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1、材料力学材料力学9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9-2 9-2 两端铰支瘦长杆的临界压力两端铰支瘦长杆的临界压力9-3 9-3 其他支座条件下瘦长杆的临界压力其他支座条件下瘦长杆的临界压力9-4 9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 阅历公式阅历公式9-5 9-5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核9-6 9-6 提高压杆稳定的措施提高压杆稳定的措施 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定10/29/2022材料力学材料力学 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念轴向受压轴向受压轴向受压轴向受压(拉拉拉拉)强度计算强度计算强度计算强度计算10/29/2022材料力学材料力学 9-1

2、 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念图示一图示一300mm300mm长的钢板尺两端铰接放入试验架中受轴向压长的钢板尺两端铰接放入试验架中受轴向压力，其横截面积为力，其横截面积为20mm1mm20mm1mm。许用应力为。许用应力为196GPa196GPa，求钢，求钢板尺能承受的荷载板尺能承受的荷载.事实上，将钢尺直立，事实上，将钢尺直立，当压力不到当压力不到40N40N时，时，就被明显压弯就被明显压弯10/29/2022材料力学材料力学由例子可以得到结论：由例子可以得到结论：（1 1）钢尺承载实力并不取决于轴向压缩的压缩强度，而）钢尺承载实力并不取决于轴向压缩的压缩强度，而是与钢尺受压时变弯有

3、关。是与钢尺受压时变弯有关。（2 2）压杆的弯曲刚度与杆横截面的弯曲刚度有关。）压杆的弯曲刚度与杆横截面的弯曲刚度有关。（3 3）压杆正常工作须要满足强度条件和稳定性条件。）压杆正常工作须要满足强度条件和稳定性条件。9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念10/29/2022材料力学材料力学一、稳定平衡与不稳定平衡的概念一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 当当 F小于某一临界值小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的，撤去横向力后，杆的轴线将复原其原来的直线轴线将复原其原来的直线平衡形态，压杆在直线形平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。态下

4、的平衡是稳定平衡。FF(a)Q(b)10/29/2022材料力学材料力学FF(a)Q 当当 F F增大到确定的临增大到确定的临界值界值FcrFcr，撤去横向力后，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再复原其原衡形态，而不再复原其原来的直线平衡形态，来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态压杆在原来直线形态下的平衡是下的平衡是 不稳定平衡。不稳定平衡。9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念10/29/2022材料力学材料力学 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念10/29/2022材料力学材料力学 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念10/29

5、/2022材料力学材料力学9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力简化：简化：（1 1）剪切变形的影响可以忽视不计。）剪切变形的影响可以忽视不计。（2 2）不考虑杆的轴向变形。）不考虑杆的轴向变形。本节以两端球形铰支本节以两端球形铰支(简称两简称两端铰支端铰支)的瘦长中心受压杆件为例，的瘦长中心受压杆件为例，导出求临界力的欧拉导出求临界力的欧拉(L.Euler)(L.Euler)公公式式10/29/2022材料力学材料力学 对于志向中心压杆来说对于志向中心压杆来说,临界力就是杆临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力。能保持微弯状态时的轴向压力。随意随意x x截面的挠度截

6、面的挠度(侧向位移侧向位移)为为w w，该截面上的弯矩为该截面上的弯矩为9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力vcrFx2llmmyByx10/29/2022材料力学材料力学9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力压杆任一压杆任一 x 截面沿截面沿 y 方向方向的位移为的位移为 y=f(x)该截面的弯矩为该截面的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为mmyByx10/29/2022材料力学材料力学其中其中 I I 为压杆横截面的为压杆横截面的最小形心主惯性矩最小形心主惯性矩。令令则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方

7、程mmyByx9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学其通解为其通解为A A，B B，k k 三个待定常数由该挠三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。曲线的三个边界条件确定。9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学边界条件：边界条件：得得B=09-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学B=0 ，边界条件：边界条件：9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学要

8、想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下平衡只有平衡只有要想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下平衡只有平衡只有9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学其最小解为其最小解为 n=1 n=1 的解的解9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学即即得得这就是两端绞支等截面瘦长中心这就是两端绞支等截面瘦长中心受压直杆临界力的计算公式受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）（欧拉公式）9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学B=0可

9、见此时的可见此时的挠曲线为挠曲线为半波正弦曲线半波正弦曲线。当当x=l/2 时时 w=d dA=d d亦即对应于亦即对应于Fcr=p p2EI/l 2，挠曲线方程为，挠曲线方程为9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力须要指出的是，尽管上面得到了须要指出的是，尽管上面得到了A=dA=d，但因为，但因为杆在随意微弯状态下保持平衡时杆在随意微弯状态下保持平衡时d d为不确定的为不确定的值，故不能说未知量值，故不能说未知量A A已确定。已确定。事实上，在推导任何杆端约束状况的瘦

10、长中事实上，在推导任何杆端约束状况的瘦长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。总是不确定的。10/29/2022材料力学材料力学9-29-2两端铰支瘦长压杆的临界压力两端铰支瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学欧拉公式欧拉公式当杆端约束当杆端约束条件变更，条件变更，欧拉公式？欧拉公式？9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学1两端绞支两端绞支2一端固定另端绞支一端固定另端绞支C

11、为拐点为拐点 l crPl7.09-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学3两端固定两端固定C，D为为拐点拐点 l crPD2l9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学4一端固定另端自由一端固定另端自由crPll9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力 表表9-19-1中列出了几种典型的志向杆端约束条件下，等

12、截面中列出了几种典型的志向杆端约束条件下，等截面瘦长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，瘦长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，式中，m m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束状况有关；称为压杆的长度因数，它与杆端约束状况有关；m l m l 称为压杆的相当长度，它表示某种杆端约束状况下几何长称为压杆的相当长度，它表示某种杆端约束状况下几何长度为度为l l的压杆，其临界力相当于长度为的压杆，其临界力相当于长度为m l m l 的两端铰支

13、压杆的的两端铰支压杆的临界力。临界力。10/29/2022材料力学材料力学表表9-1 9-1 各种支承约束条件下等截面瘦长压杆各种支承约束条件下等截面瘦长压杆 临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 两端铰支两端铰支一端固定另端绞支一端固定另端绞支两端固定两端固定一端固定另端自由一端固定另端自由支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度系数长度系数 =1 =0.7 =0.5 =29-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学 为长度系数为长度系数 l 为相当长度为相当长度（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形

14、心主惯性轴的惯性矩 I1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。应取最小的形心主惯性矩。10/29/2022材料力学材料力学2若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对为其相应的对中性轴的惯性矩。中性轴的惯性矩。10/29/2022材料力学材料力学例例1 1：图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，能承受的压力最大，哪一根的最小？

15、哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学例例9-3-1：图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，的压力最大，哪一根的最小？哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因为因为又又可知可知（1）杆承受的压力最小，最先失稳；）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。）杆承受的压力最大，最稳定。9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2

16、022材料力学材料力学F aAB a2c例例2 2：已知：图示压杆：已知：图示压杆EI,EI,且杆在且杆在B B支承处不能转动支承处不能转动 求：临界压力求：临界压力9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学F aAB a2c解解：故取故取例例9-3-2：已知：图示压杆已知：图示压杆EI,且杆在且杆在B支承处不能转动支承处不能转动 求：临界压力求：临界压力9-39-3其它支座条件下瘦长压杆的临界压力其它支座条件下瘦长压杆的临界压力10/29/2022材料力学材料力学9-49-4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 阅历公式阅

17、历公式.欧拉公式应用范围欧拉公式应用范围 在推导瘦长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在推导瘦长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限spsp的状况。的状况。依据抽象的概念，瘦长中心压杆在临界力依据抽象的概念，瘦长中心压杆在临界力FcrFcr作用时可作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按按scrscrFcr/AFc

18、r/A来计算，亦即来计算，亦即10/29/2022材料力学材料力学惯性半径惯性半径 l/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比或柔度长细比或柔度，记作，即 cr称为临界应力临界应力 越大，越大，cr cr越小，越小，压杆越简洁失稳压杆越简洁失稳10/29/2022材料力学材料力学称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形态对临界应力的影响。杆端约束，截面尺寸和形态对临界应力的影响。9-49-4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 阅历公式阅历公式10/29/2022材料力学材料力学只有在只有在

19、cr cr P P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力计算压杆的临界力 F Fcrcr（临界应力（临界应力 cr cr）。）。或或9-49-4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 阅历公式阅历公式10/29/2022材料力学材料力学 当当 1 1（大柔度压杆或瘦长压杆）时，（大柔度压杆或瘦长压杆）时，才能应用欧拉公式。才能应用欧拉公式。当当 1 1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。用阅历公式用阅历公式9-49-4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 阅历公式阅历公式对于对于Q235Q235钢，依据钢，依据 E E206 G

20、Pa206 GPa，sp sp 200 MPa200 MPa，有，有A 3 钢钢 (=0123)16 锰锰 钢钢(=0102)10/29/2022材料力学材料力学经验公式经验公式压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图9-49-4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 阅历公式阅历公式10/29/2022材料力学材料力学解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：例例9-4-1 截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d 两端固定的瘦长压杆和截面两端固定的瘦长压杆和截面为正方形，边长为为正方形，边长为d 两端绞支的瘦长压杆，材料及柔度都相同，两端绞支的瘦长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。求两

21、杆的长度之比及临界力之比。圆形截面杆：圆形截面杆：10/29/2022材料力学材料力学所以所以正方形截面杆：正方形截面杆：由由 1=2 得得10/29/2022材料力学材料力学10/29/2022材料力学材料力学F Fcrcr 压杆的临界压力压杆的临界压力nst 压杆的稳定平安系数压杆的稳定平安系数压杆稳定条件：压杆稳定条件：FF工作压力工作压力9-59-5压杆的稳定校核压杆的稳定校核或或n压杆的工作平安系数（临界压压杆的工作平安系数（临界压力与实际工作压力之比）力与实际工作压力之比）10/29/2022材料力学材料力学 ：稳定系数：稳定系数,主要与柔度主要与柔度有关有关 压杆的强度条件压杆的

22、强度条件 (强度许用应力强度许用应力)压杆的稳定性条件压杆的稳定性条件 (稳定许用应力稳定许用应力)10/29/2022材料力学材料力学例例3 3 一连杆尺寸如图，材料为一连杆尺寸如图，材料为 A3 A3 钢，承受的轴向钢，承受的轴向压力为压力为 P=120KN P=120KN，取稳定平安系数，取稳定平安系数 nst=2 nst=2，校核连，校核连杆的稳定性。杆的稳定性。在在 xy 面内失稳连杆两端为面内失稳连杆两端为铰支，长度铰支，长度 l=940mm。在在 xz 面内失稳近似两端固定，面内失稳近似两端固定，长度长度 l 1=880mm。zyxb=25h=609-59-5压杆的稳定校核压杆的

23、稳定校核10/29/2022材料力学材料力学在在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，面内失稳连杆两端为绞支，长度长度 l=940。zyxb=25h=60解：解：(1)求柔度求柔度 10/29/2022材料力学材料力学在在 xz 面内失稳近似两端固定，面内失稳近似两端固定，长度长度 l 1=880。zyxb=25h=60杆在杆在 xz 面内先失稳，应用面内先失稳，应用 y 计算临界力。计算临界力。10/29/2022材料力学材料力学zyxb=25h=60（2）求临界力，作稳定校核）求临界力，作稳定校核因为因为 y=61 123，用阅历公式计算，用阅历公式计算压杆是稳定的压杆是稳定的10/29/202

24、2材料力学材料力学zyxb=25h=60（3）假如要求连杆在两平面内）假如要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等失稳时的临界力相等10/29/2022材料力学材料力学9-69-6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施提高压杆承载实力的主要途径：提高压杆承载实力的主要途径：（1）选择合理的截面形态）选择合理的截面形态 压杆将在刚度最小的平面内弯曲压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时假如只增加这时假如只增加截面某个方向的惯性矩截面某个方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载实力。并不能提高压杆的承载实力。最经济的方法是将截面设计成空的最经济的方法是将截面设计成空的,且尽量加大截且尽量加大截面的惯性矩面的

25、惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.10/29/2022材料力学材料力学正方形截面较矩形截面正方形截面较矩形截面合理；合理；（a a）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时同的约束条件时面积相等面积相等空心圆截面较实心圆截空心圆截面较实心圆截面更合理面更合理9-69-6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施10/29/2022材料力学材料力学组合截面其两个槽钢的组合截面其两个槽钢的形心间距离形心间距离h h以能使以能使I Iy y等等于或稍大于于或稍大于I Iz z者为合理。者为合理。（a a）当压杆

26、两端在各个方向弯曲平面内具有相）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时同的约束条件时9-69-6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施10/29/2022材料力学材料力学 应接受最大与最小惯性矩不等的截面应接受最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束小的平面内具有较强刚性的约束.（b b）当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时）当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时使压杆在各纵向平面内的柔度使压杆在各纵向平面内的柔度l l相同或接近相同。相同或接近相同。9-69-6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施10/29/2022材料

27、力学材料力学（2）变更压杆的约束条件）变更压杆的约束条件 支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的瘦长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。（3）合理选择材料）合理选择材料 在其他条件均相同的状况下，选用弹性模量大的材料，在其他条件均相同的状况下，选用弹性模量大的材料，可以提高瘦长压杆的承载实力。可以提高瘦长压杆的承载实力。9-69-6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施10/29/2022材料力学材料力学 （1 1）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（）和（）和（）对临界压力的综合影响。）对临界压力的综合影

28、响。填空：填空：选择：选择：(2)(2)由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后，其由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后，其（）。A.A.稳定性提高，强度不变；稳定性提高，强度不变；B.B.稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；C.C.稳定性和强度都提高；稳定性和强度都提高；D.D.稳定性和强度都不变。稳定性和强度都不变。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定10/29/2022材料力学材料力学B.B.稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 （1 1）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（截面形态）和（约束）对临界压力的综

29、合影响。（截面形态）和（约束）对临界压力的综合影响。填空：填空：选择：选择：(2)(2)由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后，其由低碳钢组成的瘦长压杆，经冷作硬化后，其（B B ）。10/29/2022材料力学材料力学(3)(3)图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（）。）。A.A.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIy y/L/L2 2，挠曲，挠曲线位于线位于xyxy面内；面内；B.B.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIy y/L/L2 2，挠曲，挠曲线位于线位于xzxz面内；面内；C.C.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIz z/L/L2 2，挠曲，挠曲线位于线位于xyxy面内；面内；D.D.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIz z/L/L2 2，挠曲，挠曲线位于线位于xzxz面内。面内。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定10/29/2022材料力学材料力学(3)(3)图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（B B B B ）。）。B.临界压力临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于挠曲线位于xz面内；面内；第九章第九章 压杆稳定压杆稳定10/29/2022