平面解析几何初步复习(北师).doc

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1、平面解析几何初步复习知识梳理： （一）平面直角坐标系中的基本公式 主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。（二）直线的方程 1. 直线的方程和方程的直线 若直线l的方程记为，则需满足两条： （1）直线 l 上的每一个点，其坐标都是方程的解； （2）坐标满足方程的点都在直线l上。 2. 直线的方程 （1）直线方程的几种特殊形式 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直

2、线方程的特殊形式。在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。 以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。 一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式。 与直线的截距式有关的问题： 与坐标轴围成的三角形的周长； 直线与坐标轴围成的三角形的面积为； 直线在两坐标轴上的截距相等，则k1，或直线过原点。 （2）直线在坐标轴上的截距 直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非

3、负数。如直线y3x6在y 轴上的截距是6，在x 轴上的截距是2。 因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为零等；非零等这两种情形进行讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为零等；同号等；异号等这三种情形进行讨论，以防丢根。 3. 两条直线的位置关系 对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直。因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究两条直线的平行和垂直，遵循了由一般到特殊的原则。 4. 点到直线的距离 解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已

4、知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点（定点）或直线（定直线）相对位置关系。点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不可替代的作用。熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度。 5. 圆的方程 圆的标准方程和一般方程中都有三个独立的参数，因此，要确定一个圆必须具备三个独立的条件，确定这三个参数的方法一般要用待定系数法。 6. 空间直角坐标系 为了沟通空间图形与数的关系的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的关系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。用坐标来刻画空间中点的位置，需要建立起较强的空间观念和较强的抽象思维能力，这正是学习空间坐标

5、系的重要目的之所在。 【典型例题】 例1. 如图所示，已知两条直线l1：x3y120，l2：3xy40，过定点P（1，2）作一条直线l，分别与直线l1、l2 交于M、N两点，若点P恰好是MN的中点，求直线l的方程。 解析： 设所求直线l的方程为， 由得交点M的横坐标为， 由得交点N的横坐标为， 点P恰好是MN的中点， ，解得。 所求直线l的方程为。 例2. 圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx截圆所得弦长为，求此圆的方程。 解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设 圆方程为 又因为直线截圆得弦长为 则有 解得b1。故所求圆方程为 或。 点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下

6、几点： （1）确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。 （2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得 a , b , r 或 D , E , F。 （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。 例3. 已知圆C：，直线l：0（）。 （1）证明：无论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程。 解析：（1）直线l的方程化为：。 因此，直线l过两条直线和的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A（3，1），即直线l恒过定点A（3，1）。 又因， 故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点； （2）圆心为C（1，2），当直线l被圆C

7、截得的弦长最小时，有lAC，由可得，因此直线l的方程为 。 点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。这些做法的过程都非常复杂。因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。 例4. 自点 A（3,3）发出的光线l 射到x轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线 l 所在直线的方程。 解析：圆的方程可化为， 由光学原理可知，圆关于x轴的对称圆必与l相切， 对称圆方程为 设l的斜

8、率为k（k必然存在）。 则l的方程， 即 由于l与圆相切，故 解得 故所求直线l的方程为或。 点评：求入射光线的方程可从反射光线的对称入手；反之，将入射光线上的点通过反射面对称后有助于求反射光线的方程。单纯从求反射线（入射线）角度看也可利用入射角等于反射角的方法，确定反射线（入射线）的斜率。由此可以看出确定直线的方程，要充分挖掘所求直线已具备的几何（物理）特性，从而转化到斜率或点上去。 例5. 已知两条直线l1：axby40和l2：（a1）xyb0，求满足下列条件的 a , b 的值。 （1） l1l2，且 l1 过点（3，1）； （2）l1 l2且坐标原点到这两条直线的距离相等。 解析：（1

9、）由已知可得的斜率必存在， 若，则 ，直线的斜率必不存在，即b0 又过（3，1） （不合题意）。 此种情况不存在，即 若，即都存在， ， 又过点（3，1）， 由联立，解得a2，b2。 （2）的斜率也存在， 直线的斜率也存在， 又坐标原点到这两条直线的距离相等且， 在y轴上的截距互为相反数。 即 由联立解得 a、b的值为2和2或和2。 点评： 当所求直线的方程中存在字母系数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1），若用 l1l2A1A2B1B2=0可不用分类讨论。 例6. 已知圆C：(x1)2(y2)22，P点坐标为(2，1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B。

10、 （1）求直线PA、PB的方程； （2）求过P点的圆的切线长； （3）求直线 AB 的方程。 解析：（1）如图所示，设过P点的圆的切线方程为， 即 圆心（1，2）到直线的距离为。 即 所求的切线方程为或， 即或； （2）在RtPCA中， 过P点的圆C的切线长为； （3）由得 由 得B（0，1） 直线AB的方程是。 点评：过圆外一点作圆的切线必有两条，在求圆的切线方程时，有时会遇到切线斜率不存在的情况，如过圆x2y2=4外一点（2,3）作圆的切线，切线方程为5x12y26=0，此时要注意斜率不存在的切线不要漏掉。 本例（3）中直线AB的方程是通过求切点A、B的坐标写出来的。事实上，过圆（xa)2(yb)2r2外一点P(x0，y0）作圆的切线，经过两切点的直线方程为（x0a)(xa)(y0b)(yb）=r2。其证明思路有三： 思路一：设切点A(x1,y1),B(x2,y2），P点坐标满足切线PA、PB的方程，从而得出过A、B两点的直线方程。 思路二：直线AB是以PC(C是已知圆的圆心）为直径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。 思路三：直线AB是以P为圆心，以PA为半径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。它的形式与P点在圆上时，过P点的切线方程形式完全相同，它可以作为一个公式，在解有关的选择题、填空题时直接使用。