因式分解(竞赛题)不含答案(共6页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上因式分解1、公式法序号公式记忆特征1x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) (十字相乘法)(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为12a2-b2 = (a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2(完全平方公式)4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2(完全平方公式扩展)(1) 三数平方和(2) 两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3(完全立方公式)对照完全平方公式相互加
2、强记忆6a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整数(平方差公式扩展)(1) 短差长和;(2) a指数逐项递减1;(3) b指数逐项递增1;(4) 长式每项指数和恒等于 n
3、-1。9an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=偶数(立方差公式扩展)(1) 短式变加长式加减相间;(2) a指数逐项递减1;(3) b指数逐项递增1;(4) 每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=奇数(立方和公式扩展)对比公式9的异同运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式:(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz;例2 分解因
4、式:a3+b3+c3-3abc说明本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c0时,则a3+b3+c3-3abc0,即a3+b3+c33abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立如果令x=a30,y=b30,z=c30,则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论变式练习 分解因式:x15+x14+x13+x2+x+12拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时,整理、化简常将
5、几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例3 分解因式:x3-9x+8变式练习1分解因式:(1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+1 3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简
6、明清晰例4 分解因式:(1) (x2+x+1)(x2+x+2)-12 (2) (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 变式练习1.分解因式: (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x24双十字相乘法分解二次三项式时,我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解
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