完整高数课件(一).ppt

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1、第一节 函数一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性具有某种特定性质的事物的的事物的总体体.组成成这个集合的事物称个集合的事物称为该集合的集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集数集分数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集数集数集数集间的关系的关系:例如例如不含任何元素的集合称不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集空集为任何集合的子集任何集合的子集.2.2.区间区间:是指介于某两个是指介于某两个实数之数之间的全体的全体实数数.这两个两个实数叫做区数叫做区间的端点的端点.称称为开区开区间,称称为闭区区间,称称为半开区半开区间,称称为半开区

2、半开区间,有限区有限区间无限区无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点两端点间的距离的距离(线段的段的长度度)称称为区区间的的长度度.3.3.邻域邻域:4.4.常量与变量常量与变量:在某在某过程中数程中数值保持不保持不变的量称的量称为常量常量,注意注意 常量与常量与变量是相量是相对“过程程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数而数值变化的量称化的量称为变量量.常量与常量与变量的表示方法：量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变量量.5.5.绝对值绝对值:运算性运算性质:绝对值不等式不等式:因因变量量自自变量量数集数集D叫做叫做这个函数的个函数的定

3、定义域域二、函数概念二、函数概念自自变量量因因变量量对应法法则f函数的两要素函数的两要素:定定义域域与与对应法法则.约定约定:定定义域是自域是自变量所能取的使算式有意量所能取的使算式有意义的一切的一切实数数值.定义定义:如果自如果自变量在定量在定义域内任取一个数域内任取一个数值时，对应的函数的函数值总是只有一个，是只有一个，这种函种函数叫做数叫做单值函数，否函数，否则叫与多叫与多值函数函数 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1

4、-1-3xyo阶梯曲梯曲线有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数(4)取最取最值函数函数yxoyxo在自在自变量的不同量的不同变化范化范围中中,对应法法则用不同的用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称称为分段函数分段函数.例例1 1 脉冲脉冲发生器生器产生一个生一个单三角脉冲三角脉冲,其波形如其波形如图所示所示,写出写出电压U与与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的三角脉冲信号的电压例例2 2解解故故三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:2函数的函数的单调性性:xyoxyo3函数的

5、奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x4函数的周期性函数的周期性:（通常（通常说周期函数的周期是指其最小正周期函数的周期是指其最小正周期周期）.直接函数与反函数的直接函数与反函数的图形关于直形关于直线 对称称.四、反函数四、反函数五、小结基本概念基本概念集合集合,区区间,邻域域,常量与常量与变量量,绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数思考题思考题思考题解答思考题解答设则故故练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、基本初等函数1.幂函数函数2.指数函数指数函数3.对数函数数函数4.三角函数三

6、角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数5.反三角函数反三角函数 幂函数函数,指数函数指数函数,对数函数数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数三角函数统称称为基本初等函数基本初等函数.二、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数定定义:注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数复合函数可以由两个以上的函数经过复复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数由常数和基本初等函数经过有限次有限次四四则运算和有限次的函数复合步运算和有限次

7、的函数复合步骤所构成并可用所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称称为初等函数初等函数.例例1 1解解综上所述上所述三、双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,奇函数奇函数,四、小结函数的分函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)思考题思考

8、题思考题解答思考题解答不能不能一、填空题一、填空题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案“割之弥割之弥细，所，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，割，则与与圆周合周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入正六正六边形的面形的面积正十二正十二边形的面形的面积正正 形的面形的面积2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如例如注意：注意：1.数列数列对应着数着数轴上一个点列上一个点列.可看作一可看作一动点在数点在数轴上依次取上依次取2.数列是整数列是整标函数函数播放

9、播放三、数列的极限三、数列的极限问题:当当 无限增大无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学如何用数学语言言刻划它刻划它.通通过上面演示上面演示实验的的观察察:如果数列没有极限如果数列没有极限,就就说数列是数列是发散的散的.注意：注意：几何解几何解释:其中其中数列极限的定数列极限的定义未未给出求极限的方法出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证所以所以,说明明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小小结:用定用定义证数列极限存在数列极限存在时,关

10、关键是任意是任意给定定 寻找找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证例例4证证四、数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收收敛的数列必定有界的数列必定有界.证证由定由定义,注意：注意：有界性是数列收有界性是数列收敛的必要条件的必要条件.推论推论 无界数列必定无界数列必定发散散.2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收每个收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限.证证由定由定义,故收故收敛数列极限唯一数列极限唯一.例例5证证由定由定义,区区间长度度为1.不可能同不可能同时位于位于长度度为1的的区区间内内.3.(收收敛数列与其子数列数列与其子数列间的关系

11、的关系)如果数列如果数列收收敛于于a，那么它的任一子数列也收，那么它的任一子数列也收敛，且极限也，且极限也是是a五.小结数列数列:研究其研究其变化化规律律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定精确定义,几何意几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性唯一性有界性唯一性.思考题思考题证明明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有，必有 成立成立思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的明中所采用的实际上就是不等式上就是不等式即即证明中没有采用明中没有采用“适当放大适当放大”的的值从而从而 时，仅有有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而反而缩小小为练

12、练 习习 题题播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限通通过上面演示上面演示实验的的观察察:问题:如何用数学如何用数学语言刻划函数言刻划函数“无限接近无限接近”.2.另两种情形另两种情形:3.几何解几何解释:例例1证证二、自变量趋向有限值时函数的极限2.几何解几何解释:注意：注意：例例2证证例例3证证例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定没有定义.例例5证证3.单侧极限极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性推论推论3.不等式性不等式性质定理定理(保序性保序性)定理定理(保号性保号性)推论推论4.子列收子列收敛性性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理证证例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.例例7证证二者不相等二者不相等,四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表下表)过 程程时 刻刻从此从此时刻以后刻以后 过 程程时 刻刻从此从此时刻以后刻以后 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.一、填空一、填空题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案