图形变换的矩阵方法优秀PPT.ppt

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1、1第四章第四章 图形变换的矩阵方法图形变换的矩阵方法 1 概述概述 2 二二维图形形变换 3 三三维图形形变换 本章小本章小结2该该向量集合事向量集合事实实上就是一个矩上就是一个矩阵阵。假如假如这这些点代表一个空些点代表一个空间图间图形的形的顶顶点，也就是点，也就是说说，我，我们们可以用矩可以用矩阵阵来描述（表示）空来描述（表示）空间间中的中的图图形。形。1 1 概述概述一、空一、空间图间图形的矩形的矩阵阵表示表示 若用一个行向量若用一个行向量 x1 x2 xn 表示表示n维维空空间间中一个点中一个点坐坐标标，那么，那么n维维空空间间中中m个点坐个点坐标标就可以表示就可以表示为为一个向量一个向

2、量集合：集合：3 对对于二于二维维空空间间，用，用表示表示图图形形(其中其中xi yi是是顶顶点坐点坐标标）。例：如例：如图图所示的所示的ABC，用矩，用矩阵阵表示表示为为 C(3,1)A(1,1)B(3,3)二、二、图图形形变换变换 是指是指对图对图形形进进行平移、旋行平移、旋转转、缩缩放、投影（透放、投影（透视视）等）等变换变换。图图形形变换变换的的实质实质是是变变更更图图形的各个形的各个顶顶点的坐点的坐标标。4 因此，因此，图图形形变换变换可以可以通通过对过对表示表示图图形坐形坐标标的矩的矩阵进阵进行运算来行运算来实现实现，称，称为为矩矩阵变换阵变换法法。矩矩阵变换阵变换法的一般形式：法

3、的一般形式：=本章探本章探讨讨的的问题问题：如何利用：如何利用变换变换矩矩阵实现对阵实现对二二维维、三、三维图维图形的各种形的各种变换变换。52 2 二维图形变换二维图形变换 分分为为两两类类：二：二维维基本基本变换变换，二，二维组维组合合变换变换。二二维维基本基本变换变换：比例：比例变换变换（缩缩放）、放）、对对称称变换变换、错错切切变换变换、旋、旋转变换转变换、平移、平移变换变换。二二维组维组合合变换变换：由多种基本：由多种基本变换组变换组合而成的合而成的变换变换。一、二一、二维维基本基本变换变换 矩矩阵变换阵变换法的形式法的形式为为：=6 通通过对变换过对变换矩矩阵阵 T 中各元素的不同

4、取中各元素的不同取值值，可以，可以实现实现各各种不同的二种不同的二维维基本基本变换变换。比例比例变换变换（缩缩放放变换变换）变换变换矩矩阵阵：设设二二维维平面的一个点坐平面的一个点坐标为标为x y，对对其其进进行矩行矩阵变换阵变换：变换变换后后该该点的坐点的坐标为标为：7比例比例变换变换（缩缩放放变换变换）其中，其中，a为为x方向的方向的缩缩放因子，放因子，d为为y方向的方向的缩缩放因子。放因子。依据依据a、d取取值值的不同，分的不同，分为为几种状况：几种状况：当当a=d，图图形沿形沿x方向和方向和y方向等比例方向等比例缩缩放放 当当a=d1，图图形沿形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大AB

5、C例：例：设设ABC对应对应的矩的矩阵为阵为设设，对对ABC进进行行变换变换：ABC8比例比例变换变换（缩缩放放变换变换）当当a=d，图图形沿形沿x方向和方向和y方向等比例方向等比例缩缩放放 当当a=d1，图图形沿形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 当当0a=d1，图图形沿形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 当当0a=d0，沿，沿x方向方向错错切（移切（移动动）；）；cy0，沿，沿y方向方向错错切（移切（移动动）；）；bx0，沿，沿y方向方向错错切（移切（移动动）；）；b=0即即bx=0，不，不错错切（恒等切（恒等变换变换）。）。22错错切切变换变换（可以理解（可以理解为为沿某个方向的

6、移沿某个方向的移动动）包括两种：沿包括两种：沿x方向方向错错切，沿切，沿y方向的方向的错错切。切。沿沿y方向方向错错切切例：例：设设矩形矩形ABCD对应对应的矩的矩阵为阵为设设T中的中的b2，对对矩形矩形ABCD进进行行变换变换：DABCABCD23DABCABCD错错切切变换变换（可以理解（可以理解为为沿某个方向的移沿某个方向的移动动）包括两种：沿包括两种：沿x方向方向错错切，沿切，沿y方向的方向的错错切。切。沿沿y方向方向错错切切变换变换特点：特点：变换变换后点的后点的x坐坐标标不不变变，y坐坐标标平移了平移了bx；平行于平行于y轴轴的直的直线变换线变换后仍平后仍平行于行于y轴轴；平行于平

7、行于x轴轴的直的直线变换线变换后，后，x=0的点不的点不动动(不不动动点点)，x0的点沿的点沿y方向平移了方向平移了bx，形成与，形成与x轴夹轴夹角角为为的直的直线线，且，且 tgbx/xb。bxx24旋旋转转变换变换 二二维图维图形的旋形的旋转转，一般是指，一般是指图图形形绕绕坐坐标标原点原点的旋的旋转转。并并规规定：定：逆逆时针时针方向旋方向旋转时转时角度角度取正取正值值；顺时针顺时针方向旋方向旋转时转时角度角度取取负值负值。留意：留意：绕绕非原点的随意一点的旋非原点的随意一点的旋转变换转变换属于属于组组合合变换变换。25旋旋转转变换变换 二二维图维图形的旋形的旋转转，一般是指，一般是指图

8、图形形绕绕坐坐标标原点原点的旋的旋转转。并并规规定：定：逆逆时针时针方向旋方向旋转时转时角度角度取正取正值值；顺时针顺时针方向旋方向旋转时转时角度角度取取负值负值。设设=30例：例：设设矩形矩形ABCD对应对应的矩的矩阵为阵为ABCDDABC旋旋转变换转变换后的矩后的矩阵为阵为26 对对上述比例上述比例变换变换、对对称称变换变换、错错切切变换变换、旋、旋转变换转变换四四种基本种基本变换进变换进行小行小结结：变换变换矩矩阵阵的一般形式的一般形式为为 比例比例变换变换v 当当a=d，图图形等比例形等比例缩缩放放 对对称称变换变换v 对对坐坐标轴标轴的的对对称称变换变换v 对对直直线线的的对对称称变

9、换变换v对对坐坐标标原点的原点的对对称称变换变换v 当当ad，图图形畸形畸变变27 对对上述比例上述比例变换变换、对对称称变换变换、错错切切变换变换、旋、旋转变换转变换四四种基本种基本变换进变换进行小行小结结：变换变换矩矩阵阵的一般形式的一般形式为为 错错切切变换变换v 沿沿x方向方向错错切切 旋旋转变换转变换v 沿沿y方向方向错错切切28 （五）（五）齐齐次坐次坐标标表示法和平移表示法和平移变换变换 1.齐齐次坐次坐标标表示法表示法 在在变换变换矩矩阵阵 的条件下，的条件下，讨论讨论了了平面平面图图形的比例、形的比例、对对称和旋称和旋转变换转变换，为为何没有何没有讨论图讨论图形的形的平移平移

10、变换变换呢？原因是呢？原因是T 不具不具备对图备对图形形进进行平移行平移变换变换的功能。的功能。欲想欲想实现实现平面平面图图形的平移，那么形的平移，那么图图形上任意一点的坐形上任意一点的坐标标，平移前后的必平移前后的必须满须满足：足：29从矩从矩阵阵的乘法可知，要想得到的乘法可知，要想得到 那么，平移那么，平移变换应变换应具有如下形式：具有如下形式：令：令：，则则有有为为了得到了得到30 由上可知，把向量由上可知，把向量x y 改写改写为为x y 1，就可，就可进进行平移行平移变换变换了。了。在此将在此将 x y 1 称称为为平面坐平面坐标标点点x y的的齐齐次坐次坐标标表示法。表示法。一般状

11、况下：用一般状况下：用n+1维维向量表示向量表示n维维向量，第向量，第n+1个重量取个重量取为为常数（常数（齐齐次次项项）的表示方法）的表示方法为齐为齐次坐次坐标标表示法。表示法。标标准化准化齐齐次坐次坐标标表示法：若表示法：若齐齐次次项为项为1，则为标则为标准化准化齐齐次坐次坐标标表示法。表示法。31 变换矩阵 ，其中其中l、m为为平移参数平移参数。2.平移平移变换变换 对随意一点x y 1，则x y 1 =x+l y+m （留意：形式上与x y 1并不统一）。一般将变换矩阵扩充为T33，使其具备更多的功能，它的一般形式为：32(比例、比例、对对称、称、错错切和旋切和旋转变换转变换)(透透视

12、变换视变换)(全比例全比例变变换换)(平移平移变换变换)相相应应的平移矩的平移矩阵阵：，引入引入 后，不后，不仅仅增加了功能，而且使增加了功能，而且使变换变换前后的坐前后的坐标标形形式式统统一。一。33 假如坐假如坐标变换结标变换结果是非果是非标标准化准化齐齐次坐次坐标标表示，表示，应应将其化将其化为标为标准准齐齐次坐次坐标标表示。方法是全部表示。方法是全部项项都除以都除以齐齐次次项项。如：。如：由此可知，当：(全比例全比例缩缩小小)；(全比例放大全比例放大)；(缩缩至原点至原点)。34二、二二、二维组维组合合变换变换 在在图图形形变换变换中，往往中，往往须须要一些比基本要一些比基本变换变换更

13、困更困难难的的变变换换。我。我们们称由多个二称由多个二维维基本基本变换组变换组成的困成的困难变换为难变换为二二维组维组合合变换变换（二（二维维基本基本变换变换的的级联级联）。）。已已经证经证明：任何二明：任何二维组维组合合变换变换均可分解均可分解为为多个基本多个基本变变换换的乘的乘积积。二二维组维组合合变换变换矩矩阵阵TT1T2Tm（Ti 是基本是基本变变换换矩矩阵阵，具不行交，具不行交换换性）。由此可知，性）。由此可知，进进行二行二维组维组合合变换变换的关的关键问题键问题是求是求T（m个基本个基本变换变换矩矩阵阵）。）。下面通下面通过过两个例子介两个例子介绍组绍组合合变换变换：绕绕坐坐标标原

14、点以外的随意一点原点以外的随意一点P(x0 y0)旋旋转转角的旋角的旋转变换转变换35 绕绕坐坐标标原点以外的随意一点原点以外的随意一点P(x0 y0)旋旋转转角的旋角的旋转变换转变换 可分解可分解为为：P(x0 y0)ABCDABCD 平移平移变换变换 使旋使旋转转中心中心P平移到坐平移到坐标标原点。原点。P(0 0)ABCDABCD 旋旋转变换转变换 绕绕坐坐标标原点旋原点旋转转角。角。36 绕绕坐坐标标原点以外的随意一点原点以外的随意一点P(x0 y0)旋旋转转角的旋角的旋转变换转变换 可分解可分解为为：P(x0 y0)ABCD 平移平移变换变换 使旋使旋转转中心中心P回到原来回到原来的

15、位置。的位置。P(0 0)ABCD 组组合合变换变换矩矩阵阵TT1 T2 T3ABCDP(x0 y0)37 2.对对随意直随意直线线的的对对称称变换变换 设设直直线线方程方程为为：AxByC0(A0，B0)，直，直线线在在x轴轴上的截距上的截距为为C/A，在，在y轴轴上的截距上的截距为为C/B,直直线线与与x轴轴的的夹夹角角=arctg(A/B)。可分解可分解为为：平移平移变换变换 沿沿x轴轴方向平移方向平移 C/A，使直，使直线线通通过过坐坐标标原点。原点。ABCABCC/BC/A38 旋旋转变换转变换 绕绕坐坐标标原点旋原点旋转转-角，使直角，使直线线与与x轴轴重合。重合。对对x轴进轴进行

16、行对对称称变换变换 旋旋转变换转变换 绕绕坐坐标标原点旋原点旋转转+角。角。39 平移平移变换变换 沿沿x方向平移方向平移C/A，使直，使直线线回到原位置。回到原位置。因此，因此，对对随意直随意直线线的的对对称称变换变换矩矩阵阵TT1 T2 T3 T4 T5，即：，即：40 二二维组维组合合变换变换 1.绕绕坐坐标标原点以外的随意一点的旋原点以外的随意一点的旋转变换转变换。2.对对随意直随意直线线的的对对称称变换变换。留意：留意：1.二二维组维组合合变换变换可分解可分解为为多个二多个二维维基本基本变换变换，组组合合变变换换矩矩阵阵是基本是基本变换变换矩矩阵阵的乘的乘积积；2.分解分解时时，运用

17、的基本，运用的基本变换类变换类型及其型及其组组合依次并不唯合依次并不唯一。一。413 3 三维图形变换三维图形变换 三三维图维图形形变换变换是二是二维图维图形形变换变换在三在三维维空空间间中的中的扩扩展，展，因此，它和二因此，它和二维图维图形形变换类变换类似。似。仿照二仿照二维图维图形形变换变换，用，用四四维齐维齐次坐次坐标标x y z 1表示三表示三维维空空间间的点的点x y z，其，其变换变换形式形式为为：三三维维基基本本变变换换（比比例例、对对称称、错错切、旋切、旋转转）透透视变换视变换平移平移变换变换全比例全比例变换变换42一、三一、三维维基本基本变换变换 1.比例比例变换变换 当当

18、a=e=j1，各向等比例，各向等比例缩缩放放 a=e=j=1，恒等，恒等变换变换aej，各向，各向缩缩放比例不同，放比例不同，产产生形生形变变(畸畸变变)0s1，全比例，全比例缩缩小小;s0）。）。1-2 对对yoz平面投影平面投影xyz1-2 对对yoz平面投影平面投影最最终终图图形形旋旋转转平移前平移前xyz65因此因此侧视侧视投影的投影的变换变换矩矩阵为阵为：yoz投影投影变换变换 绕绕z旋旋转转90o沿沿x平移平移变换变换66，俯俯视视投影投影 视视点位于物体的正上方，点位于物体的正上方，向向xoy坐坐标标平面平面进进行投影。行投影。各点的各点的z坐坐标变为标变为0，x、y坐坐标标不不

19、变变。考考虑绘图时虑绘图时的的统统一性，一性，将将图图形形绘绘在同一个坐在同一个坐标标平面平面上，作如下上，作如下处处理：理：1-3对对xoy平面投影平面投影xyz 将将xoy平面上的俯平面上的俯视图绕视图绕x轴轴旋旋转转-90度。度。为为了与了与xoz平面上已有的平面上已有的图图形保持确定的形保持确定的间间距，再沿距，再沿z轴轴平移平移-n（n0）。）。67xoy投影投影变换变换 绕绕x旋旋转转-90o沿沿z平移平移变换变换因此俯因此俯视视投影的投影的变换变换矩矩阵为阵为：68投投影影平行投影平行投影透透视视投影投影一点透一点透视视两点透两点透视视三点透三点透视视斜平行投影斜平行投影斜斜轴侧

20、轴侧斜二斜二轴侧轴侧斜等斜等轴侧轴侧正平行投影正平行投影正正轴侧轴侧投影投影正投影正投影(正正视视、侧视侧视、俯、俯视视)正三正三轴侧轴侧正等正等轴侧轴侧正二正二轴侧轴侧69 2.轴测轴测投影投影变换变换 使正使正视图视图、侧视图侧视图、俯、俯视图视图投影到同一个投影平面上投影到同一个投影平面上称称为轴侧为轴侧投影。投影。包括正包括正轴侧轴侧投影和斜投影和斜轴侧轴侧投影两种方式。投影两种方式。正正轴测轴测投影投影变换变换 该变换该变换是使物体先是使物体先绕绕 z 轴轴旋旋转转角，再角，再绕绕x轴轴旋旋转转-(0)角，最角，最终终向向xoz平面投影。因此，其平面投影。因此，其变换变换矩矩阵为阵为

21、三个三个基本基本变换变换矩矩阵阵的乘的乘积积：绕绕z轴轴旋旋转转绕绕x轴轴旋旋转转向向xoz面投影面投影70 例：例：设设 、，对单对单位立方体位立方体进进行正行正轴测轴测投影投影变变换换。单单位正方体各位正方体各顶顶点点齐齐次坐次坐标标矩矩阵阵：xyzABCDEFGH71xyABCDEFGHzA单单位立方体正位立方体正轴测轴测投影投影xBzCDGEFH72xyABCDEFGHzA单单位立方体正位立方体正轴测轴测投影投影xBzCDGEFH 轴侧轴侧投影的投影的图图形会形会产产生形生形变变，形形变变程度用程度用变变形系数衡量。形系数衡量。各各轴轴的的轴轴向向变变形系数形系数如下：如下：依据依据轴

22、轴向向变变形系数之形系数之间间的关系，的关系，轴侧轴侧投影可分投影可分为为等等轴侧轴侧、二、二轴侧轴侧等等投影方式。投影方式。73 正等正等轴测轴测投影：投影：由由x=y=z 可求得可求得=45o、=35o16，代入正，代入正轴轴测测投影投影变换变换矩矩阵阵 T正正，得：，得：当当x=y=z 时时xyABCDEFGHz单单位立方体正等位立方体正等轴测轴测投影投影xz74 正二正二轴测轴测投影：投影：由由x=2y=z 可求得可求得=20o42、=19o28，代入正，代入正轴测轴测投影投影变换变换矩矩阵阵T正正，得：，得：当当x=2y=z 时时xyABCDEFGHz单单位立方体正二位立方体正二轴测

23、轴测投影投影xzo75 2.轴测轴测投影投影变换变换 正正轴测轴测投影投影变换变换 斜斜轴测轴测投影投影变换变换 如何将正如何将正视图视图、侧视图侧视图、俯、俯视图视图投影到同一个投影平投影到同一个投影平面上呢？面上呢？该变换该变换是使物体先沿是使物体先沿x含含y错错切，再沿切，再沿z含含y错错切，最切，最终终向向xoz平面投影。因此，其平面投影。因此，其变换变换矩矩阵阵也是三个基本也是三个基本变换变换矩矩阵阵的乘的乘积积：76 在在变换变换矩矩阵阵T斜斜中，当中，当d、f 取不同的取不同的值时值时可得到各种可得到各种不同的斜不同的斜轴侧轴侧透透视图视图：同同样样，斜，斜轴侧轴侧投影的投影的图

24、图形也会形也会产产生形生形变变。各。各轴轴的的轴轴向向变变形系数形系数如下：如下：依据依据轴轴向向变变形系数之形系数之间间的关系，斜的关系，斜轴侧轴侧投影也可分投影也可分为为斜等斜等轴侧轴侧、斜二、斜二轴侧轴侧(常用形式常用形式)等投影方式。等投影方式。（a）d=1，f=1；（；（b）d=1，f=-1；（；（c）d=-1，f=-1；（；（d）d=-1，f=177 斜二斜二轴测轴测投影：投影：由由x=2y=z 可求得可求得d=f=0.354，代入斜，代入斜轴测轴测投影投影变换变换矩矩阵阵T斜斜，得：，得：当当x=2y=z 时时78投投影影平行投影平行投影透透视视投影投影一点透一点透视视两点透两点

25、透视视三点透三点透视视斜平行投影斜平行投影斜斜轴侧轴侧斜二斜二轴侧轴侧斜等斜等轴侧轴侧正平行投影正平行投影正正轴侧轴侧投影投影正投影正投影(正正视视、侧视侧视、俯、俯视视)正三正三轴侧轴侧正等正等轴侧轴侧正二正二轴侧轴侧79 3.透透视视投影投影变换变换 对对于一个空于一个空间间物体，若用物体，若用轴测轴测投影，物体的平行投影，物体的平行边边投投影后仍旧保持平行，影后仍旧保持平行，这这与人的与人的视觉视觉是有差异的。是有差异的。为为解决解决视觉视觉差异，提出透差异，提出透视视投影。投影。透透视视投影后物体的平行投影后物体的平行边边不确定保持平行，不确定保持平行，这这些不平些不平行的行的边边延延

26、长长后将后将汇汇聚于一点，称之聚于一点，称之为灭为灭点。点。依据依据灭灭点的个数，透点的个数，透视视投影可分投影可分为为一点透一点透视视、二点透、二点透视视、三点透、三点透视视。一点透一点透视视投影投影变换变换 先先对对物体作透物体作透视变换视变换，然后向，然后向xoz平面投影。平面投影。变换变换矩矩阵为阵为：80其中：其中：q灭灭点到投影面垂直距离的倒数。点到投影面垂直距离的倒数。q0，灭灭点位于物体内点位于物体内侧侧。为为符合人符合人们们的的视觉习惯视觉习惯，一般取，一般取q0。一点透一点透视视投影投影变换变换 先先对对物体作透物体作透视变换视变换，然后向然后向xoz平面投影平面投影。变换

27、变换矩矩阵为阵为：81 另外，在画透另外，在画透视图时视图时，若物体的空，若物体的空间间位置不足以反映位置不足以反映物体的空物体的空间间形形态态，常常先把物体平移到合适的位置，然后，常常先把物体平移到合适的位置，然后再再进进行投影行投影变换变换。这时这时，一点透，一点透视视的的变换变换矩矩阵为阵为：透透视视投影内外投影内外侧灭侧灭点点灭灭点点(q0)82 例：取例：取l=1，m=-1，n=-2，q=-0.35，对单对单位立方体位立方体作一点透作一点透视视投影。投影。单单位立方体位立方体一点透一点透视视投影投影图图xzo83 两点透两点透视视投影投影变换变换 先使物体先使物体绕绕z轴轴旋旋转转角

28、，并考角，并考虑虑物体的平移，最物体的平移，最终终作作一点透一点透视视投影。因此，二点透投影。因此，二点透视视投影的投影的变换变换矩矩阵为阵为：84 例：例：设设=30o，l=0，m=-1.5，n=-1.2，q=-0.6，画，画单单位立方体的两点透位立方体的两点透视图视图。单单位立方体的两点透位立方体的两点透视图视图xzo85 三点透三点透视视投影投影变换变换矩矩阵阵 先使物体先使物体绕绕z轴轴旋旋转转角角，再再绕绕x轴轴旋旋转转角角，平移后作平移后作一点透一点透视视投影投影。因此，三点透。因此，三点透视视投影的投影的变换变换矩矩阵为阵为：86 例：例：设设=50o,=20o,l=0,m=n=

29、-1.5,q=-0.58,画画单单位立方体的三点透位立方体的三点透视视投影投影图图。单单位立方体的三点透位立方体的三点透视图视图87本章小本章小结结二二维维和三和三维图维图形的形的图图形形变换变换方法方法注：参数曲注：参数曲线线的的图图形形变换变换有特地的方法。有特地的方法。二二维图维图形形变换变换基本基本变换变换比例比例变换变换对对称称变换变换（对对原点、原点、对对坐坐标轴标轴、对对直直线线）错错切切变换变换（沿（沿x轴轴、沿、沿y轴轴）旋旋转变换转变换（指（指绕绕坐坐标标原点的旋原点的旋转转）平移平移变换变换组组合合变换变换88三三维图维图形形变换变换v基本基本变换变换比例比例变换变换错错

30、切切变换变换：沿：沿x轴轴(含含y,含含z)、沿、沿y轴轴(含含x,含含z)、沿沿z轴轴(含含x,含含y)。对对称称变换变换：对对原点、原点、对对坐坐标轴标轴、对对坐坐标标平面。平面。旋旋转变换转变换：指指绕绕坐坐标轴标轴的旋的旋转转平移平移变换变换 v组组合合变换变换v投影投影变换变换89三三维图维图形形变换变换v基本基本变换变换v组组合合变换变换v投影投影变换变换正投影正投影变换变换：正：正视视、侧视侧视、俯、俯视视。轴侧轴侧投影投影变换变换：正：正轴侧轴侧投影投影(正等正等轴侧轴侧,正二抽正二抽测测、斜、斜轴侧轴侧投影投影(斜二斜二轴侧轴侧)。透透视视投影投影变换变换：一点透：一点透视视、二点透、二点透视视、三点透、三点透视视