多元函数微积分复习题.doc

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1、多元函数微积分复习题一、单项选择题 1函数在点处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2设函数在点处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4对于二元函数, 下列结论正确的是 ( ). CA. 若,

2、 则必有且有;B. 若在处和都存在, 则在点处可微;C. 若在处和存在且连续, 则在点处可微;D. 若和都存在, 则. .5二元函数在点处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在)连续; B. 可微可导连续; C. 可微可导, 或可微连续, 但可导不一定连续; D. 可导连续, 但可导不一定可微.6.向量，则 （ A ） (A) 3 (B) (C) (D) 25已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2） ，则 = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3） ，则

3、=（ B ） (A) (B) ; (C); (D)-2; 7设为园域 , 化积分为二次积分的正确方法是_. DA. B. C. D. 8设, 改变积分次序, 则 B A. B. C. D. 9 二次积分 可以写成_. D A. B. C. D. 10 设是由曲面及所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分表示为三次积分， C A B. C D 11设为面内直线段，其方程为， 则 （ C ） （A） （B） （C） 0 （D） 12设为面内直线段，其方程为，则 （ C ）（A） （B） （C） 0 （D） 13设有级数,则是级数收敛的 （ D ） (A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C

4、) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14幂级数的收径半径R = （ D ） (A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 1 15幂级数的收敛半径 （ A ） (A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 3 16若幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为 （ A ） (A) (B) (C) (D) 无法求得 17. 若, 则级数( ) DA. 收敛且和为 B. 收敛但和不一定为C. 发散 D. 可能收敛也可能发散18. 若为正项级数, 则( ) A. 若, 则收敛 B. 若收敛, 则收敛 BC. 若, 则也收敛 D. 若发散, 则19. 设幂级数在点处收敛, 则该级数在点处( ) AA. 绝

5、对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不定20. 级数, 则该级数( ) BA. 是发散级数 B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散二、填空题1设，则 _1_.2设，则 =_0_.3二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是 4三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 5柱面坐标下的体积元素 6设积分区域, 且, 则 3 。 7 设由曲线所围成, 则8 设积分区域为, 9设在0， 1上连续，如果，则=_9_.10设为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 . 11设为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段， 则 012等比级数当 时，等

6、比级数收敛. 13当_时，级数是收敛的.14当_时,级数是绝对收敛的. 15若, 则 , 16若, 则 17设, 则 18设, 则 19. 积分的值等于 , 20. 设为园域, 若, 则 221.设, 其中, 则 三、计算题1. 求过点 且与平面平行的平面方程. 解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程为 2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0 即 2 x -75y +4z = 0 2求经过两点M1（，2）和 M2（3，0，1）的直线方程。 . 解: = (4, 2 , ) 所求直线方程为 3求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线

7、向量的平面方程. 解: 所求的平面方程为 即 4设，其中具有二阶连续偏导数，求 解: 5设, 求解: 方程两边对求导得 由此得 6设，其中具有二阶连续偏阶导数，求。 解: , 7设, 求 解: 方程两边同时对求导得 , 8设，其中具有连续的二阶偏导数，求 解: 9设 解: 方程两边对同时求导得 由此得 10计算二重积分, 其中是由直线所围成的闭区域。 解: = 11改变二次积分的积分次序。 解: 积分区域为 也可表示为 12计算二重积分, 其中是由直线所围成的闭区域。 解: = 13改变二次积分的积分次序。 解: 积分区域为 也可表示为 有 14计算二重积分其中D: 解: = 15改变二次积分

8、的积分次序。 解: 积分区域为 也可表示为 16利用格林公式计算曲线积分 I = 其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 I = = = = 12 17利用格林公式计算曲线积分 ,其中L为正向的圆周 . 解：由格林公式 I = = = 18利用格林公式计算曲线积分 I = 其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 I = = = = 18. 19 判别级数的收敛性。 解: 由比值判别法知级数收敛 20求幂级数的收敛区间。 解: ，收敛区间为 21求幂级数的收敛区间。解: , 收敛区间为(-3,

9、 3) 四、解下列各题题1 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。解: = 2 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中闭区域为半球体. 解: 在平面内的投影区域为， 用柱面坐标可表示为 3 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。 解: = 4 计算曲线积分，其中是在圆周上由 点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧。解: 曲线积分与路径无关， = ( y=x , ) = = - 1 5计算曲线积分，其中是在圆周上由 点O（0，0）到点A（2，0）的一段弧。解： 曲线积分与路径无关， = ( y=0, ) 6 计算曲线积分，其中是在圆周上由 点A（2，0）

10、到点0（0，0）的一段弧。解: 曲线积分与路径无关， = ( y=0 , x由2到0) = . 7 判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解: 记 , 则 且 由莱布尼兹定理, 级数收敛 又,而级数发散,由比较判别法可知 级数发散,从而级数为条件收敛 8判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 解： 记， 而发散，所以发散 又 且 ， 由莱布尼兹定理知收敛且为条件收敛. 9 判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？解: 级数收收敛， 从而级数为绝对收敛. 10 计算, 其中. 11. 计算, 其中 12. 求由锥面与圆柱面所围成的立体的体积. 五应用题1将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？解. 目标函数：，附加条件： 解方程组：得唯一可能极值点： 故当矩形的边长分别为和时，绕短边旋转所得到园柱体的体积最大，且其体积为2从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 解： 设直角三角形的两直角边分别为和，问题化为求 在条件下的最大值问题。 设 .2分 解方程组 得 .5分 故可知当两直角边都等于时直角三角形的周长最大。 .7分 3. 求原点到曲面上点的最短距离.4. 证明: 曲面上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积