《多元函数微积分》习题解答第一章.doc

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1、习题11解答1 设，求解；2 设，证明：3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）（2）（3）（4）yx11-1-1O解（1）yx11-1-1O （2）yx-a-bcOzab（3） （4）yxOz4求下列各极限：（1）=（2）（3）（4）5证明下列极限不存在：（1） （2）（1）证明 如果动点沿趋向则；如果动点沿趋向，则所以极限不存在。（2）证明： 如果动点沿趋向则；如果动点沿趋向，则所以极限不存在。6指出下列函数的间断点：（1）； （2）。解 （1）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。习题121（1）；. (2) (3)

2、, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得 ;(4),(5);(6), ,;2.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 设对角线为z,则, 当时, =-0.05(m).7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则，, ,设x、y、z的绝对误差分别为、,当时, =0.124,z的绝对误差z的相对误差.8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则,当时,.习题131. =.2.=.3. (1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.4 .(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 设, ,=, =,=

3、,(3) 设, ,=,=.(4) 设,7.设,1. 8.设,.9. (1)方程两边同时对x求导得解之得(2) 方程两边同时对z求导得 解之得 (3) 方程两边同时对x求偏导得 解之得同理方程两边同时对y求偏导得 解之得习题141 求下列函数的方向导数（1）解：（2）解： （3）与轴夹角为解： 由题意知则 （4） 2 求下列函数的梯度（1） 解： ,)(2)解：，）。3 一个登山者在山坡上点处，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。4 解：沿方向5 解：设路径为，在点处在点的切向量为 平行于

4、切向量 因为过习题1-51、求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。解：当时，故所求切线方程为：，即: 法平面方程为： 即: 2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程（1） 在点解 ：将方程两端对x求导，得 在处故所求的切线方程为：法平面方程：（2） 在点解法1：将方程两端对x求导，得当时，有，故所求的切线方程为：法平面方程： 即：解法2：将方程组两端求微分：得曲线在点处的切向量为 3. （题略）解：（1）令 F（x，y，z）=arctg-z, = -1，曲面在点P的切平面方程为：-，即： x - y - 2z -=0；法线方程为：，即： ；（2）令则，曲面在点(1,1,1)点处的切平面的

5、法向量为：故所求的切平面方程为：即： 法线方程为： （3）令F（x，y，z）=2+2-8，=-16ln2，曲面在点P的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0， 即：x-y-4z=0，法线方程为：，即：4、解：， 又抛物线在(1,2)点处的切线斜率为：抛物线在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为故所求的方向导数为：习题1-61（题略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,又 D（P）=40,=-2故P (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8. 2（题略）. 解：由 有 驻点：(5

6、,6)和 ，而在点(5,6)取得极小值 又在点不取得极值3、求在闭区域上的最大值和最小值解：由，得唯一驻点(0,0)又在边界即椭圆上, 由，得驻点：所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1)相应的函数值为： 0 4 4 -1 -14、求抛物线和直线之间的最短距离。解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，它到直线的距离为，d最小当且仅当最小此问题即是求在条件下的最小值。解法1（用拉格朗日乘数法）设由，即得唯一驻点故由实际问题知抛物线和直线之间的最短距离在在，为：解法2（转化为无条件极值）设抛物线上点，它到直线的距离为d最小当且仅当最小设 唯一驻点当时，有极小

7、值，从而该极小值就是所求的最小值（唯一驻点）=故抛物线和直线之间的最短距离为5、求抛物线被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为此问题即是求在条件下的最大值和最小值。令由 由-得若代入，得，再代入，0, 不合题意，有代入，由，解得， 驻点为：和，由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为和6（题略）.解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=, 故:3V-=0 (1)浮标表面积S(r,h,H)= 令L(r,h,H)=+ 由=0 （2） =0 (3) (4)有, 代入（3）有, 故, r=h,再由（2），有H=h, h=, ( r,)为S(r,h,H) 唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,时,材料最省。7（题略）解设BC=a, 则横截面积S=(BC+AD)h=,湿周由 (1) (2)由(2)有1-2cos, 由(1), h=, 即()为唯一驻点，故当, h= 时，湿周最小.