由此人们提出了量子力学理论优秀PPT.ppt

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1、第一章第一章量子力学基础学问量子力学基础学问（课堂讲授（课堂讲授8学时）学时）1.微观粒子的运动特征微观粒子的运动特征2.量子力学基本假设量子力学基本假设3.算符、本征方程及其解算符、本征方程及其解4.势箱中自由粒子的薛定谔势箱中自由粒子的薛定谔方程及其解方程及其解 十九世纪末，经典物理学已经形成一个相当完善的体系，机械力学方面建立了牛顿三大定律，热力学方面有吉布斯理论，电磁学方面用麦克斯韦方程统一说明电、磁、光等现象，而统计方面有玻耳兹曼的统计力学。当时物理学家很骄傲地说，物理学的问题基本解决了，一般的物理都可以从以上某一学说获得说明。唯独有几个物理试验还没找到说明的途径，而恰恰是这几个试验

2、为我们打开了一扇通向微观世界的大门。十九世纪末的物理学十九世纪末的物理学电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现象均不能用经典物理理论来说明，由此人们提出了量子力学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。黑体是一种能全部吸取照射到它上面的各种波长辐射的黑体是一种能全部吸取照射到它上面的各种波长辐射的物体。带有一微孔的空心金属球，特别接近于黑体，进物体。带有一微孔的空心金属球，特别接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸取、反射、使射入的入金属球小孔的辐射，经过多次吸取、反射、使射入的辐射事实上全部被吸取。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射

3、事实上全部被吸取。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，微小部分通过小孔逸出。黑体是志向的吸取体，辐射，微小部分通过小孔逸出。黑体是志向的吸取体，也是志向的放射体。也是志向的放射体。第一节第一节.微观粒子的运动特征微观粒子的运动特征 一个吸取全部入射线的表面称为黑体表面。一个带小孔的空腔可视为黑体表面。它几乎完全吸取入射幅射。通过小孔进去的光线遇到内表面时部分吸取，部分漫反射，反射光线再次被部分吸取和部分漫反射，只有很小部分入射光有机会再从小孔中出来。如图11所示图12表示在四种不同的温度下，黑体单位面积单位波长间隔上放射的功率曲线。十九世纪末，科学家们对黑体辐射试验进行了细致测量，发觉辐射强度对腔

4、壁温度T的依靠关系。为了说明黑体辐射现象，他提出粒子能量恒久是为了说明黑体辐射现象，他提出粒子能量恒久是 h h 的整数倍，的整数倍，=n h=n h ，其中，其中 是辐射频率，是辐射频率，h h 为新的物理常数，后人称为新的物理常数，后人称为普朗克常数为普朗克常数(h=6.62610-34 Js)(h=6.62610-34 Js)，这一创建性的工作，这一创建性的工作使他成为量子理论的奠基者，在物理学发展史上具有划时代使他成为量子理论的奠基者，在物理学发展史上具有划时代的意义。他第一次提出辐射能量的不连续性，著名科学家爱的意义。他第一次提出辐射能量的不连续性，著名科学家爱因斯坦接受并补充了这一

5、理论，以此发展自己的相对论，波因斯坦接受并补充了这一理论，以此发展自己的相对论，波尔也曾用这一理论说明原子结构。量子假说使普朗克获得尔也曾用这一理论说明原子结构。量子假说使普朗克获得19181918年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。黑体是志向的吸取体，也是志向的放射体。当把几种黑体是志向的吸取体，也是志向的放射体。当把几种物体加热到同一温度，黑体放出的能量最多。由图中不同物体加热到同一温度，黑体放出的能量最多。由图中不同温度的曲线可见，随温度增加，温度的曲线可见，随温度增加，E增大，且其极大值向高增大，且其极大值向高频移动。为了对以上现象进行合理说明，频移动。为了对以上现象进行合理说明，1900

6、年年Plank提提出了黑体辐射的能量量子化公式出了黑体辐射的能量量子化公式:PlankTheNobelPrizeinPhysics1918fortheirtheories,developedindependently,concerningthecourseofchemicalreactionsMaxKarlErnstLudwigPlanckGermanyBerlinUniversityBerlin,Germany1858-1947普朗克普朗克 依据光波的经典图像，波的能量与它的强度成正比，而与频率无关，因此只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光电效应，而电子的能动将随光强的增加而增加，与光的

7、频率无关，这些经典物理学的推想与试验事实不符。光电效应是光照在金属表面上，金属放射出电子的现象。1.只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能放射光电子，不同金属的临阈频率不同。2.随着光强的增加，放射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。图图1-3 1-3 光电效应示意图光电效应示意图(光源打开后光源打开后,电流表电流表指针偏转指针偏转)(2).光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静止质量为零。按相对论的质能联系定律,=mc2,光子的质量为 m=hc2所以不同频率的光子有不同的质量。1905年，Einstein提出光子学说，圆满

8、地说明白光电效应。光子学说的内容如下：(1).光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与光子的频率成正比，即式中h为Planck常数，为光子的频率。将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时，产生光电效应，光子消逝，并把它的能量h转移给电子。电子吸取的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子的动能。(3).光子具有确定的动量(p)P=mc=hP=mc=h /c=h/c=h光子有动量在光压试验中得到了证明。(4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。E Ek k=h=h W 当h W时，从金属中放射的电子具有确

9、定的动能，它随 的增加而增加，与光强无关。式中W是电子逸出金属所须要的最低能量，称为脱出功，它等于h0；Ek是光电子的动能，它等于 mv22，上式能说明全部试验观测结果：当h n n1 1,n n1 1、n n2 2为正整数为正整数该公式可推广到氢原子光谱该公式可推广到氢原子光谱的其它谱系的其它谱系21（3 3）各态能量一定，角动量也一定）各态能量一定，角动量也一定(M=nh/2(M=nh/2)并且是并且是量子化量子化的，大小为的，大小为 h/2h/2 的整数倍。的整数倍。（1 1）原子中有一些）原子中有一些确定能量确定能量的稳定态，原子处于定态的稳定态，原子处于定态 不辐射能量。不辐射能量。

10、（2 2）原子从）原子从一定态一定态过渡到过渡到另一定态另一定态，才发射或吸收能量。，才发射或吸收能量。为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论，为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论，爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著名的玻尔理论：名的玻尔理论：+e-er库仑引力库仑引力 离心力离心力 角动量角动量总能量总能量动能动能势能势能Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，对碱金属原子也近似适用.但它竟不能说明He原子的光谱，更不必说较困难的原子；也不能计算谱线强度。后来，Bohr模型又被.Sommerfeld等人进一步改

11、进，增加了椭圆轨道和轨道平面取向量子化(即空间量子化).这些改进并没有从根本上解决问题,促使更多物理学家相识到,必需对物理学进行一场深刻变革.法国物理学家德布罗意(L.V.deBroglie)英勇地迈出一大步.1924年,他提出了物质波可能存在的主要论点.BohrBohr玻尔玻尔他获得了他获得了1922年的年的诺贝尔物诺贝尔物理学奖。理学奖。Bohr(older)Bohr(older)玻尔玻尔 Einstein为了说明光电效应提出了光子说，即光子为了说明光电效应提出了光子说，即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在科学界引起很大是具有波粒二象性的微粒，这一观点在科学界引起很大振动。振动。192

12、4年，年轻的法国物理学家德布罗意（年，年轻的法国物理学家德布罗意（de Broglie）从这种思想动身）从这种思想动身,提出了实物微粒也有波性提出了实物微粒也有波性,他他认为：认为：“在光学上在光学上,比起波动的探讨方法，是过于忽视了比起波动的探讨方法，是过于忽视了粒子的探讨方法；在实物微粒上，是否发生了相反的错粒子的探讨方法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是不是把粒子的图像想得太多，而过于忽视了波的误？是不是把粒子的图像想得太多，而过于忽视了波的图像？图像？”-德布罗意物质波他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。E=h v,p=h/E=h v,p=h/1927年，戴维逊（Davisso

13、n）与革末（Germer）利用单晶体电子衍射试验，汤姆逊（Thomson）利用多晶体电子衍射试验证明白德布罗意的假设。光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性。戴维逊(Davisson)等估算了电子的运动速度，若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个pm，这样波长一般光栅无法检验出它的波动性。他们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距，所以选择了金属的单晶为衍射光栅。将电子束加速到确定将电子束加速到确定速度去撞击金属速度去撞击金属NiNi的单晶，的单晶，视察到完全类似射线的视察到完全类似射线的衍射图象

14、，证明白电子的衍射图象，证明白电子的确具有波动性。图确具有波动性。图1-51-5为电为电子射线通过子射线通过 CsI CsI薄膜时的薄膜时的衍射图象，一系列的同心衍射图象，一系列的同心圆称为衍射环纹。该试验圆称为衍射环纹。该试验首次证明白德布罗意物质首次证明白德布罗意物质波的存在。后来接受中子、波的存在。后来接受中子、质子、氢原子等各种粒子质子、氢原子等各种粒子流，都视察到了衍射现象。流，都视察到了衍射现象。证明白不仅光子具有波粒证明白不仅光子具有波粒二象性，微观世界里的全二象性，微观世界里的全部微粒都有具有波粒二象部微粒都有具有波粒二象性，波粒二象性是微观粒性，波粒二象性是微观粒子的一种基本

15、属性。子的一种基本属性。微观粒子因为没有明确的外形和确定的轨道，我们得不到一个粒子一个粒子的衍射图象，我们只能用大量的微粒流做衍射试验。试验起先时，只能视察到照象底片上一个个点，未形成衍射图象，待到足够长时间，通过粒子数目足够多时，照片才能显出衍射图象，显示出波动性来。可见微观粒子的波动性是一种统计行为。微粒的物质波与宏观的机械波（水波，声波）不同，机械波是介质质点的振动产生的；与电磁波也不同，电磁波是电场与磁场的振动在空间的传播。微粒物质波，能反映微粒出现几率，故也称为几率波。空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子

16、出现空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现在此处的在此处的在此处的在此处的几率几率几率几率成正比成正比成正比成正比,此即物质波的此即物质波的此即物质波的此即物质波的统计解释统计解释统计解释统计解释.德布罗意（LouisVictordeBroglie，1892-1987）法国物理学家。德布罗意提出的物质波假设。为人类探讨微观领域内物体运动的基本规律指明白方向。为了表彰德布罗意，他被授予1929年诺贝尔物理学奖。具有波动性的粒子不能同时有具有波动性的粒子不能同时有具有波动性的粒子不能同时有具有波动性的粒子不能同时有精确坐标和动量精确坐标和动量精确坐标和动量精确坐标和动量.当粒子的某个坐标被确定得

17、愈精确当粒子的某个坐标被确定得愈精确当粒子的某个坐标被确定得愈精确当粒子的某个坐标被确定得愈精确,则其相应的则其相应的则其相应的则其相应的动量则愈不精确动量则愈不精确动量则愈不精确动量则愈不精确;反之亦然反之亦然反之亦然反之亦然.但是，其位置偏差但是，其位置偏差但是，其位置偏差但是，其位置偏差(x)x)x)x)和动量偏差和动量偏差和动量偏差和动量偏差(p)p)p)p)的积恒定的积恒定的积恒定的积恒定.即有以下关即有以下关即有以下关即有以下关系系系系:通过电子的单缝衍射可以说明这种通过电子的单缝衍射可以说明这种通过电子的单缝衍射可以说明这种通过电子的单缝衍射可以说明这种“不确定不确定不确定不确定

18、”的确存的确存的确存的确存在。在。在。在。1.1.4不确定度关系不确定度关系-测不准原理测不准原理x=bx=bx=bx=b在在同同一一瞬瞬时时，由由于于衍衍射射的的原原因因，电电子子动动量量的的大大小小虽虽未未变变更更，但但动动量量的的方方向向有有了了变变更更。由由图图可可以以看看到到，假假如如只只考考虑虑一一级级(即即 )衍衍射射图图样样，则则电电子子绝绝大大多多数数落落在在一一级级衍衍射射角角范范围围内内，电电子子动动量量沿沿 轴轴方方向向重量的不确定范围为重量的不确定范围为由德布罗意公式和单缝衍射公式由德布罗意公式和单缝衍射公式和和上式可写为上式可写为又因为又因为x=bx=bx=bx=b

19、，因此因此因此因此 宏观世界与微观世界的力学量之间有很大区分，前者在取值上没有限制，变更是连续的，而微观世界的力学量变更是量子化的，变更是不连续的，在不同状态去测定微观粒子，可能得到不同的结果，对于能得到确定值的状态称为“本征态”，而有些状态只能测到一些不同的值（称为平均值），称为“非本征态”。例如，当电子处在坐标的本征态时，测定坐标有确定值，而测定其它一些物理量如动量，就得不到确定值，相反若电子处在动量的本征态时，动量可以测到精确值，坐标就测不到确定值，而是平均值。海森伯（Heisenberg）称两个物理量的这种关系为“测不准”关系。海海森森伯伯(W.(W.K.K.HeisenbergHei

20、senberg，1901-1976)1901-1976)德德国国理理论论物物理理学学家家，他他于于19251925年年为为量量子子力力学学的的创创立立作作出出了了最最早早的的贡贡献献，而而于于2626岁岁时时提提出出的的不不确确定定关关系系则则与与物物质质波波的的概概率率说说明明一一起起，奠奠定定了了量量子子力力学学的的基基础础，为为此此，他他于于19321932年年获获诺诺贝贝尔物理学奖。尔物理学奖。海森伯所以，子弹位置的不确定范围是微乎其微的。可见子所以，子弹位置的不确定范围是微乎其微的。可见子弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物体

21、来说没有实际意义。物体来说没有实际意义。例例1.1.一一颗颗质质量量为为10g 10g 的的子子弹弹，具具有有200ms-1200ms-1的的速速率率，若若其其动动量量的的不不确确定定范范围围为为动动量量的的0.01%(0.01%(这这在在宏宏观观范范围围已特别精确已特别精确)，则该子弹位置的不确定量范围为多大，则该子弹位置的不确定量范围为多大?解解:子弹的动量子弹的动量动量的不确定范围动量的不确定范围由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种状况下，电子位置的不确定范围比原子的大小还要大几亿倍，可见企

22、图精确地确定电子的位置和动量已没有实际意义。例例2 2.一一电电子子具具有有200 200 的的速速率率，动动量量的的不不确确定定范范围围为为动动量量的的0.01%(0.01%(这这已已经经足足够够精精确确了了)，则则该该电电子子的的位位置不确定范围有多大置不确定范围有多大?解解:电子的动量为电子的动量为动量的不确定范围动量的不确定范围由不确定关系式，得电子位置的不确定范围由不确定关系式，得电子位置的不确定范围宏观物体微观粒子具有确定的坐标和动量没有确定的坐标和动量可用牛顿力学描述。需用量子力学描述。有连续可测的运动轨道，可有概率分布特性，不行能辨别追踪各个物体的运动轨迹。出各个粒子的轨迹。体

23、系能量可以为随意的、连能量量子化。续变更的数值。不确定度关系无实际意义遵循不确定度关系微观粒子和宏观物体的特性对比微观粒子和宏观物体的特性对比 量子力学的基本假设，象几何学中的公理一样，是不能被证明的。公元前三百年欧几里德依据公理方法写出几何原本一书，奠定了几何学的基础。二十世纪二十年头，狄拉克，海森伯，薛定锷等在量子力学假设的基础上构建了这个量子力学大厦。假设虽然不能干脆证明，但也不是凭科学家主观想象出来的，它来源于试验，并不断被试验所证明。假设假设1：对于一个微观体系，它的状态和有关状况可：对于一个微观体系，它的状态和有关状况可以用波函数以用波函数(x,y,z,t)来表示。来表示。是体系的

24、状态函数，是体系是体系的状态函数，是体系中全部粒子的坐标函数，也是时间函数。不含时间的波函中全部粒子的坐标函数，也是时间函数。不含时间的波函数数（x,y,z)称为定态波函数。本课程只探讨定态波函数。称为定态波函数。本课程只探讨定态波函数。量子力学是描述微观体系运动规律的科学量子力学是描述微观体系运动规律的科学.例如：对一个两粒子体系例如：对一个两粒子体系,=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1,x,x2 2,y,y2 2,z,z2 2,t),t)，其中，其中x x1 1,y,y1 1,z,z1 1为粒子为粒子1 1的坐标；的坐标；x x2 2,y,y2 2,z,z2 2为粒子为粒子2

25、2的坐标；的坐标；t t是时间。是时间。1.2.1 波函数波函数和微观粒子的状态和微观粒子的状态*=(f-ig)(f+ig)=f2+g2因此因此*是实数，而且是正值。为了书写便是实数，而且是正值。为了书写便利，有时也用利，有时也用2代替代替*。的形式可由光波推演而得，依据平面单色光的波动方程：=A expi2(x/-t)将波粒二象性关系将波粒二象性关系 E=h，p=h/代入，得单粒子代入，得单粒子一维运动的波函数一维运动的波函数=A exp（i2/h）(x p x-Et)一般是复数形式：一般是复数形式：=f+ig,f和和g是坐标的实函数，是坐标的实函数，的共轭复数为的共轭复数为*,其定义为其定

26、义为*=f-ig。为了求。为了求*，只需在只需在 中出现中出现i的地方都用的地方都用 i 代替即可。由于代替即可。由于在原子、在原子、分子等体系中，将分子等体系中，将称为原子轨道或分子称为原子轨道或分子轨道；将轨道；将*称为概率密度，它就是通常所说的电称为概率密度，它就是通常所说的电子云；子云；*d*d为空间某点旁边体积元为空间某点旁边体积元d(dxdydz)d(dxdydz)中电子出现的概率。中电子出现的概率。(x,y,z)(x,y,z)在空间某点的数值，可能是正值，也在空间某点的数值，可能是正值，也可能是负值。微粒的波性通过可能是负值。微粒的波性通过的的+、-号反映出来，号反映出来，这和光

27、波是相像的。这和光波是相像的。+、-号涉及状态函数号涉及状态函数(如原子轨如原子轨道等道等)的重叠。的重叠。的性质与它是奇函数还是偶函数有关的性质与它是奇函数还是偶函数有关 偶函数：偶函数：(x,y,z)=(-x,-y,-z)(x,y,z)=(-x,-y,-z)奇函数：奇函数：(x,y,z)=-(-x,-y,-z)(x,y,z)=-(-x,-y,-z)波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个状态的几率性质（选率）。状态的几率性质（选率）。平方可积：平方可积：即即 在整个空间的积分在整个空间的积分*d d 应为一应为一有限数，通常要求波函数归一化，

28、即有限数，通常要求波函数归一化，即*d d 1 1。合格波函数的条件合格波函数的条件 由于波函数描述的波是几率波，所以波函数必需满足下列三个条件：单值：单值：即在空间每一点即在空间每一点只能有一个值只能有一个值 ；连续：连续：即即的值不会出现突跃，而且的值不会出现突跃，而且对对x x，y y，z z 的一级微商也是连续函数的一级微商也是连续函数 ；符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数。波函数。波函数 1.2.2 1.2.2 物理量和算符物理量和算符假设假设2 2：对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一对一个微观体系的每个可观测的物理

29、量，都对应着一个线性自轭算符。个线性自轭算符。算符：对某一函数进行运算算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。如：规定运算操作性质的符号。如：sinsin，loglog等。等。线性算符：线性算符：(1 1 2 2)1 1 2 2自轭算符：自轭算符：1 1*1 1 d d 1 1(1 1)*d d 或或 1 1*2 2 d d 2 2(1 1)*d d 例如，例如，idid/dxdx，1 1expexpixix，1 1*exp-exp-ixix，则，则，exp-exp-ixix(idid/dxdx)exp)expixix dx dx exp-exp-ixix(-exp(-expixix

30、)dxdx -x.x.exp expixix (idid/dxdx)exp)expixix *dx dx expexpixix(-exp(-expixix)*dxdx-x.x.量子力学需用量子力学需用线性自轭算符线性自轭算符，目的是使算符对应的，目的是使算符对应的本征本征值为实数值为实数。物理量物理量算符算符位置位置x动量的动量的x轴分量轴分量px角动量的角动量的z轴分量轴分量MZ=xpyypx动能动能T=p2/2m势能势能V总能总能E=T+V=xPx=(ih/2)(/x）MZ=（ih/2)x（/y）y（/x)T=（h2/82m)(2/x2+2/y2+2/z2）=（h2/82m）2V=VH=（

31、h2/82m）2+V若干物理量及其算符若干物理量及其算符 =A exp(i2/h)(x p xEt)/x=A exp(i2/h)(x p xEt)d/d x(i2/h)(x p xEt)=(i2/h)(p x)P x=(i h/2)(/x)算符算符 P x算符算符 P x=(i h/2)(/x)推演：推演：P x=(i h/2)(/x)假设3：若某一力学量 A 的算符 A 作用于某一状态函数后，等于某一常数 a 乘以，即A=a 那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量 A 具有确定的数值a，a称为力学量算符A的本征值，称为A的本征态或本征波函数，上式称为A的本征方程。1.2.3 本征态、本征

32、值和本征态、本征值和 Schrdinger方程方程d/d x=d a exp(-ax)/d x=-a2exp(-ax)=(-a)a exp(-ax)=(-a)本征值为本征值为 a例题例题1：=a exp(-ax)是算符是算符 d/d x 的本征函数，的本征函数，求本征值求本征值。例题例题2：=a exp(-ax)是算符是算符d2/dx2的本征函数的本征函数,求本征值。求本征值。d d2 2/dx/dx2 2=d=d2 2 a exp(-ax)/dx a exp(-ax)/dx2 2 =-a=-a2 2 d exp(-ax)/d xd exp(-ax)/d x =a =a3 3 exp(-ax)

33、=a exp(-ax)=a2 2a exp(-ax)a exp(-ax)=a =a2 2 本征值为本征值为a a2 2自轭算符的本征值确定为实数：自轭算符的本征值确定为实数：a，两边取复共轭，得，两边取复共轭，得，*a*，由此二式可得：，由此二式可得：*()d a*d，(*)d a*d 由自轭算符的定义式知，由自轭算符的定义式知，*d(*)d 故，故，a*d a*d，即即 a a*，所以，所以，a为实数。为实数。Schrdinger方程是确定体系能量算符的本征值和方程是确定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程。本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程。薛定谔方程的由来

34、：薛定谔方程的由来：薛定谔方程的由来：薛定谔方程的由来：自由粒子波函数：自由粒子波函数：为满足归一化为满足归一化 分别对分别对x x、y y、z z进行两次偏导，得：进行两次偏导，得：三式相加，并除以三式相加，并除以2m2m考虑到能量除动能外，还有势能考虑到能量除动能外，还有势能V(xV(x、y y、z)z)（哈密顿算符）哈密顿算符）证明：证明：i=a ii ，j=a jj ，(a ia j)(i)=a i i =a i i i j d=a j i j d (i)j d=a i i j d (a i a j)i j d=0 a i a j i j d=0 本征函数组的正交，归一的关系本征函数组

35、的正交，归一的关系i j d=j i d=i j 1,i=j 0,ij本征函数组的正交，归一的关系本征函数组的正交，归一的关系对一个微观体系，自轭算符对一个微观体系，自轭算符给出的本征函数组给出的本征函数组1，2，3，形成一个正交，归一的函数组。形成一个正交，归一的函数组。(1).归一归一 ：i i d=1(2).正交正交：i j d=0 (ij)假设假设4 4：若若 1，2 n n为某一微观体系的可能状态，为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。也是该体系可能的状态。1.2.4 态叠加原理态叠加原理组合系数组合系数ci的大小反映的大小反映i贡

36、献的多少。为适应原子贡献的多少。为适应原子四周势场的变更，原子轨道通过线性组合，所得的四周势场的变更，原子轨道通过线性组合，所得的杂化轨道（杂化轨道（sp，sp2，sp3等）也是该原子中电子等）也是该原子中电子可能存在的状态。可能存在的状态。可由可由c i值求出和力学量值求出和力学量A 对应的平均值对应的平均值a本征本征态态的力的力学学量的平均量的平均值值 设与设与 1 1，2 2 n n对应对应的本征的本征值值分分别为别为a1a1，a2a2，anan，当当体系体系处处于于状态状态 并并且且 已已归归一化一化时时，可由下式可由下式计计算力算力学学量的平均量的平均值值a a（对应对应于力于力学学

37、量量A A的的试验测试验测定定值值）：）：非本征态的力学量的平均值非本征态的力学量的平均值若状态函数若状态函数 不是力学量不是力学量A的算符的算符的本征态的本征态,当体系当体系处于这个状态时处于这个状态时,a a,但这时可用积分计算力学但这时可用积分计算力学量的平均值：量的平均值：a a*d d 例如，氢原子基态波函数为例如，氢原子基态波函数为 1s1s，其半径和势能等均，其半径和势能等均无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。1.2.5 Pauli(泡利泡利)原理原理假设假设：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只

38、能容纳两个自旋相反的电子。或者说，两个自旋相同容纳两个自旋相反的电子。或者说，两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。的电子不能占据相同的轨道。Pauli原理的另一种表述：描述多电子体系轨道运动原理的另一种表述：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标），必定得出反对称的波标（空间坐标和自旋坐标），必定得出反对称的波函数。函数。电子具有不依靠轨道运动的自旋运动电子具有不依靠轨道运动的自旋运动,具有固有的角具有固有的角动量和相应的磁矩动量和相应的磁矩,光谱的光谱的Zeeman效应效应(光谱线在磁光谱线在磁场

39、中发生分裂场中发生分裂)、精细结构等都是证据。、精细结构等都是证据。微观粒子具有波性，等同微粒是不行辨别的。微观粒子具有波性，等同微粒是不行辨别的。(q1,q2)=(q2,q1)费米子：自旋量子数为半整数的粒子。如，电子、费米子：自旋量子数为半整数的粒子。如，电子、质子、中子等。质子、中子等。(q1,q2,qn)(q2,q1,qn)倘如倘如q1q2，即，即 (q1,q1,q3,qn)(q1,q1,q3,qn)则，则，(q1,q1,q3,qn)0，处在三维空间同一坐，处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率为标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率为零。据此可引伸出以下两个

40、常用规则：零。据此可引伸出以下两个常用规则：Pauli不相容原理：多电子体系中，两自旋相同不相容原理：多电子体系中，两自旋相同的电子不能占据同一轨道，即，同一原子中，两电的电子不能占据同一轨道，即，同一原子中，两电子的量子数不能完全相同；子的量子数不能完全相同；Pauli排斥原理：多电子体系中，自旋相同的电排斥原理：多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。子尽可能分开、远离。玻色子：自旋量子数为整数的粒子。如，光子、玻色子：自旋量子数为整数的粒子。如，光子、介子、氘、介子、氘、粒子等。粒子等。不受不受 Pauli不相容原理的制不相容原理的制约。约。(q1,q2,qn)(q2,q1,qn)

41、泡利泡利PauliPauli获1945年诺贝尔物理学奖。一个质量为一个质量为m的的 粒子，在一维粒子，在一维 x 方向上运动。方向上运动。0 ，0 x l V=，x 0 和和 x l V=V=0 V=0 x l 此二阶齐次方程的通解为：此二阶齐次方程的通解为：=c1cos(82m E/h2)1/2 x+c2sin(82m E/h2)1/2 x1.3 1.3 箱中粒子的箱中粒子的SchrSchrdingerdinger方程及其解方程及其解SchrSchrdingerdinger方程：方程：n 0 E=n2 h2/8m l2 （x）=c2 sin(nx/l）=(2/l)1/2 sin(nx/l）c

42、2 =(2/l)1/2 依据品优波函数的连续性和单值条件，依据品优波函数的连续性和单值条件，当当x=0 和和 x=l 时，时，=0即即 x=0 时时 （0）=c1cos(0)+c2sin(0)=0则：则：c1=0 x=l 时时 （l）=c2 sin(82m E/h2)1/2 l=0 c2 不能为不能为 0 故必需是故必需是:(82m E/h2)1/2 l=n n=1，2，3，C C2可由可由归归一化一化条条件求出件求出令探讨：探讨：1 1、n n 称为量子数，只可能取正整数称为量子数，只可能取正整数。2 2、画出、画出n n(x)(x)及及n n2 2(x)(x)3 3、零点能、节点及节点数、

43、零点能、节点及节点数+-n=4n=3n=2n=1n=3n=2n=1+-E1E2E3E41(x)2(x)32(x)4(x)42(x)22(x)12(x)3(x)一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度n=4体系的波函数与能量：体系的波函数与能量：当当n=1时，体系处于基态时，体系处于基态。当当n=2时，体系处于第一激发态时，体系处于第一激发态。当当n=3n=3时，体系处于其次激发态。时，体系处于其次激发态。探讨：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时，探讨：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时，l l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级上长度势箱中

44、只包含正弦函数半个周期，随着能级上升，第一激发态包含一个周期，其次激发态包含正弦升，第一激发态包含一个周期，其次激发态包含正弦波一个半周期波一个半周期。随着能级上升，波函数的节点越。随着能级上升，波函数的节点越来越多。而几率分布函数告知我们自由粒子在势箱中来越多。而几率分布函数告知我们自由粒子在势箱中出现的几率大小。例如：基态时，粒子在出现的几率大小。例如：基态时，粒子在 处处出现几率最大。而第一激发态，粒子在出现几率最大。而第一激发态，粒子在 处出现几率为处出现几率为0 0，在，在 处出现几率最大。处出现几率最大。势箱中粒子的量子效应：势箱中粒子的量子效应：1.1.粒子可以存在多种运动状态，

45、它粒子可以存在多种运动状态，它们可由们可由1 1，2 2，n n 等描述；等描述；2.2.能量量子化；能量量子化；3.3.存在零点能；存在零点能；4.4.没有经典运动轨道，只有几率分布；没有经典运动轨道，只有几率分布；5.5.存在节点，节点多，能量高。存在节点，节点多，能量高。箱中粒子的各种物理量只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到：（1）粒子在箱中的平均位置粒子的平均位置在势箱的中心，说明它在势箱左、右粒子的平均位置在势箱的中心，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为两个半边出现的几率各为0.5，即，即 图形对势箱图形对势箱中心点是对称的。中心点是对称的。（2）粒子动量的

46、x轴重量px（3）粒子的动量平方px2值 一维试箱模型应用示例一维试箱模型应用示例n丁二烯的离域效应：丁二烯的离域效应：E定定=2 2h h28mlml2=4E E1E离离=2h h2/8mm(3l l)2+2 22h h2/8mm(3l l)2=(10/9)E E1n势箱长度的增加，使分子能量降低，势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。更稳定。CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键定域键离域键离域键lll3l 花菁燃料的吸取光谱花菁燃料的吸取光谱R2NR2N(CH(CHCHCH)r CH)r CHN+R2N+R2势箱总长势箱总长l248r+565pm，共有，共有2r22个个电子，基

47、态时需占电子，基态时需占r+2个分子轨个分子轨道，当电子由第（道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸取光的频率为）个轨道时，需吸取光的频率为=E/h=(h/8ml2)(r+3)2-(r+2)2=(h/8ml2)(2r+5),由由=c/，=8ml2c/(2r+5)hr 计算计算 试验试验 311.6 309.0 412.8 409.0 514.0 511.0说明此体系可近似看做一维势箱。说明此体系可近似看做一维势箱。量子力学处理微观体系的一般步骤：量子力学处理微观体系的一般步骤：依据体系的物理条件，写出势能函数，进而依据体系的物理条件，写出势能函数，进而

48、写出写出Schrdinger方程；方程；解方程，由边界条件和品优波函数条件确定解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及归一化因子及En，求得，求得 n描绘描绘 n，n*n等图形，探讨其分布特点；等图形，探讨其分布特点；用力学量算符作用于用力学量算符作用于 n，求各个对应状态，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；各种力学量的数值，了解体系的性质；联系实际问题，应用所得结果。联系实际问题，应用所得结果。三维势箱中粒子运动的三维势箱中粒子运动的SchrdingerSchrdinger方程：方程：三维势箱中粒子运动的波函数：三维势箱中粒子运动的波函数：三维势箱能级表达式：三维势箱能级表达式：简并态：能量相同的各个状态。简并态：能量相同的各个状态。三维无限深正方体势阱中粒子的简并态三维无限深正方体势阱中粒子的简并态再见！