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关8、设，若各向量组的秩分别为：，证明：向量组的秩为4证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表

12、示，设为，即 （1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾因此向量组的秩为43.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间（大家自己证明）2、向量在基，下的坐标是说明：设方程，解之即可3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基证：由，则线性无关，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为由施密特正交化法：，单位化得：，为空间的一个标准正交基第四章 线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且， 则应满足 4 ； 线性方程组有解，且，则应满足 3 2）设是方阵

13、，线性方程组有非零解的充要条件是说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 说明：解空间的维数+结果为4）设为四元非齐次线性方程组，是的三个非零解向量，则的通解为说明：由4-31知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则说明：由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，则其系数行列式必为0，推出2、选择题1）若齐次线性方程组 仅有零解，则（C） 2）线性方程组有唯一解的条件是（B） 只有零解 、都不对 3）若方

14、程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B） 一定无解 必有非零解 仅有零解 的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）解：方程组化为：，设，解得，基础解系为：2） 解：方程组化为令，解得：，令，解得：，基础解系为：，4、求方程组 的特解解：方程组化为，令，得，因此方程组的一个特解为：5、求下列线性方程组的通解1）解：方程组化为：，设，得，通解为：2）解：方程组化为：选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为， 选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为方程组通解为：（3）四元线性方程组解： 由 知原方程组有无穷多组解 先求

15、原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令 得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数6、综合题（1） 已知三元非齐次线性方程组有特解，求方程组的通解.解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系由解的结构知的通解为，其中为任意常数即（2）取何值时，齐次线性方程组 有非零解？并求出一般解解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解由 可得，所以当时原方程组有非零解当时，原方程组

16、变为，选为自由未知量并令并令得， 得于是方程组的一个基础解系为通解为 ，其中为任意常数（3）取何值时，齐次线性方程组 有非零解？并求出其通解解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解由 可得或时原方程组有非零解 当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得， 方程组的一个基础解系为通解为 ，其中为任意常数 当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得， 方程组的一个基础解系为通解为 ，其中为任意常数 （4）讨论当取何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解解： 当 ，即，时，原方程组无解 当

17、，即，时，原方程组有唯一解 当 ，即，或者时，原方程组有无穷多解当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得 导出组的一个基础解系在中令得 一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数 当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得 导出组的一个基础解系在中令得 一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数（5）已知线性方程组问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解解： 当 ，即，或时，原方程组无解 当 ，即，时，原方程组有唯一解 当 ，即，且时，原方程组有无穷多解当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得 导出组的一个基础解系在中令得

18、一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数（6）若是方程组的基础解系，证明：也是该方程组的基础解系证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系（7）设方程组 证明：此方程组对任意实数都有解，并且求它的一切解证明： 由于 ，故对任意实数原方程组都有解 对，选为自由未知量，在对应的中令得 ，导出组的一个基础解系为在中令得 ，原方程组的一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明：若，则向量组线性相关证明：因为，所以的

19、基础解系中只含有一个解向量由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足 ， 整理得， 从而向量组线性相关第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量1、填空题1) 矩阵的非零特征值是 3 2) 阶单位阵的全部特征值为 1 ，全部特征向量为 全体n维非零实向量 3) 已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为的特征值为，的特征值为，的特征值为4) 已知为二阶方阵，且，则的特征值为 0，1 2、选择题1) 设是阶矩阵，若，则的特征值（ C ） 全是零 全不是零 至少有一个是零 可以是任意数2) 若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（ B ） 全是零

20、全不是零 至少有一个是零 可以是任意数(3) 设2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B ） 4) 若为阶方阵，则以下结论中成立的是（ D ）的特征向量即为方程组的全部解向量 ；的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量； 与有相同的特征向量； 若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量5) 与阶矩阵有相同特征值矩阵为 D 3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）解：特征方程为 特征植为当时，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数当时，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数2）解：特征方程为 特征植为当时，对应齐次方程组为

21、，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数 当时，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数当时，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数3）解：特征方程为 特征植为对，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数4）解：特征方程为 特征植为对，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数4、设为三阶方阵，且，其中 是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数5.2 相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1) 若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，

22、为四阶单位矩阵，则 24 说明：由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全部特征值的乘积，因此为24.2) 若矩阵相似于矩阵，则 1 说明：，由于与均可逆，则2、选择题1) 阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B） 充分必要条件 充分而非必要条件 必要而非充分条件 即非充分也非必要条件2) 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C） 相同的特征值 互不相同的特征值 线性无关的特征向量 两两正交的特征向量3) 设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是,设，则（A） 4) 若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是 C 相似于 相似于 相似于 三者中有一个不正确3、设三阶

23、方阵的特征值为1）2) 设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由由于，故即，所以的特征值为0，-4，-13) 4、判断下列矩阵是否相似1） 与 解：特征方程为 特征值为 故可对角化，2） 与 解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵3） 与 解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵5、判断下列矩阵能否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵1）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化2）解

24、：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化对此齐次方程组取一个基础解系 对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系 取，有3）解：特征方程为 特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化6、设阶方阵的特征值为，它们对应的特征向量依次为，求.解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化取，有从而5.3 实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必 线性无关 （填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必 正交 （填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩

25、阵的重特征值，则齐次线性方程组的基础解系包含 3 个解向量2、设 ，求正交矩阵，使得解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系 ，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，单位化：，取，有3、设，求.解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故 解方程组得4、设1) 求、2) 求正交矩阵，使得解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2从而有即，解得 2)此时，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，有5、设 ，求（为正整数）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系 ，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解

26、系，有，故从而6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.证明：1）幂零矩阵的特征值全为零.2）不能相似于对角矩阵.证明：证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即， ， 又，带入上式得，即，又，只有 从而 2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵第六章 二次型6.2 化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2、二次型的矩阵是，该二次型的秩是 3 3、二次型的秩为 2 说明：对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为24、矩阵为二次型的二次型矩阵若该二次型的秩是,则 1 说明：令，求得二、选择

27、题二次型的矩阵是(D) (A) (B) (C) (D) 说明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.解：（1）（2）特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系 ，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，取，作正交变换，即则将化为标准形四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩：（1）解： 令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二

28、次型是一个秩为3的二次型（2）解： 令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型（4）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型（5）解：令令，它的逆变换，带入得， 这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型五、设二次型经过正交变换化为标准形，求常数.解：，该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值从而有即

29、，解得六、已知是二次型的矩阵的特征向量,求这个二次型的标准形.解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程 解得特征值为二次型的标准形为6.4 正定二次型一、填空题(1)设，则 不是 正定矩阵;式子 不是 二次型；式子 不是 二次型（填“是”或者“不是”）（2）设是正定的，则(3)若二次型 是正定的，则t的取值范围是二、（1）二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 A (A) 2,0,2 (B) 2,0,0 (C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A （A）既不正定也不负定（B）负定的（C）正定的 （D）无法确定(3) 如果A是正

30、定矩阵，则 C （A是A的伴随矩阵） (A) A和A1也正定，但A不一定 （B）A1和A也正定，但A不一定（C）A、A1、A也都是正定矩阵 (D) 无法确定（4）二次型 是正定二次型的充要条件是 C （A）存在维非零向量，使（B）,（C）的正惯性指标为 （D）的负惯性指标为 （5）对正定二次型矩阵下列结论不正确的为（ D ）（A） 合同于一个同阶单位阵 （B） 所有特征值都大于0（C）顺序主子式都大于0（D） 不能对角化（6）以下命题正确的是 （题目错，无正确答案） （A） 若阶方阵的顺序主子式都大于零，则是正定矩阵（B） 若阶方阵的特征值都大于零，则是正定矩阵（C） 若阶实对称矩阵不是负定的

31、，则是正定的 （D） 若阶实对称矩阵的主对角线元素不全为零，则一定不是正定的 三、判断下列二次型的正定性：（1）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定（2）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型正定四、求值,使下列二次型为正定二次型（1）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，同时成立，所以二次型正定可得（2）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，同时成立，所以二次型正定可得线性代数试题（一）一、填空题（每题4分，5小题共20分）1、已知为阶方阵，为的伴随矩阵，若，则=提示：，因此，得2、设、是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 -4 提示：由得，则3、向量在基，下的坐标为 （1，

32、2，3） 4、若向量组，的秩为2，则 3 5、阶方阵，若满足，则的特征值为 0或1 二、选择题（每小题3分，共15分）1、设和都是阶方阵，且，是阶单位阵，则（ B ）（A） （B）或者（C） （D）且2、维向量组线性无关的充分必要条件为（ C ）(A)均不为零向量；(B)中任意两个不成比例(C)中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示(D)以上均不对3、设为矩阵，且,则齐次线性方程组（C）(A)无解 (B)只有唯一解 (C)一定有无穷多解 (D)不能确定4、若是阶方阵，则（AD）(A) 1或2是的特征值 (B)若则(C) 若则 (D)若1不是的特征值，则5、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若

33、，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）则；（D）以上都不对三、（每小题7分，满分14分）计算行列式1、 2、解：1、 将行列式增加一行、一列 第一行乘以-1加到以下各行 第i+1列乘以加到第1列， 2、 第1列乘以加到第三列 范德蒙行列式四、（本题满分为10分）设，其中是的伴随矩阵，求解： 两边同时左乘得，即由，则，即五、（本题满分为7分）若是方程组的基础解系，证明也是该方程组的基础解系证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系六、（本题满分为12分）设（1）

34、确定；（2）求一个可逆矩阵，使.解：（1）由与相似得，即，解得（2）的特征值为1，2，5当时，为，基础解系为当时，为，基础解系为当时，为，基础解系为则，使七、（本题满分为12分）问为何值时，方程组 无解，有唯一解，有无穷多组解？并在有无穷多组解时求其通解解： 当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解方程组变为：，设，得即八、（本题满分为10分）设二次型 1、写出二次型的矩阵表达式2、有配方法化二次型为标准形，并写出所做的实可逆线性变换3、判断是否正定，且说明理由解：1、二次型的矩阵表达式为：2、做可逆线性变换，即则线性代数试题（二）一、选择题（每小题3分，共15分）1、若

35、，则的值为（ B ）(A) 12 (B) 12 (C) 18 (D) 0 提示：2、设都是n阶矩阵，且 , 则下列一定成立的是（ B ）(A) 或 (B)都不可逆(C) 中至少有一个不可逆 (D) 3、向量组线性相关的充分必要条件是（ D ）(A) 中含有零向量；(B) 中有两个向量的对应分量成比例(C) 中每一个向量都可用其余个向量线性表示(D) 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示4. 非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ B ）（A）r=m时，方程组AX= b有解; （B）r=n时，方程组AX=b有唯一解;（C）m=n时方程组AX=b有唯一解

36、;（D）rn时方程组AX= b有无穷多解.5、设阶方阵与相似，则（ D ）(A) (B) 与有相同的特征向量 (C) 与都相似于同一对角阵 (D) 对任意常数,与相似提示：由于与不一定能对角化，因此（C）错；对于（D），由于，则，因此与相似二、填空题（每空3分，共15分）1、设为四阶矩阵，且，则 32 2、已知非齐次线性方程组，有特解：，且，则线性方程组的通解是提示：说明的基础解系中应有两个向量，为的两个线性无关的解，因此可做为基础解系，然后从三个向量中任选一个做为的特解即可，因此的通解为（本题结果不唯一）3、若是阶矩阵，且都是不可逆矩阵，则 -2 提示：由题意知有三个特征值，1，-1，2，三

37、个特征值相乘即可4、若向量能由向量唯一线性表示，则应该满足提示：本题就是求线性无关的条件5、当t取，二次型是负定的三、判断题（每小题2分，共10分）1、若齐次线性方程组有非零解，则的列向量组线性无关（ 错 ）2、若，则的特征值只能是（ 对 ）3、设为阶可逆矩阵，则总可以经过初等行变换化为（ 对 ）4、设均为阶方阵，且与合同，则必等价于（ ？ ）5、设为阶方阵，若，则（ 错 ）四、计算题（每小题5分，共10分）1、 2、 解：1、 将2、3、4行加到第一行，并从第一行提出公因子 将第1行乘以-1加到2、3、4行 2、 按第一行展开得 因此，即得：五、（本题10分）设向量组、求此向量组的一个极大线

38、性无关组，将其余向量表示成它们的线性组合解：向量组的一个极大线性无关组为，六、解答与证明（每小题5分共10分）1解方程：解：，2设 证明：当且仅当证明：必要性，已知，即，则，得充分性，已知，则，因此七、（本题10分）问为何值时，方程组 无解、有唯一解、有无穷多组解？并在有无穷多组解时求其通解解：当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解，此时方程组为，令，得，方程组通解为：八、（本题10分）设 ，求一正交变换矩阵使得为对角阵，并写出相应的对角阵解：解得特征值为，对于，得方程组，解得基础解系为，单位化对于，得方程组，解得基础解系为，单位化对于，得方程组，解得基础解系为，单位化可得正交矩阵，使九、（本题10分）用配方法化二次型 为标准型解： 做可逆线性变换，即使