《数分考试大纲》word版.doc

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1、数学分析研究生考试大纲适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论一、复习要求：要求考生掌握数学分析课程的基本概念、基本定理和基本方法，能够运用数学分析的理论求解和证明相关命题。二、主要复习内容本课程考核内容包括实数理论和连续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学： 1、实数理论和连续函数（1）了解实数域及性质.（2）掌握几种不等式及应用。（3）熟练掌握邻域，上确界，下确界的概念和确界原理。（4）熟练掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。（5）熟练掌握数列极限的“-N”定义。（6）掌握收敛数列的常用性质。（7）熟练掌握数列收敛的

2、判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、柯西准则等）。（8）熟练掌握“-”等语言，且能用它叙述各类型的函数极限。（9）掌握函数极限的常用性质。（10）熟练掌握函数极限存在的条件，（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。（11）熟练应用两个重要极限。（12）掌握无穷小量、无穷大量的定义和性质，熟悉等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小及其性质。（13）熟练掌握函数在某点连续的定义和等价定义。（14）掌握间断点及类型。（15）熟练掌握区间上连续函数和一致连续函数的性质。（16）知道初等函数的连续性。2、一元微积分学（1）熟练掌握导数的定义、几何意义，知道导数的物理意义。（2）熟练掌握求导法则和求导

3、公式。（3）掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。（4）熟练掌握理解连续、可导、可微之间的关系。（5）熟练掌握微分中值定理及其应用。（6）熟练运用洛必达法则求极限。（7）熟练掌握单调区间、极值、最值的求法。并能证明相关命题。（8）熟练掌握曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质。（9）会求曲线各种类型的渐近性。（10）掌握区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列的含义。（11）掌握实数完备性的七个定理的等阶性，并且知道每个定理的条件与结论。（12）会用七个定理证明其它问题，如连续函数性质定理等。（13）掌握原函数与不定积分的概念。（14）记住基本积分公式，熟练掌握换元法、分部积分法。（15）知

4、道有理函数的积分步骤，会求可化为有理函数的积分。（16）掌握定积分定义和性质，知道可积条件和可积类。（17）深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。（18）熟练计算定积分，掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。（19）熟练掌握平面图形面积的计算，会求旋转体或已知截面面积的体积。（20）会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。（21）会用微元法求解某些物理问题（压力、变力功、静力矩、重心等）。3、级数（1）熟练掌握级数收敛和发散的定义、性质和判别法。（2）熟练掌握条件收敛、绝对收敛及莱布尼兹定理。（3）熟练掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法，知道函数列的极限函数和函数项级数的和函数的性质。

5、（4）熟练掌握幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法，知道幂级数的若干性质。（5）熟练掌握函数的幂级数展开的方法，会用间接法求函数的幂级数展开式。（6）熟记付里叶系数公式，会求付里叶展式。掌握余弦级数，正弦级数的求法。（3）理解收敛性定理，掌握贝塞尔不等式、勒贝格引理等几个重要定理。4、多元微积分学（1）了解平面点集的若干概念，掌握二元函数、二重极限的定义、性质。（2）熟练掌握二次极限、二重极限与二次极限的关系。（3）熟练掌握二元连续函数的定义、性质（4）掌握全微分和偏导数的几何意义（5）熟练掌握二元函数连续、偏导数连续、可微、可导之间的关系。（6）会计算偏导数和全微分，会求空间曲面的切平面、

6、法线。（7）会求函数的方向导数与梯度，会求二元函数的泰勒展式、无条件极值、条件极值。（8）熟练掌握一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数和微分公式。（9）掌握由m个方程n个变元组成方程组，确定n-m个隐函数组的条件，并会求这n-m个隐函数对各个变元的偏导数。（10）会求空间曲线的切线与法平面，会求空间曲面的切平面与法线。（11）知道二重积分、三重积分定义与性质。（12）熟练掌握二重积分的换序和变量代换。（13）了解三重积分的换序，熟练运用球、柱、广义球坐标变换计算三重积分。（14）掌握含参量正常积分的定义及性质。（15）知道重积分应用，会求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。（16）

7、掌握含参量非正常积分一致收敛定义、性质和判别法。（17）掌握用积分号下求导数、积分号下求积分方法计算一些定积分（广义积分）。（18）了解欧拉积分，递推公式及性质。（19）熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算。（20）知道曲线积分，两种曲面积分的关系。（21）熟练掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，掌握积分与路径无关的条件。（22）了解场论初步知识，知道梯度，散度和旋度的慨念。三、重点内容：1、求极限的方法与类型。 2、掌握实数完备性定理，如数列的单调有界定理、柯西收敛准则、确界原理、有限覆盖定理、魏尔斯特拉斯聚点原则。3、海涅归结原则、函数的一致连续性。4、微分中值定理，微积分基本定理、导数及其应用。5、积分法则、广义积分敛散性判别法、定积分的可积性及可积类的讨论、含参量广义积分的一致收敛判别法。6、级数、函数列的各种收敛性判别法、幂级数的收敛域、和函数、幂级数展式。7、多元函数极限和连续性、偏导数、全微分、一个方程确定的隐函数的导数、偏导数。8、多元函数的极值。9、二重积分换序、重积分及其几何意义。10、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、积分与路径无关性。四、参考书目：1、数学分析（上、下册），华东师大编，（任意版本），高等教育出版社。